[박수칠] 분산을 (편차)²의 평균으로 계산하는 이유
게시글 주소: https://d.orbi.kr/0008124321
오늘은 어떤 주제로 글을 쓸까 고민하다가 예전에 봤던
조관 선생님의 포스팅 ( http://orbi.kr/0008006413 )
과 관련된 내용을 써보기로 했습니다.
평균, 분산, 표준편차를 열심히 공부한 학생이라면
한 번 쯤은 해봤을 고민이죠.
——————————————————————
왜 분산은 (편차)²의 평균으로 정의될까?
(편차의 절댓값)의 평균으로 정의하면 안되나?
——————————————————————
(변량)-(평균)으로 정의되는 편차는 변량이 평균보다 큰지, 작은지
그리고 평균으로부터 얼마나 떨어져 있는지를 나타내는 지표입니다.
그러다 보니 산포도 계산에 편차를 쓰는 것은 지극히 당연한 일이죠.
하지만 편차의 합은 0이기 때문에 편차의 평균 또한 0입니다.
이 때문에 편차를 제곱해서 0 이상의 값으로 바꾼 다음
평균을 계산하게 되고, 이를 분산으로 정의합니다.
여기서 편차의 제곱 대신,
편차의 절댓값을 쓰면 안될까요?
이를 알아보기 위해
세 변량 a, b, c (단, a < b < c)의 대푯값을 x로 두고
(편차)²의 평균과 (편차의 절댓값)의 평균을 조사해봅시다.
(1) (편차)²의 평균은 다음과 같습니다.
그리고 분자가 x에 대한 이차식임에 주목해서
완전제곱꼴로 변형하면 다음과 같습니다.
따라서 (편차)²의 평균은 
일 때
즉, 대푯값 x가 a, b, c의 평균일 때 최소가 됩니다.
(2) (편차의 절댓값)의 평균은 다음과 같습니다.
그리고 분자가 일차식의 절댓값의 합임에 주목해서
분자로 만든 함수의 그래프를 그리면 다음과 같습니다.
따라서 (편차의 절댓값)의 평균은 x=b일 때,
즉 대푯값 x가 a, b, c의 중앙값일 때 최소가 됩니다.
대푯값 x가 평균일 때 (편차)²의 평균이 최소,
대푯값 x가 중앙값일 때 (편차의 절댓값)의 평균이 최소인 것은
n개 의 변량 
에 대해서도 마찬가지입니다.
(3) (편차)²의 평균
따라서 (편차)²의 평균은 
일 때,
즉 대푯값 x가 의 평균일 때 최소가 됩니다.
(4) (편차의 절댓값)의 평균
i) n이 홀수일 때
일 때 최소
ii) n이 짝수일 때
x가 구간 
에 속할 때 최소
i), ii)로부터
(편차의 절댓값)의 평균은 또는 
일 때
즉, 대푯값 x가 의 중앙값일 때 최소가 된다고 할 수 있습니다.
따라서 (편차)²의 평균은 대푯값이 평균일 때 최소이므로
평균 
에 대한 분산을
으로 정의하는 것이 자연스럽다는 것을 알 수 있습니다.
또한 변량 의 중앙값이 
일 때
(편차의 절댓값)의 평균
를 '평균편차'라고 하며, 임금 근로자 연봉 분포처럼
변량의 분포가 한쪽으로 치우친 경우에 산포도로 많이 사용합니다.
그리고 대푯값/산포도로 평균/분산(또는 표준편차)을 사용하면
중앙값/평균편차의 조합보다 공식의 변형이 자유롭다는 장점이 있습니다.
덕분에 분산을 { (변량)²의 평균 } - (평균)²으로 계산할 수도 있고,
미분/적분이 상대적으로 쉽죠.
추가적인 장점이 또 있는데
그건 제가 이해를 못해서... 
[참고 자료] 기초통계학의 숨은 원리 이해하기 (김권현 저)
[알림] 박수칠 수학 미적분1-적분법 단원 부교재가 업로드 되었습니다.
본교재 문제에 수능/모평/학평 기출 54문제가 추가되었습니다.
다음에 작업할 단원은 미적분2-적분법입니다.
0 XDK (+0)
유익한 글을 읽었다면 작성자에게 XDK를 선물하세요.
