읽기 전에!
이 글은 화학1 개념이 어느정도 있는 분들을 위한 글이기 때문에 기본적인 개념에 대해서는 어느정도 생략합니다.
이 글은 읽는 분들께 양적관계를 위한 계산법을 다루나 사용 여부는 독자의 판단에 달려있습니다.
이 글의 대부분의 화학 반응은 aA + bB → cC 꼴을 기반으로 합니다.
목차
1. 양적관계란?
2. 기본적인 풀이 방향성
3. 화학 반응식 계수의 추론
4. 반응 전후 전체 몰수비의 특징
5. 반응 물질의 증가에 따른 그래프의 개형
1. 양적관계란?
반응에 참여하는 반응물질과 생성물질들 사이의 양적 비의 관계를 말한다.
화학반응식에서 나타나는 물질들간의 계수비이다. [두산백과]
화학1 양적관계 문제들에 대해서 설명을 하자면
"어떠한 화학 반응 실험에서 측정된 질량, 부피, 압력, 반응식 등에 대한 자료로 다른 정보를 추론하는 문제"
이다.
탄화수소의 실험식을 구하는 원소분석장치 계산문제 역시 양적관계 문제이고
1~3페이지에서 간단한 질량, 부피, 몰수 등을 구하는 문제 역시 양적관계 문제이다.
허나 이 문제의 난이도를 올려 킬러 유형으로 만든것이 많은 사람들이 두려워 한다는 양적관계 킬러 문항이다.
그렇다면 앞페이지에 나오는 문제들과 뒷페이지에 나오는 문제들을 푸는데 사용하는 개념
즉, 이용되는 개념들은 상당히 쉬운데 왜 문제 풀이에 어려움을 겪는가?
이유는 아래와 같다.
(1) 문제 풀이 과정에서 무리하게 미지수를 많이 사용하는 경우
(2) 반응 진행 상황 파악을 제대로 하지 못해서.
전자의 경우에는 알수없는 자료들에 대해서 무조건 미지수를 두는 바람에 문제 자료들을 제대로 사용하지 못하며
후자의 경우에는 반응 진행에 따른 특징파악을 못해 전체 반응 상황을 파악하지 못하는 경우가 많다.
2013년 9월 시행 모의고사
케이스 (1)에 관련된 문제 사항이다.
A, B의 원자량을 미지수로 두어도 풀리는 문항이며 반응 전 A, B의 질량을 미지루소 두어도 풀리는 문항이다.
EBS에서 제공한 해설에도 역시 그와 같이 해설되어 있다.
하지만 평가원에서 해설을 제공하지는 않았으나 위 문제는 화학1에서 쉽게 넘어가는 개념중 하나인
질량 보존의 법칙 과 관련된 문제이다.
여태까지의 평가원 문제들을 보면 느끼겠지만 절대로 무리한 계산은 요구하지 않는다.
계산이 나오더라도 간단한 사칙연산, 비례식, 일차방정식, 연립방정식 안에서 나온다.
2014년 3월 시행 모의고사
2015년 11월 시행 수능
케이스 (2)에 관련된 문제 사항이다.
위 두 문제의 공통점은 전체 반응 상태를 파악해야 풀이의 갈피가 보인다는 점에서 큰 의미가 있다.
부분만 보아서는 절대로 유연하게 풀수 없는 문제에 속하고 위와 비슷한 교육청, 평가원 문제들이 있다.
위 두 문제는 양적관계에서 가장 핵심적인 내용들을 모아놓은 문제라고 생각되는 문항들이다.
2. 기본적인 풀이 방향성
그렇다면 문제를 마주쳤을때 어떠한 풀이 방향성을 가져야 할까?
그를 설명하기 전에 앞서 화학1 양적관계에 나오는 요소 들에 대해서 먼저 파악하도록 하자.
질량, 몰수, 물질상태, 용기, 부피, 분자량, 원자량, 반응식 계수, 분자를 이루는 원자계수.
물질상태를 표시해주는 이유는 아보가드로 법칙을 이용하여 몰수와 부피의 동일성을 제시하기 위해서이다.
용기의 상태 (부피가 변하는 실린더 or 부피가 변하지 않는 강철용기)를 제시하는 이유는 기체의 특징 때문이다.
주사위 피스톤을 누르면 기체의 부피가 변하고 이를통해 기체는 일정한 부피를 가지지 않는다는것을 알수있게 되며
그렇기 때문에 온도, 압력 조건등을 제시해 주는 것이다.
