*뒷 부분 문제 풀이에 2022학년도 6월 미적분 28번을 활용했습니다. 그리고 이전 글에서 '기출 분석 얼마나 해야되냐'라고 물어봐주신 분이 계셔서 제가 고등학교 3학년 때 6모 끝나고 그 다음 날 정리했던 파일을 공유합니다. 이 정도 분석하면 '1회독은 했다'라고 말할 수 있으리라 생각합니다! 학습에 참고하시면 좋겠습니다.

삼도극 근사는 크게 두 종류가 있습니다.

1. 식을 작성하기 전에 상황부터 근사해서 생각하는 것

2. 식을 작성한 후에 식을 근사해서 정리하는 것

저는 1번은 피하고 2번을 추구하는 타입입니다. 이유는 1번을 잘못 생각하다가 망하기 쉽다고 느꼈기 때문입니다. 반면 2번은 논리적인 과정을 통해 증명 가능하기 때문에 훈련 후 적극적으로 사용하길 권합니다. 저도 22 6모에서 처음 평가원 삼도극 문항을 현장에서 접했을 때 '하...' 하다가 극악의 근사 치기로 답 잘 냈던 기억이 있거든요 ㅎㅎ

그래서 이번 시간에는 '2. 식을 작성한 후에 식을 근사해서 정리하는 것'을 소개하겠습니다. 물론 이거 특별한 거 아니고 유튜브든 오르비든 구글이든 어디든 검색하면 나오긴 하는데 저도 종종 설명할 일이 있을테니.. 제 방식대로 가볍게 남겨둘게요.

물론 교과서적으로 lim 분배해 극한을 구하실 수 있을 때 이런 수능 개념들을 공부하기 시작해야합니다.

정석대로 풀지도 못하면서 이런 스킬만 익히면 실력 안 늘어요. (당연한 말)

우선 근사에 대한 이해를 하려면 '삼각함수를 특정 구간을 잡으면 다항함수로 표현해도 괜찮다'라는 것을 알아야합니다. 이것은 '테일러 급수'라는 것을 알아야 우리가 표현할 수 있는데요, 테일러 급수는 테일러 정리를 통해 정의하고 테일러 정리는 평균값 정리의 일반화된 상황입니다.

<평균값 정리 (Mean Value Theorem)>

$XGV4aXN0cyBcc3BhY2UgIGPICsgRcy50LiDJFWZyYWMge2YoYiktZihhKX17Yi1hfT1mJyhjKcgkLMouxgdhPCBjIDwgYg==$

닫힌 구간 [a, b]에서 연속이고 열린 구간 (a, b)에서 미분가능한 함수 f(x)는 위를 만족합니다. 이때 저 E를 뒤집어놓은 듯한 기호는 'exists'로서 존재한다는 뜻이고 's.t.'는 such that으로 '다음을 만족하는' 정도입니다. 정리해보면 '조건을 만족할 때, 두 끝 점의 평균변화율과 같은 값의 순간변화율을 가질 때가 존재한다' 정도겠네요.

이는 아래와 같이 작성해볼 수 있습니다.

$XGV4aXN0cyBcc3BhY2UgY8gJyAhzLnQuyAxmKGIpPWYoYSkrKGItYSlmJyhjKSzIHccHYTxjPGI=$

그리고 기하, 확률과 통계 선택자 분들을 위해 이계도함수와 n계도함수에 대해 살펴봅시다. 먼저 도함수의 정의는 다음과 같습니다.

$ZicoeCk9IFxsaW0gX3toXHRvIDB9XnsgfSBcZnJhYyB7Zih4K2gpLWYoeCl9e2h9$

그리고 이계도함수의 정의는 다음과 같습니다.

$ZicnKHgpPSBcbGltIF97aFx0byAwfV57IH1cZnJhYyB7ZicoeCtoKS3ECCl9e2h9$

뭐 이거 이렇게 표현해도 문제 없긴 하겠죠

$ZicnKHgpPSBcbGltIF97aF8yXHRvIDB9XnsgfQpcZnJhY3vKHDHKHMYbZih4K2hfMStoXzIpLcYNMil9xCp9Ld82XzHFMscufSDEe30=$

아무튼 같은 방식으로 3계도함수는 이럴 것이고

$ZicnJyh4KT0gXGxpbSBfe2hcdG8gMH1eeyB9XGZyYWN7ZsQgK2gpLcUJKX17aH0=$

그럼 n계도함수는 이럴 것을 알 수 있죠!