-
지거국 미적사탐 1
고2 정시러고 고2때 부터 공부 포기해서 정시해가지고 전북대나 경북대 경영 목표하고...
-
-
정답개수 젤 적게나온선지는 평가원이 저격할듯. 그리고 나같은 새끼들도 저격할 거...
-
남르비언 꿀팁 3
지금 이 시점에 동덕여대 옹호하는 글 스토리에 올리면 개념남 되서 여사친들한테 점수딸 수 있음
-
강x는 풀면 2컷 정도 나왔는데 이건 ㄹㅇ 못풀겠네
-
1번이나 5번이다
-
화1 열량 0
갑자기 열량문제 안내겟죠? 씨엠티
-
아니 주변에서 거의 4등급이 가던데 왜 백분위는 80퍼대가 합격한다 뜨냐 이거 버그냐
-
갑은 곤경에 처해있는 모르는 사람을 접했을 때 남성이 여성보다 도움을 줄 가능성이...
-
아는 내용이 나와도 꼭 읽어야 하는지 아니면 그냥 문제만 읽어야 하는지 궁금합니다
-
6연짝의 저주를 받고싶은거야?
-
사탐: 사탐런 징벌을 위해 쉽게 내 일반사회 1컷 47, 그외 1컷 50으로 물1,...
-
지자체장은 조례 편성만 하고 지방의회 심의 의결 확정 다 함? 0
그럼 규칙은?
-
또 짝수일까 2
19 짝 20 짝 21 짝 23 짝 24 짝 25....?
-
불법시위를 마치 6월항쟁 ,5.18 민주화 운동 으로 비유하는 년들이 있음 시위는 대학생들의 낭만
-
과잠 뒤에 SPEC이라고 써있던데 어느 대학임?
-
낼 학교언제가지 1
점심시간에 행정실문닫나요
-
재수때는 물2지2의 전사가 되야지
-
제발가까이제발가까이제발가까이제발가까이
-
그냥 후회없는 1년을 보낸 것 같음 빨리 끝내고파...
-
이비에스 수학 0
문제조건에서 fx 2차항이라면서 해설지엔 왜 3차항으로 써놓노;
-
과탐 0
진짜 개망했다 실모 안풀린다ㅜ생2 PCR 이랑 반보존적 복제 안나우ㅏㅆ으면
-
이거 가능한거임? 확률 얼마나 됨 주변 고등학교 많긴 함
-
차이 큰가요?? 수능문제가 훨씬 깔끔한지
-
공과계열 학과에 가려고 하는데, 학생부교과 학교장추천전형에선 가장 높게 나온 과목...
-
쌍사가 없어...
-
대충 유튜브,인스타 등 거대 sns에 나라가 직접 공익광고를 연출하면 됌. 전국...
-
저는 2
2일후 예비 중앙대생이 된다 이글은 성지가 된다 수고
-
흐흐..
-
재수때도 긴장 크게 안했는데 지금은 어제부터 개떨려서 이젠 심장 아픔;
-
민철햄 인스타 댓글로 드립친 거 밖에 없는데 차단당함 ㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋ ㅜㅜㅜ
-
이번엔 1번이다.
-
걍 샤프심만 따로 들고가기 뭐해서 필통체로 들고가려는데 그냥 상관없는거 맞음?...
-
쌍지 노벤디 12
이기상 쌤 강의 이것이 개념이다만 인강으로 듣고 나머진 수특.수완.기출로 커버 가능할까요?
-
뭐임 그냥 꿀꺼억하면 되는건가
-
여러분 모두 원하는것보다 더 좋은 성적 받으시길 기원합니다
-
나 갑자기 모르겠어
-
22,24화작 엄청 어려웠다는데 어떤 식으로 어려운거임? 느낌이 궁금하네
-
깔끔하고 근거 명확하면서 새로운 논리를 요구하는 선지들로 뇌가 정화될 것 수능 전...
-
무등비 무한의 미분불가능(190621) 기울기함수
-
너무 긴장된다
-
KBS로 1~2달 전 쯤에 강의만 들었었는데 낼 또 들어야할까요? 너무 길어서...
-
제 아이디 입력해주시면 추천해주신 분과 제게 모두 만원권이 증정된다고 합니당 아이디...
-
9모가 너무 쉬운 나머지 단순한 이벤트였던건지 아니면 진짜 표본이 노답이 되버린건지...