강철용기 상태의 경우 전체 부피가 일정 (단, 압력의 변화)하기 때문에 아보가드로 법칙을 이용하지 못한다.
원자량, 해당 원자 질량 을 동시에 나타내주는 이유는 해당 물질의 몰수 를 제시하기 위해서 이며
원자량이 나와있지 않고 원자 질량을 여러 실험상황에 나타내 주는 이유는 몰수 변화를 제시하기 위해서다.
즉 화학1 양적관계에서 가장 중심이 되는 요소는 몰 임을 기억하고, 몰수를 알수 있는 상황이라면
무조건, 몰수를 표시해두도록 하자.
물질의 상태가 기체가 아니면 질량에 유의하도록 하고 기체상태면 용기상태 파악후 부피에 유의하도록 한다.
위 내용을 토대로 기본적으로 양적관계 문제를 마주치게 될경우 기본적으로 어떠한 행동을 취해야 하는지 보도록 하자.
1) 분자량과 질량이 제시 되어 있는가?
제시되어 있다면 질량 옆에 몰수를 표시해 두도록 하자.
2) 부피가 제시되어 있는가?
그렇다면 해당 부피를 구성하는 물질의 상태, 용기의 상태를 보도록 하자.
3) 분자량이 제시되어 있지 않은데 물질의 질량만이 제시되어 있는가?
만약 여러 실험 과정이 있고 질량간의 공통인수가 눈에 보인다면 그 공통인수로 나눠 대략적인 몰수를 적어둔다.
예시 문항의 경우 A의 질량의 공통인수가 0.4로 눈에 보이며 B의 질량은 7.6이라는 공통 인수가 보인다.
이점을 캐치하여 A의 몰수를 각각 a,2a B의 몰수를 3b, b 라고 잡을수 있으며
기체 상태, 압력조건을 읽고 아보가드로 법칙으로 간단히 푸는것이 가능하다.
2014년 9월 시행 모의고사
4) 반응식의 모양이 완전한가?
완전하다면 해당 반응식을 통하여 양적관계 문제 계산을 하도록 하자. (문제 특성상 어느정도의 계산은 필연적)
완전하지 않다면 화학1 개념에 입각하여 계수를 추론하도록 한다. (아래의 3에서 언급)
주로 반응식의 계수를 미지수로 두는 사례가 많다.
3. 화학 반응식 계수의 추론
양적 관계와 화학 반응식은 뗄래야 뗄수없는 관계다.
하지만 이러한 반응식을 완전한 모양으로 준다면 문제의 난도가 한결 낮아질것이며
완전한 모양이 아니라면 난도가 상대적으로 오를것이 자명하다.
그리고 이유없이 완전하지 않은 상태의 반응식을 줄리는 없을것이며 반드시 반응식을 완성시켜야 할것이다.
그렇다면 수능 출제를 하는 평가원의 양적관계 문항을 풀기위해서는 어떠한 추론을 해야 하는가?
가능한 추론방식은 크게 세가지로 나뉜다.
(1) 원자량을 토대로 자연수의 약수를 이용한 추론.
(2) 분자의 구조를 토대로 구조도 추론을 이용한 추론
(3) 계산을 통한 추론.
(1), (2)의 경우 조금 이해가 가지 않을수 있으나 백문이 불여일견, 한번 직접 보도록 하자.
(1) 원자수을 토대로 자연수의 약수를 이용한 추론.
2014년 9월 시행 모의고사
위 문제는 화학 반응식이 완전하지 않으며 어떠한 계수가 a라는 미지수로 주어져 있다.
그렇다면 원자의 개수를 바탕으로 어떠한 추론이 가능한가?
aA 에는 X원자가 2개 존재해야 한다.
화학 반응식의 계수는 가장 간단한 자연수의 비다.
따라서 계수를 추론할때에는 무조건 자연수임을 염두해두어야 한다.
A 분자 1개에 X원자 1개가 있을경우 a는 2이며
A 분자 1개에 X원자 2개가 있을경우 a는 1이다.
여기서 X원자 개수를 1,2로 나눈것일까? 아래를 한번 보도록 하자.
Y원자로도 한번 예측을 해보도록 하자.
A 분자 1개에 Y원자 1개가 있을경우 a= 4 이며
A 분자 1개에 Y원자 2개가 있을경우 a=2 이고
A 분자 1개에 Y원자 4개가 있을경우 a=1 이다.
