수리영역 기출문제의 논리적 접근 (10년 6월 평가원)
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4점짜리 치고는 쉬운 문제였는데, 그러다보니 너무 당연하게 생각되서 증명하기 조금 껄끄러울 수 있습니다.
따라서 일단 수능적 해설부터 생각하고 이를 분석해봅시다.
ㄱ같은 경우 주어진 식만 정리해주면 f'(x)=0이 되는데, 그래프에서 극대,극소가 있다는 게 바로 보이니 참이네요
증명할 때는 극점이 있다는 것을 f'(x)=0 의 실근이 존재한다는 것으로 해석하면 됩니다. 그걸 보이는 방법은...?
많이 다뤘죠. 중간값의 정리를 이용합니다. 저번 글에서도 소개됐구요.
ㄴ은 도 주어진 부등식만 정리해주면 f'(x)>0 인데, 당연히 아니라는 게 보이죠.
증명 시에는 먼저 f'(x)<0 인 구간이 어디인지 보여주고, 부등식을 정리했던 과정을 거꾸로 해주면 ㄴ보기와 반대로 나올겁니다.
ㄷ이 중요한 보기였습니다. 처음에 g(x)=f(a)+(b-a)f'(x)라는 식을 보고서 '접선의 방정식과 비슷하네?'라는 생각이 들었다면
감각이 좋으신 겁니다. 실제로 수능에서 '접선'에 관련된 문제는 항상 h(x)=f'(t)(x-t)+f(t) 꼴을 이용하기 때문에
이런 반복되는 패턴을 알아놓으셨다면 그런 걸 충분히 느낄 수 있었습니다.
따라서 g(a)를 점 (a.f(a))에서의 접선 h(x)에서 x=b를 대입한걸로 생각하면 훨씬 비교하기 쉬워졌습니다.
그래서 다음과 같이 확인해보면 됩니다.
이제 분석을 통해 얻은 아이디어로 증명해봅시다.
실근의 존재 유무 -> 중간값 정리 입니다. 이 연재글에서도 많이 다뤘습니다.
n차다항식의 근이 n개면 서로 다른 일차식의 곱으로 나타낼 수 있다는 건 아실겁니다.
참고로 이런 아이디어가 한양대 면접 문제에 나온적이 있습니다.
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