사회·문화: '줄다리기의 원리'

안녕하세요. Headmaster입니다. 오랜만에 사문 칼럼으로 다시 찾아뵙게 되었네요.

오늘 본 칼럼에서 다루게 될 ‘줄다리기의 원리’는, ‘세 가지 이상 변수에서의 가중평균’ 유형의 문항의 해결에 있어 활용할 수 있는 원리입니다.

2021학년도 9월 모의평가 20번에 최초로 등장해 75%가 넘는 오답률을 기록했던 해당 유형의 문항은, 이후 시험에서도 적지 않은 빈도로 등장해 많은 학생들에게 어려움을 선사해 줬죠. 해당 유형의 문항에 대한 일반적인 풀이 방법은, 각 변수가 가지는 가중치(일반적으로는 각 지역의 인구)를 미지수로 둔 뒤 비율에 대입해 해당 미지수를 구하는 것이었습니다.

그러나 해당 방법은 여러 번의 방정식 계산을 거쳐야 한다는 점에서, 많은 시간을 들여 문제 풀이를 진행해야 한다는 단점이 존재합니다. 안 그래도 사회탐구 중 상당한 수준의 타임어택을 가지고 있는 사문 과목의 특성상, 위 유형의 문항은 존재만으로도 시험 운용에 매우 큰 영향을 미치게 되죠.

그렇기에 저는, 해당 유형의 문항을 해결하는 데 있어 활용할 수 있는 새로운 방법을 제시합니다: 그리고 저는 이 방법을, ‘줄다리기의 원리’라고 명명하겠습니다.

본격적인 설명에 들어가기 전에 다음 사례에 대해 생각해 봅시다.

줄다리기에 있어 3만큼의 힘을 가진 사람 5명이 왼쪽에서 줄을 당기고 있고, 5만큼의 힘을 가진 사람 2명이 오른쪽에서 줄을 당기고 있다면, 줄은 어느 방향으로 어느 정도 힘으로 끌려갈까요?

이 질문에 대해서는, 아마도 이 글을 읽고 있는 여러분 전부 쉽게 답을 내어놓을 수 있으리라 생각합니다: 왼쪽으로 당겨지는 힘이 총 15, 오른쪽으로 당겨지는 힘이 총 10이니, 왼쪽으로 5만큼의 힘으로 끌려갈 것이라는 사실을 알 수 있죠.

그러면 여기서 한 가지 질문을 더 던져 보겠습니다: 위 상황에서 1만큼의 힘을 가진 사람이 오른쪽에 붙어 줄을 당긴다고 하면, 줄이 더 이상 어느 방향으로 끌려가지 않게 하려면 몇 명의 사람이 붙어야 할까요?

왼쪽으로 5만큼의 힘으로 줄이 끌려가고 있으니, 1만큼의 힘을 가진 사람은 총 5명 붙어야 힘의 평형이 이루어져 어느 쪽으로 줄이 끌려가지 않게 되겠죠.

위 상황을 정리해보면 다음과 같습니다: 3만큼의 힘을 가진 사람 5명이 왼쪽에서 줄을 당기고 있고, 5만큼의 힘을 가진 사람 2명과 1만큼의 힘을 가진 사람 5명이 오른쪽에서 줄을 당기고 있어 양쪽에서 줄을 당기는 힘이 같아 줄은 어느 방향으로 끌려가지 않고 있죠.

그럼 이제 위 상황을, 여러분들이 자주 보았을 방식으로 표현을 해 보겠습니다.

아마 여러분들은 이 표를 보자마자 다음과 같은 의문이 들었을 것입니다: 위에서 제시한 줄다리기 상황하고 이 표가 도대체 무슨 관련이 있는 것이죠?

그리고 당연히, 이 표를 그냥 봤을 땐 그 연관성에 대해 아무것도 와 닿지 않을 것입니다: 뒤에서 제가 몇 가지 내용을 제시할 테니, 해당 내용에 비추어 위의 표를 다시 바라보시죠.

갑국 전체 비율(‘가 제도 수급자’라는 표현은 편의를 위해 생략하겠습니다): 줄다리기의 줄

2. 갑국 전체 비율보다 낮은 비율: 줄을 왼쪽에서 당기는 것

3. 갑국 전체 비율보다 높은 비율: 줄을 오른쪽에서 당기는 것

위에 따르면, A 지역은 ‘갑국 전체 비율’이라는 줄을 왼쪽에서 당기고 있고, B 지역과 C 지역은 ‘갑국 전체 비율’이라는 줄을 오른쪽에서 당기고 있는 것이라고 볼 수 있는 것이죠.

이제 몇 가지 내용을 더 살펴 봅시다.