Y를 기준으로 추론을 할때는 1,2,4로 가정하였는데 가정의 기준은 해당 원자의 개수의 약수이다.
이유는 개수와 계수의 곱이 총 개수여야 하는데 이 값은 모두 자연수 로 이루어져 있기 때문.
+여기서 계수는 X, Y로 각각 가정했을때 가능한 자연수의 교집합이다.
(2) 분자의 구조를 토대로 구조도 추론을 이용한 추론
drj 님의 Dr.J 모의고사.
여기서 a는 어떠한 값을 가질까?
(1)을 읽었다면 1 또는 2라는 추론이 가능하다.
그렇다면 b는 어떤값을 가지게 될까.
aA 추론과 비슷하면서도 오묘하게 다를것이다. 2B에 Y원자가 b개 있다는것이 자명하기 때문.
이 경우에는 약수를 통한 계수의 추론이 불가능하다. 이럴때는 분자 구조도를 통한 추론을 해야한다.
B 분자 1개에는 X원자 1개가 있음이 자명하다.
X 원자 1개에는 Y원자가 최대 4개가 붙을수 있으므로 b는 1~4중 하나이다. (옥텟규칙)
그런데 이러한 의문을 가질수 있다.
사실 옥텟 규칙은 원자번호가 커짐에 따라 성립하지 않는 사례가 생긴다.
(이유는 에너지 준위의 역전, s,p 오비탈을 넘어 d,f 등의 오비탈에도 전자가 채워지기 때문)
(물론 수능 교재에서는 s,p오비탈까지만 다루며
그런데도 불구하고 그러한 추론을 해도 무방할까?
하지만 이러한 추론이 수능에서 가능한 이유는 수능 교재들을 보면 알수 있다.
작년 수능특강 교재의 일부분을 인용해보도록 하겠다.
옥텟 규칙: 18족 원소 이외의 원자들이 전자를 잃거나 얻어서 또는 전자를 공유함으로써
비활성 기체와 같이 가장 바깥 전자껍질에 8개의전자를 채워 안정한 전자 배치를 가지려는 경향을 말한다.
수능 교재를 보아도 그렇다.
a) 4주기 2족 즉, 원자번호 21번 이상의 원소의 구조에 대해서는 절대로 다루지 않는다. (금속 원소의 이온결합 제외)
b) 3d 오비탈과 4s 오비탈의 에너지준위 역전이유에 대해서 절대로 다루지 않는다.
c) 옥텟규칙이 21번 이상 원소에 대해서 성립하지 않는 이유에 대해서 다루지 않는다.
한번 4주기 3족 원소 스칸듐에 대해서 보도록 하자
아마 4번째 전자껍질에 3개의 전자가 있을거라고 생각하겠지만 절대 아니다.
1,2,3,4번째 전자껍질에 전자가 각각 2, 8, 9, 2개씩 채워져있는것이 보일것이다.
세번째 껍질에 전자가 1개 채워진 이유는 3d 오비탈이 4s 오비탈보다 에너지 준위가 낮아서 4s오비탈
즉 네번째 전자껍질보다 전자가 먼저 채워지기 때문이고 이로인해 옥텟규칙이 성립하지 않는다.
하지만 현 수능교재에서 옥텟규칙 비성립에대해서는 다루지 않기에 이러한 추론이 가능하다.
또한 현재 화1에서는 에너지 준위 역전 원인에 대해서 다루지 않으며
그로인해 21번 이상의 원소에 대해서 자세히 다루지 않는다. (4s, 3d 역전)
예외가 있다면 이온 결합 또는 산화 반응에서는 철, 구리 등의 금속원소 만을 다루며
이온결합 만을 다룬다.
주기율에서도 20번 이하의 원소들만 나오는 이유 역시 같다.
기본적으로 문제를 풀때 (1), (2)를 토대로 계수를 추론한 다음 계산을 통해 실제 계수를 구해보도록 하자.
+추가로 산화수를 토대로 반응식을 완성시키는 문제는 자세히 다루지 않으며 나온 사례도 없다.
+산화수를 토대로 계수 완성이 나온다 하더라도 침착하게 구하도록 하자.
+구조를 통한 계수를 추론하기 보다는 계산을 통한 계수를 구하는 풀이를 우선시 하자.