$Zl57KG4pfSh4KT0gXGxpbSBfe2hcdG8gMH1eeyB9XGZyYWN7IMUlLTHEJytoKS3MECl9e2h9$

자 이제 넘어가봅시다.

<테일러 정리 (Taylor's Theorem)>

$XGV4aXN0cyBcc3BhY2UgY8gJxwdzLnQuzxNmKGIpPWYoYSkrKGItYSlmJ8kLXjIgXGZyYWMge2YnxBZ9ezIhfSsuLi4=$

닫힌 구간 [a, b]에서 연속인 함수 f(x)와 f^(n)(x)에 대해 열린 구간 (a, b)에서 함수 f^(n+1)(x)가 정의되면 이렇게 쭉 가서...

$Li4uKyhiLWEpXntuLTF9XGZyYWN7Zl57KG4tMSl9KGEpfcYLIX3JJ8wlxyNuyx8rzUYrxEZjxUYrxEYsIFxzcGFjZcgHYTxjPGI=$

닫힌 구간 [a, b]에서 함수 f(x)와 f^(n)(x) (f(x)의 n계도함수, n번 미분한 함수) 가 연속이고 f^(n+1)(x)가 열린 구간 (a, b)에서 정의될 때 위가 성립합니다.

초반부를 다음과 같이 이해해본다면

$XGV4aXN0cyBcc3BhY2UgY8gJxwdzLnQuzxNmKGIpPShiLWEpXnswfVxmcmFje2YoYSl9ezAhfSvHGTHIGSfFGjHJGjIgxRkge2YnxhsyIX0rLi4u$

n=0일 때가 우리가 수학2에서 공부했던 평균값 정리임을 확인할 수 있습니다.

단순히 표현해보면 다음이 되겠습니다.

$XGV4aXN0cyBcc3BhY2UgY8gJxwdzLnQuyAwgZihiKT0gXHN1bSBfe2k9MH1ee259XGZyYWN7KGItYSlee2l9fXtpIX1mXnsoaSl9KGEpK80fbisxfX17KG4rMSnGJcQKfShjKSzIZGE8Yzxi$

여기서 우리가 상수 b를 독립변수 x로 바꾸어주면 다음과 같은 형태가 될 것이고요

$XGV4aXN0cyBcc3BhY2UgY8gJxwdzLnQuyAwgZih4KT0gXHN1bSBfe2k9MH1ee259XGZyYWN7KHgtYSlee2l9fXtpIX1mXnsoaSl9KGEpK80fbisxfX17KG4rMSnGJcQKfShjKSzIZGE8Yzx4$

이제 아래와 같이 함수를 잡았을 때

$UF9uKHgpPVxzdW0gX3tpPTB9XntufVxmcmFjeyh4LWEpXntpfX17aSF9Zl57KGkpfShhKQ==$

$Ul9uKHgpPVxmcmFjeyh4LWEpXntuKzF9fXsobisxKSF9Zl7GCn0oYyk=$

만약 다음이 성립한다면

$XGxpbV97blx0byBcaW5mdHl9Ul9uKHgpPSDEGiDOG157IH1cZnJhY3soeC1hKV57bisxfX17KG4rMSkhfWZexgp9KGMpPTA=$

n->inf일 때 우리가 f(x)를 이렇게 작성해볼 수 있겠죠

$Zih4KT0gXGxpbSBfe25cdG8gXGluZnR5fV57IH3dHVBfbih4KQ==$

즉, 우리는 테일러 정리 조건을 만족하는 함수 f(x)에 대해 n->inf일 때 R_n(x)->0이라면 다음을 얻을 수 있습니다.

그리고 우리는 이것을 x=a를 중심으로 한 테일러 급수라고 할 거예요! (대충 x=a 근처에서는 좌변의 함수를 우변의 다항함수로 근사할 수 있다 정도로 받아들이시면 충분할 것 같습니다)

$Zih4KT1cc3VtIF97bj0wfV57XGluZnR5fVxmcmFjeyh4LWEpXntufX17biF9Zl57KG4pfShhKQ==$

상황을 만족하는 대표적인 함수 몇 가지를 가져와 적당한 a값을 잡아보면 이제 이러합니다.