-
환율봐라 0
달러 딸깍
-
21 22 28 30틀 84점.. 전반적으로 빡빡하진 않음 근데 계산량 많고 발상...
-
수시 최저 맞추면 되는데 최저 충족 여부 몰라서 쫄리긴 하겠지만 진짜 9모 급 물이...
-
교육과정 바뀐 21부터 반복되는 wwe임
-
내일계획 0
7 30 8 10 총정리과제 DAY4 조금남은부분으로 예열 8 40 10 30 이감...
-
ㅈㄱㄴ
ㅋㅋㅋㅋ 오르비스티커 너무 귀여워여
그러니까요... 진짜 예쁘게 잘나왔어요.
그 외에도 확률변수에 대한 적률 적률생성함수 중심적률등과도 관련이 있지 않을까 생각됩니다.
물량공급님 외계어도 쓸 줄 아셨군요.
좀 배워야겠다...
적률생성함수라는 마법의 도구가 있더라구요
찾아보니 학부 확통 과목에서 배웠던 함수네요.
지금 보니 뭔 얘긴지 하나도 모르겠음 ㅎㅎ
최소점이 평균값이기 때문에 제곱을 쓴다는 건 결과론적인 해석이 아닐까요?
제곱을 써야만 하는 수학적 필연성이랄지, 이런게 있으면 좋을 것 같은데요
예를 들어, 정규분포 함수의 식에는 제곱을 이용한 표준편차가 들어가죠. 만약 표준편차를 다르게 정의했을 때 같은 식을 유도할 수 있는지, 그렇지 않다면 왜 그럴 수밖에 없는지 같은 것들 말입니다
본문의 내용은 결과론적인 해석이라기 보다
{ (변량-평균)²의 합 } / (변량 개수)를 분산으로 정의한 이유의
일부라 할 수 있습니다.
근본적인 이유로 들어가자면
{ (변량-대푯값)²의 합 } / (변량 개수)를 최소로 하는 대푯값이 평균이고,
이 평균을 모집단과 표본의 대푯값으로 쓰면 모평균의 가장 합리적인 추정치로
표본평균이 똭~ 나타납니다.
이 부분을 설명하려면 '최대우도추정법'이라는 걸 알아야 하는데
여기서 굳이 설명할 필요도 없고, 저도 잘 모르거든요 ^^;
그래서 '고등학교 수준에서 이 정도 설명이면 충분하겠다'
싶은 선에서 끝냈습니다.
이런 것 보면 아무 호기심 없이 그랬구나...그렇구나...하고 받아들이는 제 자신이 다행스럽네요. 문과여서 여태 통계문제 풀면서 저런 증명이나 원리를 몰라서 틀린 적도 없고 개이득
몰라도 되는 건 이과도 마찬가지입니다 ^^
그냥 궁금해할 수험생들을 위해 정리한거예요~
loss funtion?
손실함수라...
6시그마 교육받으면서 배웠던 건데
갑자기 왜 나올까요? ㅎㅎ
경영쪽 아니고 경제학부 통계시간에 교수님께 배운건데..
추정량과 모수의 차이를 나타내는 함수를 loss function 이라 하지않나요,,? 이거 배우면서 글에 나온 내용도 같이 알게되고 했던 기억이 나서요~
아~ 용어만 같고, 정의가 다른가 봅니다.
제가 배웠던 것은 품질관리쪽에서 손실 비용 계산에 쓰는 함수거든요.
이유식님이 얘기하신 손실함수까지는 공부를 못해봤어요 ^^
저도 맛보기정도만 한 비루한 학부생입니다 ㅠ
댓글 달아주셔서 감사합니다.
헐 신기하네요 이거 궁금했었는데 감사해요ㅋㅋㅋ 오 신기하다 맨날 하필 왜 제곱일까....이랬었는데
제가 기다렸던 반응이 드디어 나왔군요.
감사합니다 ㅎㅎ
절대값을 왜 안쓸까 했는데 쓰는데가 있기도 하군요
그러게나 말이에요.
저도 참고자료 보면서 처음 알았어요~
조만간 책나오면 살건데 박수칠님 글 너무 도움됩니다 모든글 지우지 말아주세요ㅠ
안지울테니 걱정마세요~ ^^