4. 반응 전후 전체 몰수비의 특징
반응 전후 전체 몰수의 차이가 중요한 이유는 무엇일까?
반응량과 전체 몰수의 변화량 이 비례하기 때문이다.
A + 2B → C 반응에서 A가 1몰 반응하면 전체 몰수는 2씩 감소할 것이며 2몰 반응하면 전체 몰수는 4씩 감소할 것이다.
따라서 전체 반응량과 전체 몰수 변화량은 비례 한다.
(이 개념을 모르고 있었다면 1-(2)에 포함되는 사람일것이다.)
그렇다면 전체 몰수비는 어떠한 경향성을 갖는지에 대해서 알아보도록 하자.
2X + Y → 2Z
한번 X가 2몰 반응했다고 가정해보자. 그렇다면 전체 몰수는 1몰 감소하고 2몰의 Z가 생길것이다.
따라서 반응한 X, Y가 총 3k 몰이면 생성되는 Z는 2k 몰이된다.
따라서 반응물질과 생성물질의 비는 3:2이다.
하지만 대부분의 화학 반응 문제에서는 반응하지 않고 남는 물질이 있을것이며 그 몰수를 a몰이라 하자.
즉 반응 전후 전체 몰수비는 3+x:2+x 가 된다. (단, x는 0 이상의 실수)
(실제로는 3k+a:k+a 지만 양 변을 k로 나눠주고 a/x를 양수라고하면 위의 모양이 된다)
여기서 x가 무한히 커진다면 3+x:2+x는 1:1 즉 3:3에 가까워 지게 될것이다.
하지만 절대 1:1은 되지 못할것이다. 또한 x가 0이면 3:2 즉, 반응물의 계수합: 생성물의 계수합이 된다.
따라서 반응전후 전체 몰수비는 후항을 기준으로 3:2 보다는 크거나 같으며 3:3보다는 작다.
여기서 3:2는 x=0 즉a=0인 경우이므로 남는 물질이 없음을 의미한다.
만약 반응 전후 계수합 비가 3:4 즉, 증가하는 반응이면 어떻게 될까?
이때에도 역시 3:4 ~ 3:3 범위를 가질것이며 3:4는 남는물질이 없음을 의미할것이다.
추가로 반응 전후 전체 몰수비가 1:1인 경우는 계수합이 1:1인경우가 유일하다.
이 문제의 a는 원자수 추론에 의해 1 또는 2일것이다.
a=2라면 3:2~3:3 범위에 속해야 하므로 3:1은 불가능하고 따라서 a=1이다.
그런데 전체 몰수비와 반응계수합 비가 3:1로 일치하므로 남는 물질은 없다.
따라서 X와 Y의 몰수비는 1:2가 된다.
b는 원자 구조도 추론을 바탕으로 1~4중 하나일것이다.
1이면 전체 몰수비가 1:1이여야 하며 2면 3:2 즉 9:6~9:9범위이므로 불가능하다.
그런데 3,4면 가능하기 때문에 이때는 계산을 통해 실제 b의 값을 구해주면 될것이다.
그렇다면 이때에는 실제 비율을 구해야 할텐데 이럴땐 어떻게 하는것이 좋을까?
역시 반응 전체 몰수감소량은 반응량에 비례하기 때문에 얼만큼 반응하는지 파악하는것이 중요하다.
위에서 X와 Y의 몰수비가 1:2인데 조건에서 9:5라 나와있으니 3,6몰이라 잡자.
b=4면 b가 6몰반응하고 전체 몰수는 4.5 감소하므로 9:4.5가 되며
b=3이면 b가 6몰 반응하고 전체 몰수는 4 감소하므로 9:5가된다. 따라서 b=3이다.
즉 반응식의 계수가 가려져 있다면 아래의 단계를 따르도록 하자.
(1) 원자수를 바탕으로 추론이 가능하다면 가능 경우의수를 잡는다.
(2) 구조를 바탕으로 추론이 가능하다면 가능 경우의수를 잡는다.
(3) 전체 몰수비 조건이 주어져 있다면 비례식의 범위를 바탕으로 위 경우의수 교집합에서 걸러낸다.
(4) 걸러진 경우의수를 판단하는데에는 오랜 시간이 걸리지 않는다.
걸러낸 경우의수가 적다면 가정을 통한 모순을 이끌어 내도록 하며 경우의수가 많다면 미지수를 그대로 두고 계산을 한다.