4. 갑국 전체에 비해 비율이 차이 나는 정도: 줄을 당기는 힘

5. 각 지역의 전체 인구: 사람 수

위에 따르면, A 지역은 ‘갑국 전체 비율’이라는 줄을 왼쪽에서 3만큼의 힘을 가진 사람이 5명 붙어서 당기고 있고, B 지역은 ‘갑국 전체 비율’이라는 줄을 오른쪽에서 5만큼의 힘을 가진 사람이 2명 붙어서 당기고 있고, C 지역은 ‘갑국 전체 비율’이라는 줄을 오른쪽에서 1만큼의 힘을 가진 사람이 5명 붙어서 당기고 있는 것으로 이해할 수 있죠.

만약 여기서 C 지역의 비율이 1%p 늘어서 12%가 된다면 어떻게 될까요?

계산해 보면 아시겠지만, 위 경우에서는 당연히 갑국 전체 비율이 10%가 될 수 없습니다: 왼쪽에서 당기고 있는 힘과 오른쪽에서 당기고 있는 힘이 각각 15로 평형을 이루고 있던 줄이, 갑자기 오른쪽에서 당기고 있는 힘이 20이 되어 평형이 깨져버리기 때문이죠.

그럼 위 경우를 약간 변형해 한 가지 문제를 제시해 보겠습니다.

Q. A~C 지역 (가) 제도 수급자 비율이 표와 같을 때, B 지역 전체 인구는 A 지역 전체 인구의 몇 배인가?

이때, A 지역 전체 인구는 C 지역 전체 인구와 같으므로 두 인구를 100으로 두어 봅시다: 그리고 B 지역 전체 인구는 미지수이니 100k로 둘 수 있죠.

이 경우 A 지역은 ‘갑국 전체 비율’이라는 줄을 각자가 3만큼의 힘으로 왼쪽에서 100명이 붙어서 당기고 있고, C 지역은 줄을 각자가 1만큼의 힘으로 오른쪽에서 100명이 붙어서 당기고 있는 것으로 이해할 수 있습니다. A, C 지역만 보았을 때 줄은 왼쪽으로 200만큼의 힘으로 당겨지고 있으므로, B 지역은 줄을 오른쪽으로 200만큼의 힘으로 당겨야 하죠.

그리고 B 지역은 줄을 각자가 5만큼의 힘으로 오른쪽에서 100k명이 붙어서 당기고 있습니다: 이 말은, 오른쪽으로 총 500k만큼의 힘으로 줄을 당기고 있다는 것을 이해할 수 있죠. 

그렇기에 200=500k이고, k=0.4인 것을 알 수 있으며, B 지역의 전체 인구는 A 지역의 전체 인구의 0.4배임을 확인할 수 있는 것이죠.

이렇게 각 지역의 인구와 비율을 ‘줄다리기’의 상황으로 변형해 이해하면, 굳이 방정식 계산을 하지 않고도 구해야 하는 값을 빠르게 구할 수 있습니다.

이제 다음 경우를 한 번 살펴보겠습니다.

Q. A∼C 지역 (가) 제도 수급자 비율이 표와 같을 때, ㉠에 들어갈 값은?

이 경우 A 지역 전체 인구는 500, B 지역 전체 인구는 200, C 지역 전체 인구는 500으로 둘 수 있습니다: *으로 주어진 조건을 활용해 당연히 확인할 수 있는 사항이죠.

B 지역은 각자가 5만큼의 힘으로 오른쪽에서 200명이 붙어서 줄을 당기고 있고, C 지역은 각자가 1만큼의 힘으로 오른쪽에서 500명이 붙어서 줄을 당기고 있습니다. B, C 지역만 보았을 때 줄은 오른쪽으로 1500만큼의 힘으로 당겨지고 있으므로, A 지역은 줄을 왼쪽으로 1500만큼의 힘으로 당겨야 하죠.

그리고 A 지역은 줄을 500명이 붙어서 당기고 있습니다. 이때 우리가 확인해야 하는 정보는 다음과 같습니다: A 지역은 줄을 어느 방향으로, 어느 정도 힘으로 당기고 있는가?

그리고 그 방향이 왼쪽인 것을 우리는 이미 위에서 확인했습니다. 이제 남은 건 얼마만큼의 힘으로 당기고 있는지에 대한 확인이죠.

A 지역이 줄을 왼쪽으로 k만큼의 힘으로 500명이 당기고 있다고 가정해 봅시다: 이때 A 지역은 총 500k만큼의 힘으로 줄을 왼쪽으로 당기고 있는 것이죠.

그리고 A 지역은 왼쪽으로 총 1500만큼의 힘으로 줄을 당겨야 하므로, 500k=1500, k=3인 것을 알 수 있고, A 지역은 왼쪽으로 각자가 3만큼의 힘으로 500명이 줄을 당기고 있는 것으로 이해할 수 있죠.