$ZV57eH09IFxzdW0gX3tuPTB9XntcaW5mdHl9XGZyYWN7eF57bn19e24hfQ==$

$XGxuIHg9IFxzdW0gX3tuPTF9XntcaW5mdHl9XGZyYWN7KC0xKV57bisxfXhee259fXtufQ==$

$XHNpbiB4PSBcc3VtIF97bj0xfV57XGluZnR5fVxmcmFjeygtMSlee24rMX14Xnsybi0xfX17KMQIKSF9$

$XGNvcyB4PSBcc3VtIF97bj0wfV57XGluZnR5fVxmcmFjeygtMSlee259eF57Mm59fXsoMm4pIX0=$

자 수고하셨습니다! 이제 우리가 삼도극에서 자주 볼 sin(x), 1-cos(x), tan(x)에 대해 생각해봅시다. sin(x)에 대한 x=0을 중심으로 한 테일러 급수를 전개해보면

$XHNpbiB4PXgtXGZyYWN7eF4zfXs2fSvIDjV9ezEyMH0tLi4u$

sin은 이렇게 될 것이고 cos은 x=0을 중심으로 테일러 전개 해보면 다음과 같으니까

$XGNvcyB4PTEtXGZyYWN7eF4yfXsyfSvIDjR9ezI0fckdNn17NzIwfSsuLi4=$

1-cos은 이렇게 되겠네요!

$MS1cY29zIHg9XGZyYWN7eF4yfXsyfS3IDjR9ezI0fSvIDzZ9ezcyMH0tLi4u$

tan는 규칙성이 조금 특이해서 일단 다음과 같이 된다 정도만 확인해두시면 되겠습니다.

$XHRhbiB4PXgrXGZyYWN7eF4zfXszfccOMnheNX17MTV9Ky4uLg==$

그럼 이제 문제를 풀어볼까요?

$XGxpbSBfe3hcdG8gMH1eeyB9XGZyYWN7XHNpbiB4fXt4fT0g2CR4LccIXjN9ezZ9K8gONX17MTIwfS0uLi7FQTE=$

테일러 급수 통해 분자를 다항함수로 잡아준 다음에 분모 분자를 x로 나눠주면 lim 분배 가능하겠죠?

이때 우리가 x->inf면 최고차항 계수를 비교하듯 앞으로 x->0이면 최저차항 계수를 비교할 생각을 하자고 합시다.

$XGxpbSBfe3hcdG8gMH1eeyB9XGZyYWN7MS1cY29zIHh9e3heMn09INcoIHvGL8QlezJ9LcgONH17MjR9K8gPNn17NzIwfS0uLi7HUcdmxDU=$

같은 방식으로 이게 성립함도 확인할 수 있고

$XGxpbSBfe3hcdG8gMH1eeyB9XGZyYWN7XHRhbiB4fXt4fT0g2CR4K8cIXjN9ezN9xw4yeF41fXsxNX0rLi4uxUEx$

이게 성립함도 확인할 수 있습니다.

보통은 우리가 아래의 sin(x)~x, 1-cos(x)~x^2/2, tan(x)~x로만 근사를 배워

$XGxpbSBfe3hcdG8gMH1eeyB9IFxmcmFje1xzaW4geH17eH1cYXBwcm94INIrxirFJT0x$

$XGxpbSBfe3hcdG8wfV57IH1cZnJhY3sxLVxjb3MgeH17eF4yfVxhcHByb3ggyy0gzC7GBsQqezJ9xjM9x0jEEg==$

$XGxpbSBfe3hcdG8gMH1eeyB9XGZyYWN7XHRhbiB4fXt4fVxhcHByb3gg2CrFJT0x$

극한을 처리하는데 이렇게 되면 다음과 같은 상황에서 문제가 생깁니다.

$XGxpbSBfe3hcdG8gMH1eeyB9XGZyYWN7XHRhbiB4LVxzaW4geH17eF4zfSBcYXBwcm94ICDYNXgtxys9MCBcc3BhY2U/$

이처럼 최저차항이 날아갈 때는 x->inf 일 때 입장에서는 최고차항이 날아가는 셈이기 때문에 단순히 x-x=0으로 생각하면 안됩니다. 다시 말해 이는 부정형 감성이기 때문에 직접 계산을 해주어야 하고 교과서대로 식 조작 후 근사하면 이렇게 해결 가능합니다.

$XGxpbSBfe3hcdG8gMH1eeyB9XGZyYWN7XHRhbiB4LVxzaW4geH17eF4zfT3eLCAoMS1cY29zIHgpxjBcYXBwcm942DZ4XHRpbWVzxw1eMn17Mn3GOSA9xhUxxBM=$

혹은 테일러 급수 때리면 이렇게도 됩니다.