5. 반응 물질의 증가에 따른 그래프의 개형
반응물질에 따른 그래프의 개형은 어떻게 될까?
대표적인 예로 넣어준 물질에 따른 그래프의 개형을 보도록 하자.
(y축은 전체 몰수, x축은 넣어준 물질의 몰수로 하며 x축이 질량이면 기울기만 달라질뿐 개형엔 변화가 없다.)
aA + bB → cC
역시 이번에도 기본적인 모양에 대해서 설명하도록 하겠다.
A의 양을 증가시켜주고 일정량의 B가 들어있다고 생각해보면 언젠가는 B가 모두 반응할것이다.
따라서 첫번째로 반응이 끝난 뒤부터는 기울기가 1인 직선이 그려질 것이다.
(X축은 넣어준 A의 몰수이며 몰수가 아닌경우엔 기울기가 1이 아니다.)
그렇다면 파란 직선 이전의 개형은 어떤 모양일지 추론해보고 그에따른 계수의 특징을 알아보도록 하자.
감소-증가
증가-증가
일정-증가
기울기 일정
개형은 각양 각색일것이다. 평평할수도, 감소할수도, 증가할수도, 그래프의 기울기가 변하지 않을수도 있다.
그렇다면 이에 대해서 어떻게 판단하는것이 좋을까?
첫째로 반응이 끝나기 전에는 넣어준 A가 모두 반응에 참여한다. 따라서 A가 x만큼 들어오더라도 x만큼 반응한다.
즉 A가 a만큼 들어와서 반응한다면 B는 b만큼 반응하고 C가 c만큼 생기게 된다.
따라서 A가 a만큼 반응할때 y축의 변화량은 a-a-b+c=c-b가 된다.
그렇다면 감소-증가 의 경우에는 어떤 특징을 가질까?
반응 전 기울기가 (c-b)/a이고 이 값이 0보다 작아야 하므로 c-b<0, c
증가-증가의 경우에는 기울기가 양수여야 하기 때문에 c>b일것이고
일정-증가는 기울기갸 0이기 때문에 c=b일것이다.
기울기가 일정한 경우에는 (c-b)/a=1 c-b=a a+b=c가 된다.
하지만 이러한 특징에 대해서는 외울필요가 없으며 추론 과정중 일부인 변화량인 c-b 부분만 알아두도록 하자.
그 이후로는 그래프의 개형을 보고 간단하게 위의 과정대로 유도하자.
(c-b는 절대적인 값이 아닌 생성물계수-존재하던 물질의 계수 인점에 유의하도록 하자.)
그렇다면 x축이 몰수가 아닌 질량이여도 위의 개형은 성립할까?
당연히 성립한다. 이유는 1.양적관계란 무엇인가부분을 보면 알수있다.
"3) 분자량이 제시되어 있지 않은데 물질의 질량만이 제시되어 있는가?
만약 여러 실험 과정이 있고 질량간의 공통인수가 눈에 보인다면 그 공통인수로 나눠 대략적인 몰수를 적어둔다."
이부분에 의해서 설령 x축이 질량으로 변하더라도 기울기가 변할뿐 전체적인 개형은 같음을 알수있다.
위 내용들을 정리하면
a) 물질의 증가에 따른 그래프틑 반응 이후 증가직선을 이룬다.
b) 반응이 끝나기 전에는 감소, 일정, 증가, 기울기 일정의 사례가 있다.
c) 반응이 끝나기 전에 넣어주는 물질의 양에 따른 전체 몰수의 변화량은 생성물질몰수-반응물질몰수 이다.
위의 4가지 개형이 존재하고, x축이 질량이여도 전체적인 개형이 변하지 않는다는 사실이 이해가 간다면
아래의 문제를 풀어보도록 하자.
(해설과는 달리 위 내용을 바탕으로 풀어보도록 하자)
2015년 9월 시행 모의고사
이경우에는 기울기가 항상 일정한 상태이다. 따라서 위 본문에서 기울기가 1로 일정한 상태이므로
(c-a)/b=1 이므로 c-a=b=c-1 따라서 b-c=-1임을 알수 있다.
따라서 기울기가1이므로 w는 0.5몰의 질량일것이므로 1몰의질량 즉분자량은 2w이므로
답은 1번이 된다.
2015년 시행 수능
위에서 모두 다룬 내용을 통해 계수를 먼저 추론해보자.
