수학 질문좀요

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X>0, Y>0이고 X+Y=2일 때, 1/X+4/Y의 최소값을 구하는 문제인데요.

저는 저 식에서 바로 산술평균≥기하평균을 썼어요. 그럼 1/X=4/Y일 때, 즉 Y=4X일 때 최소값을 갖게 되는 거잖아요. 근데 답이 틀렸어요.

답지를 보니 X+Y=2이므로 1/X+4/Y=2/2(1/X+4/Y)=(X+Y)/2(1/X+4/Y)=(1/2)(5+4X/Y+Y/X)이 되고, 여기서 산술평균≥기하평균을 썼더라구요.

1/X+4/Y을 X에 대한 식으로 바꾸고 미분을 이용해 최소값을 구했을 때도 답지와 같은 답이 나왔습니다. 제 풀이(산술평균≥기하평균 사용)에 어떤 점이 잘못된 거죠?

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in709 [408186]

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kevin38 · 428858 · 12/12/16 16:30 · MS 2012

X Y 둘다 변수인데 1/X랑 4/Y가 꼭 같아야 되지는 않는듯

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r.e.m · 412228 · 12/12/16 16:35

산술기하식에서는 최솟값일지는몰라도
진짜 최솟값은 아닌듯..
전 두식 곱해서 산술기하 쓰라고 배웠네요..

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in709 · 408186 · 12/12/16 16:44 · MS 2012

그 이유가 뭔지 자세하게 알려주실 수 있으신가요?

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∬이중적분 · 398676 · 12/12/16 16:39 · MS 2011

바로 산술기하평균부등식을 쓰게 되면, 1/X+4/Y≥4sqrt(1/XY)가 되겠죠? X+Y=2를 이용해 식을 고치면 1/X+4/(2-X)≥4sqrt(1/X(2-X))가 되고요. 하지만 Y=4X일 때 본 식이 최솟값을 갖는 것이 아니라 "등호"가 성립하는 것입니다. (작성자님은 미분을 알지만) 미분을 모른다고 가정해봅시다. 그러면 부등식에 있는 두 식이 같이 증가할지 감소할지 어떻게 알겠습니까?

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∬이중적분 · 398676 · 12/12/16 16:44 · MS 2011

예시를 들면, 다음과 같습니다.

http://www.wolframalpha.com/input/?i=x%2B1%2Fx%5E2%3E2sqrt%281%2Fx%29

x>0일 때 x+1/x^2의 최솟값을 구해봅시다. 이때 산술기하평균부등식을 쓰면 x+1/x^2>=2sqrt(1/x)가 나오고, 등호는 x=1일 때 성립하는 것을 알 수 있습니다. 하지만 실제로 x+1/x^2의 최솟값은 x=(2의 세제곱근 중 양수)일 때 나옵니다.

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in709 · 408186 · 12/12/16 16:51 · MS 2012

음...님 말은 이해 하겠는데 다음부터 저런 식의 문제가 나오면 어떻게 생각해야 할지 잘 모르겠어요(사실 정석 수1 문제인데, 이 단원에서 산술기하평균 쓰는 문제가 굉장히 많았어요. 그래서 저는 저런 간단한 미분은 생각 못했어요.). 어떻게 생각해야 하나요?

그리고 답지에서 산술기하 쓰면 루트 안의 식이 상수가 되잖아요. 보통 다른 산술기하 문제에서도 루트 안의 식은 상수가 되고요. 그런데 제 산술기하 풀이에서는 루트 안의 식이 유리식이잖아요. 이게 님과 다른 분이 말하신 '등호는 성립하지만 최소값은 아니다.' 와 어떤 관련이 있나요?

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∬이중적분 · 398676 · 12/12/16 17:03 · MS 2011

산술기하평균 부등식에서 최솟값을 구하려면 오른쪽 식(두 평균 사이의 관계를 적용한 식)이 상수가 되도록 하는 것이 좋습니다. 그러면 등호 조건을 충족하는 x를 제외하고는 본 식이 모두 상수보다 크다고 볼 수 있기 때문입니다. 예를 들어,

http://www.wolframalpha.com/input/?i=1%2F%28x%5E2%2Bx%2B1%29%2B%28x%5E2%2Bx%2B1%29%3E2

1/(x^2+x+1)+x^2+x+1>=2에서 등호조건을 충족하는 x는 -1과 0이고, 이 이외에는 모두 2보다 크다는 것을 알 수 있습니다. 따라서 최솟값이 2가 됩니다.