그렇기에 ㉠에 들어갈 값은 (10-3)=7인 것을 알 수 있죠.

이제 실전에서 출제된 문제들을 살펴보면서, 위 ‘줄다리기의 원리’가 어떻게 적용될 수 있는지 한 번 살펴봅시다.

2021학년도 9월 모의평가 20번

B 지역 전체 인구는 A 지역 전체 인구의 2배이므로, B 지역 전체 인구는 200, A 지역 전체 인구는 100으로 둘 수 있습니다. 또한 C 지역 전체 인구는 100a로 둘 수 있죠.

(가) 수급자 비율을 보았을 때, A 지역은 각자가 왼쪽에서 1만큼의 힘으로 줄을 당기고 있고, B 지역은 줄을 당기지 않고 있으며, C 지역은 각자가 3만큼의 힘으로 오른쪽에서 줄을 당기고 있다고 이해할 수 있습니다.

이에 의하면, A 지역은 왼쪽으로 총 100만큼의 힘으로 줄을 당기고 있고, C 지역은 오른쪽으로 총 300a만큼의 힘으로 줄을 당기고 있다는 것을 알 수 있습니다.

줄을 양쪽에서 당기는 힘은 평형을 이루어야 하니, 300a=100, a=1/3이므로 C 지역의 인구는 100/3인 것을 바로 알 수 있죠.

분수 형식의 인구 계산은 복잡하니, 각 지역의 인구에 3을 곱해주는 정도의 센스는 있으면 좋겠죠?

2022학년도 9월 모의평가 20번

B 지역 인구는 A 지역 인구의 2배이므로, B 지역 전체 인구는 200, A 지역 전체 인구는 100으로 둘 수 있습니다. 또한 C 지역 전체 인구는 100a로 둘 수 있죠.

(나) 수급자 비율을 보았을 때, A 지역은 줄을 당기지 않고 있고, B 지역은 각자가 왼쪽에서 1만큼의 힘으로 줄을 당기고 있으며, C 지역은 각자가 오른쪽에서 6만큼의 힘으로 줄을 당기고 있다고 이해할 수 있습니다.

이에 의하면, B 지역은 왼쪽으로 총 200만큼의 힘으로 줄을 당기고 있고, C 지역은 오른쪽으로 총 600a만큼의 힘으로 줄을 당기고 있다는 것을 알 수 있습니다.

줄을 양쪽에서 당기는 힘은 평형을 이루어야 하니, 200=600a, a=1/3이므로 C 지역의 인구는 100/3인 것을 바로 알 수 있죠.

역시 각 지역의 인구에 3을 곱해, A 지역 인구는 300, B 지역 인구는 600, C 지역 인구는 100으로 설정해 주는 정도의 센서는 있어서 나쁠 게 없겠죠?

이제 ㉠의 값을 구해봅시다: B 지역은 1만큼의 힘으로 각자가 줄을 왼쪽에서 600명이 당기고 있는 것으로, C 지역은 3만큼의 힘으로 각자가 줄을 오른쪽에서 100명이 당기고 있는 것으로 이해할 수 있습니다: 이 두 지역만 보았을 때, 줄은 왼쪽으로 300만큼의 힘으로 당겨지고 있는 것으로 이해할 수 있죠.

그러나 줄을 양쪽에서 당기는 힘은 평형을 이루어야 하니, A 지역은 줄을 오른쪽에서 300만큼의 힘으로 당겨야 합니다: 그리고 A 지역은 줄을 300명이 당기고 있죠.

이를 고려해 보았을 때, A 지역은 각자가 줄을 1만큼의 힘으로 오른쪽에서 당기고 있어야 합니다. 자연스레 ㉠에 들어갈 값은 8+1=9인 것을 알 수 있죠.

이제 아래의 두 문제는 답만 제시할 테니, 구하는 것은 위의 원리를 활용해 여러분이 직접 해 보시면 되겠습니다!

2021학년도 수능 15번

Q. C 지역 인구는 A 지역 인구의 몇 배인가?

A. 0.5배

2022학년도 수능 15번

Q1. 65세 이상 인구는 C 지역이 A 지역의 몇 배인가?

Q2. ㉠과 ㉡에 들어갈 값은 각각 얼마인가?

A1. 6배

A2. ㉠=65, ㉡=29

이렇게 해서 본 칼럼에서 제시할 내용은 모두 마무리가 되었습니다! 

이틀 뒤 치러질 9월 모의평가와 그 이후 치러질 수능에서 본 유형이 출제될지 혹은 출제되지 않을지에 대해서는 알 수 없지만, 출제된다면 위의 원리의 도움을 받아 종전보다 훨씬 빠른 시간에 문제를 해결해 원하시는 성적을 받아들 수 있기를 응원하겠습니다!

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