1) 원자수를 바탕으로는 추론이 불가능하다. 원자수가 없기 때문
2) 원자수가 없으므로 분자구조도를 바탕으로 추론이 불가능하다.
그렇다면 앞에서 언급한 그래프의 개형을 통한 해석을 해야할것이다.
B의 질량이 1에서 4가 될때의 평균 기울기는 1, 4에서 8로 갈때는 1.5, 8에서 10으로 갈때는 2이다.
하지만 앞에서 언급한 개형에 따르면 기울기는 1번만 변하거나 변하지 않아야 한다.
그런데 평균기울기가 2번 변한다는 것은 무엇을 의미할까?
기울기가 아닌 평균기울기다.
주황색 구간의 기울기가 1, 노란색 구간의 초록선이 1.5, 초록색 구간이 2임을 의미
즉, 가운데 구간이 반응 종료지점을 포함한다는것을 의미한다.
그렇다면 4에서 꺾인점까지의 거리를 a라 해보자.
4지점의 y좌표가 10이므로 꺾인점의 y좌표는 10+a일것이다.
기울기 2인구간의 x좌표거리는 4-a이므로 8지점의 y좌표는 10+a+8-2a=18-a=16
따라서 a=2이고 꺾인점의 좌표는 6이 된다. 따라서 x좌표가 7일때의 y값은 14가 되므로 답은 28이 된다.
물론, 위 문제는 여러 풀이가 나올수 있다.
하지만 그래프의 개형을 본질적으로 파악한다면 위와 같이 풀수도 있을것이다.
좋은글 감사합니다~
감사합니다!
감사합니다!!!!
도움많이 됐습니다 ㅎㅎ
Dr.J 모의고사 19번에서 b= 3 or 4 까지 구한 다음에 한계반응물이 뭔지는 어떻게 알아요??
경우의수를 어느정도 거른 다음 3 또는 4가 있다면 그때는 계산을 해야겠죠??
본문에 나와있어요~
오류 지적. 스칸듐이 이온화 되면 +3 양이온을 만드는데 이는 옥텟 규칙을 만족합니다.
원래 원소에서는 18족 원소를 제외하고 옥텟 규칙이 만족하지 않는 경우가 대부분입니다.
현재 화학1에서 전자껍질 1개에 전자가 8개를 넘어가는 경우에 대해서
언급을 하지 않는다는 점을 전달하려고 한건데
제가 글을 조금 모호하게 쓴것같네요... 죄송합니다 ㅠㅠ
중간부분에서 c-b/a 가0보다작아야하는데 왜 c-b>0 이죠?? 잘이햐가안되네요
감소니까 그래프의 기울기가 0보다 작아야 하는데
그 기울기가 c-b/a죠~
그럼 c-b가 0보다 작아야하는거아닌가요?
c-b<0이 맞는거아닌지요
제가 글로는 작아야 한다고 해놓고 부등호를 잘못적었네요 ㅠㅠ
수정했습니다~ 지적 감사드려요~
감사합니다! ㅎㅎ
와.. 감사합니다~
이제 화학 배워가는데 항상 양적관계 특정 부분에서 막혀서 보니 계수추론이 문제였네요..
정말 해설 봐도 접근의 이유를 잘 모르겠었는데 자세한 설명 감사합니다~
오타 찾았어요(크리티컬한 부분은 아니지만 ㅎ)
4.반응 전후 전체 몰수비의 특징 중
계수비 3:2설명부분
즉 반응 전후 전체 몰수비는 3+x:2+x 가 된다. (단, x는 0 이상의 실수)
(실제로는 3k+a:k+a 지만 양 변을 k로 나눠주고 a/x를 양수라고하면 위의 모양이 된다)
여기서 a/x ->a/k 인것 같습니다 ㅎㅎ
양질의 칼럼 항상 감사드려요~(도움 많이 받고 있어요 ㅎ)
넘나 고마운것!
ㄷ....이런글 많이 써주셨으면 좋겠습니다
정말 감사합니다!!!!
맨밑에 문제 그래프가 10+a+8-2a=18-a=16 가 무슨 뜻인가요..? 저는 왼쪽이랑 오른쪽에서 올라가고 내려오는 값이 같다고 설정해서 10+a=16-2a라고 구했는데 저 식이 이해가 안갑니다;; x좌표 거리가 4-a 라고 써져있는데 기울기가 2인 구간은 8-a가 아닌지..? (맞나?)