[직관적인 접근]와 [논리적 풀이]의 중요성 -문이과 공통

[직관적인 접근]의 중요성에 대하여 다루고자 합니다. 먼저 [교과서 지도서]에 있는 다음 내용들을 봅시다.

[교과서]에는 정제된 풀이만을 서술하고 있지만, 그것은 교과서라서 그렇고 실제로 수학 전공 서적을 공부해봤다면 책에는 당연히 정제된 풀이만을 서술할 수밖에 없음을 알 수 있을 것입니다. 

대학교 수학 전공 서적의 일부분입니다.

그림도 하나도 없죠. 그래서 한줄 한줄 이해해나가기 너무어려우며, 잘가르치는 교수님의 경우 항상 그림과 함께 설명해주며 학생들을 이해시켜 나갑니다.

여튼 마찬가지로 말그대로 교과서라서 어쩔수 없이 정제된 풀이만 남겨 놓은 것이고 실제 그 이론을 만들때에는 수많은 직관적 이해가 뒤에 숨어 있었던 것이고요. 그렇기 때문에 가르칠 때에는 실제로 [교과서 지도서]에서 항상 '직관적인 이해'를 학생에게 먼저 시켜보라며 강조하고 있습니다. 제가 올려놓은 지도서 2가지 예시 외에도 엄청나게 많습니다. ㅎㅎ 

즉, 공부하는 입장에서는 직관적인 이해를 시도해보는 것이 매우 매우 중요하며 그렇게 해야 진짜 수학실력이 늡니다.

직관과 논리는 매우 상보적인 관계이며 직관적인 이해 없이 결과론적인 논리적인 풀이만 주입해서는 안 됩니다.

논리적 풀이를 한 사람도 '대부분' 직관적인 풀이에서 시작하여 논리적으로 마무리 지은 것이며 '대부분'은 직관적 능력이 되어야 결국은 논리적인 풀이도 할 수 있게 됩니다.또 반대로 거기서 얻은 논리력을 적용하고 펼치면서 직관적인 이해력이 성장하기도 합니다. 무엇의 선후관계를 두는 것이 아니라 '상보적'이고 함께 공부해야한다는 것입니다.

(문과도 풀수있습니다.)

위의 문제를 반드시 먼저 풀어보고 글을 보도록 합시다.

그래프를 통해 [직관적 단서]를 먼저 얻어봅시다. 그래프를 그려 직관적인 단서를 얻으려는 시도는 중요합니다.

[직관적 단서] - 풀이라는게 아니고 추측에 불과함.

y=3, y=4 등까지 계속해서 그래프를 그려보면 an은 2(n-1)로 가까워지는 것을 그래프에서 직관적으로 알 수 있고,

an을 2(n-1)과 유사한 값으로 생각할 수 있습니다. 즉, an/n의 극한값은 2(n-1)/n의 극한값과 같아서 2라고 쉽게 추론할 수 있을 것입니다. 그냥 그럴 것 같다라고 예측했을 뿐, 논리적 풀이는 아니죠.

1. 실제 시험장에서는 스스로 '직관적 확신'이 있다면 저 상황에서 마무리 지어도 좋습니다.

2. 공부하는 학생이라면 '조금이라도 불확실'하다면 반드시 '논리적'으로 확인하는 연습을 해야합니다.

3. 본인이 직관이 라마누잔급이라도, 확신에 확신을 거듭하더라도, 수험생이라면 반드시'논리적 확인'을 해야합니다.

4. '직관적 이해'과정 없이 문제의 핵심 풀이법인 논리적 풀이만 배웠다면 지금이라도 그래프를 그려보고 스스로 직관적으로 이해하는 시도를 해야합니다. 앞으로 어떤 문제를 보더라도요. 그게 [교과서 지도서]에서도 말하는 '직관적으로 먼저 이해'해보는 것의 필요성입니다.

이제 논리적 풀이를 해볼까요? 논리적 풀이는 대부분은 직관적으로 먼저 접근했다는 가정하에 할 수 있는것입니다. 

그래프에 의한 직관적 접근도 없이 갑자기 논리적으로 푸는 것은 거의 불가능에 가까우며, (그래프=직관이란 말은 아님 상황마다 다름) 논리적으로 푸는 사람도 처음 공부할때에는 그래프와 함께 직관적인 접근을 해봤을 확률이 매우 높습니다. 앞서도 말했지만, 반대로 논리적으로 먼저 풀어낸 사람이라도 그래프를 보고 직관적으로 이해해볼 필요가 있습니다. 직관적으로 상황을 이해볼려고 시도하는 과정 자체가 수학 실력에 도움이 되는 것이고요.

