설맞이 샤인미 15번 해설
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15번
정의역이 자연수 전체 집합인 x에서 함수 평균이 어떤 함숫값보다 작은 건 불가능합니다.
즉, 같아야 합니다.
f(1) f(2) f(m) 값을 각각 a b c (모두 자연수)라 합시다.
각각의 함숫값 f(a), f(b), f(c)는 자연수 정의역 내의 최솟값이어야 합니다. (이는 세 함숫값이 전부 동일함을 시사합니다.)
그 최솟값을 t라 하겠습니다.
f(x)=t를 만족시키는 근은 각각 a,b,c입니다.
f(x) 최고차항이 음수인 경우,
(나)를 만족시킬 수 없습니다. (무한으로 가면 무한대로 작아지기 때문입니다.)
따라서 최고차항은 양수입니다.
또한, 최고차항이 양수인 상태에서
a가 1이 아니라면, a의 뒤에 1이 존재한다는 것을 말합니다.
그렇다면, f(1)의 값은 f(a)보다 작게되어 모순입니다.
즉, a=1입니다. 따라서, f(1)은 1이고, t=1입니다.
또한, f'(1)>0이므로, f(m)> f(2)이며,
따라서 c > b입니다.
c와 b 사이 어떤 자연수가 존재하게 된다면,
그 자연수에서의 함숫값은 t보다 작습니다.
따라서, c=b+1입니다.
f(x)=k(x-1)(x-b)(x-b-1)+1이라 하겠습니다.
f(m)-f(2)=1이므로,
f'(1)=15/2입니다.
위 식에서 f(2)=b이므로,
k(1)(2-b)(1-b)=b-1,
k(b-2)=1 입니다.
f'(1)=15/2이므로,
k(b)(b-1)=15/2 이며,
이를 위 식과 연계하면, b=6, k=1/4입니다.
또한, m=3 입니다.
따라서, f(3m)=f(9)=13입니다.
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