$XGxpbSBfe3hcdG8gMH1eeyB9XGZyYWN7XHRhbiB4LVxzaW4geH17eF4zfT3YLCh4K8YJxCZ7M33HDjJ4XjV9ezE1fSsuLi4pLSh4LcsmNsgmxiUyMH0txCbGag==$

이제 정리해주면 다음과 같이 1/2을 얻을 수 있습니다.

$PVxsaW0gX3t4XHRvIDB9XnsgfVxmcmFje8YGeF4zfXsyfSvIDjV9ezh9Ky4uLn3FGz3GGDHEJA==$

추가로 만약 다음과 같이 주어졌어도 테일러 급수 활용해 간단히 해결해볼 수 있겟죠!

$XGxpbSBfe3hcdG8gMH1eeyB9XGZyYWN7XHRhbiB4LVxzacUHxRR4XjN9ezJ9fXt4XjV9Pdg6KHgryy8zfccOMsQ1ezE1fSsuLi4pLSjNVTbIJsYlMjB9LcUm1Hgg2HnLQjjFZscxxhgxxBY=$

자 여기까지면 끝! 근데 평균값 정리의 확장으로 테일러 정리를 알고 얘를 n->inf 했을 때 마지막 항이 0으로 수렴하면 테일러 급수로 함수를 표현할 수 있는데 이걸 뭐 어떻게 뭐... 너무 길죠? 그래서 그냥 다음 결과만 기억하면 되고, 최저차항 날아갈 때만 조심하자고 생각하면 됩니다.

자 그럼 문제 하나 풀어보고 끝낼게요. 제가 처음에 언급해던 2022학년도 6월 미적분 28번을 봐봅시다!

도형 해석은 각자 해보시고.. 제가 현장에서 얻었던 식은 다음과 같고 간단히 근사해볼게요

$7ISg67aEXHNwYWNlIFBR7J2YIMYN6ri47J20PVxzZWMgMlx0aGV0YSAtMT1cZnJhY3sxLWNvc8gXfXvMDSBcYXBwcm94IMYqxgYoxx4pXjJ9ezJ9fXsxfT3HE14y$

$7ISg67aEXHNwYWNlIFFT7J2YxwzquLjsnbQ9XHRhbiAyXHRoZXRhLTLFDsYNID1cZnJhY3vMFH17MS3ED14yyBEgXHRpbWVzzRUgXGFwcHJveCDJQcc8fcYte8YRXjJ9PcccXjM=$

이렇게 해서 저는 각의 이등분선 성질을 써서

$ZihcdGhldGEpPVxmcmFjezF9ezJ9XHRpbWVzMc0HXHNpbiAoXHBpLTLOMsUZxxTFPWFwcHJveMYdyxg9xgs=$

이거랑

$ZyhcdGhldGEpPVxmcmFjezF9ezJ9IFx0aW1lcyBQUcgKUVPIClxzaW4oXGFuZ2xlIFBRUynGF8Y9UFJ9e1BSK1JTfVxhcHByb3jLVMYoMsZuXjLODzPMRjF9e8YXKzHISCDIKTU=$

이거 구했습니다. (이때 점 S 직선 AP와 직선 BQ의 교점이며 오르비 수식편집기에서 선분 표시 어떻게 하는지 모르겠어서 그냥 대충 적었습니다. 아시는 분 있으면 댓글 좀)

자 아무튼 오늘의 결론!

최저차항이 날아가지 않으면 삼도극에서 근사 열심히 해보자

$XHNpbiB4XGFwcHJveCB4LFxzcGFjZSAxLVxjb3PKGVxmcmFje3heMn17Mn3IJSBcdGFuIHggyT4gxxkoYXPIC8kUxSRhY2hlyRswKQ==$

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Math Strange · 977332 · 23/03/30 21:46 · MS 2020

테일러 급수부터 읽어보시면 매우 유용할듯 합니다 :)

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책참 · 1020565 · 23/03/30 21:57 · MS 2020

한동안 선생님 글 즐겁게 읽었어서 반갑네요!! 확인해주셔서 감사드립니다.

좋아요 0 답글 달기 신고
Math Strange · 977332 · 23/03/30 21:58 · MS 2020

힝 ㅠ 요즘 자료 만드느라 넘넘 바빠요 ㅠ

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7HMi · 1240856 · 23/07/09 22:28 · MS 2023

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