[논리적 풀이 1]

직관적 단서로 출발하여, an은 2(n-1)로 점점 가까워지는 것을 직관적으로 알 수 있는데 이 느낌을 확인하기 위해 직접 근을 찾아보자.

이처럼 [직관적 단서]에서 출발하여 [논리적 풀이]로 마무리를 지을 때 직관과 논리가 모두 향상되어 가장 '효율적'으로 수학실력을 향상시킬 수 있으며, 어느 한쪽만 강조하는 경우는 [논리적 풀이]를 모르거나 귀찮아서 생략했거나, 본인이 직관으로 접근했었던 사실을 까먹고 논리만 강조하는 경우가 대다수입니다.

조금만 더 나아가보면 [직관적 단서]에서 극한 값이 2라고 예상한 상태에서는 2n 외의 다른 항이 쓸모 없을 것이라는것을 예측한 것이고 그 상황에서 더욱 더 올바른 논리적 접근은 다음과 같습니다.

(올바른이란 표현은 조금 어폐가 있고, 면접에서 더 뽑힐 확률이 높은 학생정도라 표현하면 좋을 듯합니다.)

[논리적 풀이 2]

위와 같이 풀이를 [논리적]으로 서술할 수 있게 된 사람의 속내에는 그래프를 통한 직관적인 접근이 있었고 그러한 직관이 있었기에 논리적 풀이를 서술할 수 있게 되었던 것입니다. 이처럼 수학을 잘하기 위해서는 반드시 '직관'과 '논리'가 모두 필요하다는 것이 핵심입니다. 즉, 공부하는 사람 입장에서는 직관적으로 답이 보이더라도 반드시 논리적으로 서술하는 연습이 필요하고, 수학적으로 중요한 과정인 직관을 무시하고 논리적 풀이만 달달 외우고 있으면 안 된다는 것이구요.

그 과정에서 직관과 논리가 모두 향상되어 수학 실력이 늘고, 실제로 수능에서는 2014수능 29번과 같이 대부분의 수험생이 [직관적 단서]에서 답을 낼수밖에 없었던 문제도 종종 출제되곤 하기 때문에 반드시 어려운 문제에 대해선 [직관]에 대한 길을 열어두셔야 100점을 받을 확률을 극대화 있습니다.

실제 2014수능 직후 통계조사에서 '문제를 맞힌 학생 중' 직관적 단서의 풀이에서 그친 학생이 

29번의 경우 90%이상, 30번의 경우 70% 이상이었습니다.

같은 논리로 2014수능 30번에서 그래프를 통해 접선을 그어보고 3개인 구간을 직관적으로 추론해보는 것은 매우 훌륭한 과정입니다. 이러한 직관적인 접근을 의도적으로 막게되면 '수학적 발전'을 아예 이룰 수 없거나 매우 더디게 됩니다. 물론 그 이후 접선의 방정식 y=f'(t)(x-t)+f(t)으로 논리적으로 해볼려고 해야 '직관'과 '논리'를 모두 잡은 확실한 공부라는 것이죠.

마지막으로 다음 문제도 그래프를 통해 [직관적 단서]로 출발하여 [교과서 개념]에 해당하는 '극값의 판정'으로 마무리 지어 보길 바랍니다. 이 문제도 마찬가지로 시험출제 당시에는 90%이상의 학생이 [직관적 단서]의 풀이에 그쳤던 문제입니다. (다시 말하지만 공부할 때 [직관적 단서]에서 끝내면 안 됩니다. 반드시 둘다 해야 합니다.) 이처럼 직관적 단서를 얻으려는 연습을 평소에 해야 수능에서 100점 받을 확률을 극대화 시킬 수 있습니다.

요약하면,

직관과 논리는 서로를 끌어당겨주는 상호보완적인 관계이며, 무엇하나가 반드시 우선시되는 것도 아니며 수학실력 향상에 둘 모두 중요하다는 것입니다. 둘 중 한가지라도 떼어놓고 별개로 생각하는 순간 수학 공부에 대한 효율은 떨어질 수밖에 없을 것입니다. 제가 예시를 든 문제는 모두 직관적 단서를 얻는 과정이 우선시되는 경우가 압도적으로 많은 문항이었고요.

[직관적 풀이] [논리적 풀이]로 싸울게 아니라, 원래 함께 가는 것이라는 거죠. 사실 떼놓고 싶어도 못떼는게 맞죠.

실제로 어려운 문제는 직관과 논리 사이를 오가며 두 능력이 모두 활용되는 경우가 많습니다.

이러한 기본적인 생각은 여러분들이 대학교에 가서 수학을 공부할 때에도 크게 도움이 될 것입니다.