그리고 루트안의 식이 유리식이 되었을 때, 작성자님이 처음에 얻은 부등식은 (Y를 X의 식으로 바꾸었을 때) X=2/5일 때 1/X+4/(2-X)와 4sqrt(1/X(2-X))의 그래프가 접한다는 것을 알려주지만, 1/X+4/(2-X)의 최솟값을 가르쳐주지는 못합니다. 이는 제가 앞에서 건 링크를 통해서도 알 수 있습니다.

설명이 좀 빈약해서.. 이해 안되는 것 있으면 질문해주세요~

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∬이중적분 · 398676 · 12/12/16 16:50 · MS 2011

다른 예를 들어 x>0일 때 x+1/x의 최솟값을 구하라고 할 때, 산술기하 평균 부등식을 이용하여 x=1일 때 최솟값이 2가 됨을 알 수 있습니다. 산술기하 평균 부등식에서 x+1/x>=2가 되는데, 등호는 x=1일 때 성립합니다. 즉, x>0이고 x가 1이 아닐 때, x+1/x>2입니다. 따라서 x=1일 때 x+1/x의 최솟값이 2라고 할 수 있는 것입니다.

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syzy · 418714 · 12/12/17 00:23 · MS 2012

여러 가지 풀이를 생각해볼게요.
(1) 코시-슈바르츠 부등식(혹은 산술-조화) 사용해서 (1/x + 4/y) (x+y) >= (루트1 +루트4)^2 --> (1/x + 4/y) 2 >= 9 --> 1/x + 4/y >= 9/2.

(2) 산술-조화 부등식은 (x+y) / 2 >= 2 / (1/x + 1/y) 를 뜻합니다. 이는 변수2개일 경우의 코시-슈바르츠의 특수한 경우로 해석될 수도 있고, 정리해보면 결국 산술-기하평균 부등식과도 동치이고요. 이는 변수가 3개일 때도 참입니다. 즉, (x+y+z) / 3 >= 3 / (1/x + 1/y + 1/z). 다시 쓰면 (x+y+z) >= 9 / (1/x + 1/y + 1/z). 이를 적용하면,

1/x + 4/y = 1/x + 2/y + 2/y >= 9 / (x + y/2 + y/2) = 9 / (x+y) = 9/2.

(3) 이렇게 눈치껏 쪼개는 작업이 어렵다고 생각되신다면, 다소 일반적인 '가중치' 산술평균-조화평균 부등식을 이용하시면 됩니다. (바로 아래)
u+v=1인 임의의 양수u,v와 임의의 양수a,b에 대해 ua + vb >= 1/(u/a + v/b) 가 성립. (등호는 a=b일 때 성립.)
참고. 이 가중치 산술-조화 부등식에 u=v= 1/2 대입하시면 원래의 산술-조화 부등식을 얻음.

1/x + 4/y = u *1/(ux) + v * 4/(vy) >= 1 / (u(ux) + v(vy/4)) = 1 / (u^2 x + v^2 y/4 )

여기서 주어진 조건 x+y=2를 사용하려면 마지막 식의 분모의 x,y 계수를 동일하게 맞추어주면 됩니다. 즉, u^2 = v^2 /4. u = v/2.
u+v=1이었으므로, u=1/3 , v=2/3.

따라서 u=1/3, v=2/3으로 잡으면 위의 부등식이 쭉 성립하고, 1/x + 4/y = ... >= 1/ (x/9 + y/9) = 9/2.

(참고로, 1/(ux) = 4/(vy) 일 때, 즉, x/3 = y/6 일 때, 즉, 2x=y 일 때 성립.)

(4) 1/x + 4/y = 1/x + 4/(2-x) = (3x+2)/(2x-x^2 ) = 1 / { (2x-x^2 )/(3x+2) } = -9 / { 3x-8 + 16/(3x+2) }
(3x+2로 9(x^2 - 2x) 를 나눈 몫이 3x-8, 나머지가 16)

= 9 / { 10 - (3x+2 + 16/(3x+2)) }>= 9 / { 10 - 2루트{ (3x+2) * 16/(3x+2) } } = 9 / { 10 - 2*4 } = 9/2
(산술기하평균부등식)

(5) (4)에 있는 식 1/x + 4/(2-x) 를 미분하여 최솟값 확인.

이 문제 등장하는 모든 변수는 양수입니다.

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in709 · 408186 · 12/12/20 11:13 · MS 2012

확인이 늦었네요.. 여러가지 풀이 감사합니다~

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