		프로젝트	2022.12.30
프로젝트	01	삼도극 다 모아봄

06 미적	05 삼각함수의 미분
02 극한의 해석 및 활용
04 활용2 (다각형의 성질)

프로젝트		프로젝트
01		삼도극 다 모아봄

	프로젝트		프로젝트
	삼도극 다 모아봄		01

[출처]	2002 모의_공공 교육청 고3 10월 21

오른쪽 그림과 같이 두 반직선 [eqn: rm OX], [eqn: rm OY]가 이루는 각의 크기를 [eqn: theta] 라 하고 반직선 [eqn: {rm{OX}} it] 위에 한 점 [eqn: {rm{A}} it]를 잡자. 점 [eqn: {rm{A}} it]를 지나고 반직선 [eqn: {rm{OX}} it]와 이루는 각의 크기가 [eqn: 2 theta]인 직선 [eqn: l]이 반직선 [eqn: {rm{OY}} it]와 만나는 점을 [eqn: {rm{B}} it]라 하자.

[정답] ④

[해설]

[eqn: TRIANGLE rm OAB it]에 사인법칙를 적용하면

[eqn: {{bar{rmAB}}} over {sin theta } = {{bar{rmOB}}} over {sin2 theta } ~ THEREFORE ~ {{bar{rm AB it rm}}} over {{bar{rm OB it rm}}} = {sin theta } over {sin2 theta }]
[eqn: THEREFORE ~ lim _{theta `` rarrow ``0} {} {{bar{rm AB it}}} over {{bar{rm OB it}}} = lim _{theta `` rarrow ``0} {} {sin theta } over {sin2 theta } = lim _{theta `` rarrow ``0} {} {sin theta } over {2sin theta cos theta } = lim _{theta `` rarrow ``0} {} {1} over {2cos theta } = {1} over {2}]

이때, [eqn: lim _{theta `` rarrow ``0} {} {{bar{rm AB it}}} over {{bar{rm OB it}}}]의 값은?

① [eqn: rm 0]	② [eqn: {1} over {4}]	③ [eqn: {1} over {3}]

④ [eqn: {1} over {2}]	⑤ [eqn: rm 1]

[출처]	2004 모의_공공 평가원 고3 예비 미분과 적분 29

그림의 직각삼각형 [eqn: {rm{ABC}} it]에서 [eqn: overline{{rm{AB}} it }=1], [eqn: angle {rm{ABC}} it ={ pi} over {2}], [eqn: angle {rm{ACB}} it ={ pi} over {6}]이다. 변 [eqn: {rm{BC}} it]의 연장선 위에 점 [eqn: {rm{C}} it _{1}], [eqn: {rm{C}} it _{2}], [eqn: {rm{C}} it _{3}], [eqn: cdots]과 변의 길이 [eqn: a_{1}], [eqn: a_{2}], [eqn: a_{3}], [eqn: cdots] 을 다음과 같이 정한다.

[정답] ②

[해설]

[eqn: a _{it n} = {bar{rm C _{it n - 1} rm C it _{it n}}} = {bar{rm AC _{it n-1}}}]이고,

[eqn: rm △ABC], [eqn: rm △ABC_1``],[eqn: `CDOTS`] 직각삼각형이므로

[eqn: {rm sin } it {pi } over {6} = {1} over {a _{1}}]

[eqn: therefore][eqn: a _{1} = {1} over {{rm sin } it {pi } over {6}}]

[eqn: {rm sin } it {pi } over {12} = {1} over {a _{2}}]

[eqn: therefore][eqn: a _{2} = {1} over {{rm sin } it {pi } over {12}} = {1} over {{rm sin } it LEFT ( {pi } over {6} ․ {1} over {2} RIGHT )}]

[eqn: {rm sin } it {pi } over {24} = {1} over {a _{3}}]

[eqn: therefore][eqn: a _{3} = {1} over {{rm sin } it {pi } over {24}} = {1} over {{rm sin } it LEFT { {pi } over {6} ․ LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{2} RIGHT }}]

⋮

[eqn: therefore][eqn: a _{n}][eqn: = {1} over {{rm sin } it LEFT { {pi } over {6} ․ LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{n-1} RIGHT }}]
[eqn: = {1} over {{rm sin } it LEFT { {pi } over {6} ․2․ LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{n} RIGHT }}]
[eqn: = {1} over {{rm sin } it LEFT { {pi } over {3} ․ LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{n} RIGHT }}]

[eqn: THEREFORE~ lim _{n `->` INF } {} {pi a _{n}} over {2 ^{n}}][eqn: = lim _{n `->` INF } {} {1} over {2 ^{n}} ․ {pi } over {{rm sin } it LEFT { {pi } over {3} ․ LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{n} RIGHT }}]
[eqn: = lim _{n `->` INF } {} {{pi } over {3} ․ LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{n}} over {{rm sin } it LEFT { {pi } over {3} ․ LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{n} RIGHT }} ․ 3][eqn: =``3``]

[eqn: {bar{rmCC _{1}}} = {bar{rmAC}} =a]

[eqn: {bar{rm C _{1} C _{2} it}} = {bar{rm AC _{1} it}} =a _{2}]

[eqn: {bar{rm C _{2} C _{3} it}} = {bar{rm AC _{2} it}} =a _{3}]

[eqn: cdotscdots]

이때, 극한 [eqn: lim _{n ``rarrow`` inf } { pi a_{n}} over {2^{n}}]의 값은?

① [eqn: rm 2]	② [eqn: rm 3]	③ [eqn: rm 4]

④ [eqn: rm 5]	⑤ [eqn: rm 6]

[출처]	2005 모의_공공 평가원 고3 06월 미분과 적분 29

오른쪽 그림과 같이 한 변의 길이가 [eqn: rm 2]인 정사각형 [eqn: {rm{ABCD}} it]에서 변 [eqn: {rm{AB}} it]의 중점을 [eqn: {rm{E}} it], 변 [eqn: {rm{CD}} it]의 중점을 [eqn: {rm{F}} it]라 하자. 선분 [eqn: {rm{AD}} it] 위의 양 끝점이 아닌 임의의 점 [eqn: {rm{P}} it]에 대하여 선분 [eqn: {rm{BP}} it]와 선분 [eqn: {rm{EF}} it]의 교점을 [eqn: {rm{G}} it], 선분 [eqn: {rm{CP}} it]와 선분 [eqn: {rm{EF}} it]의 교점을 [eqn: {rm{H}} it]라 하자. [eqn: angle {rm{BGE}} it = alpha], [eqn: angle {rm{CHF}} it = beta]라 할 때, <보기>에서 옳은 것을 모두 고른 것은?

[정답] ⑤

[해설]

아래 그림과 같이 점 [eqn: rm P]에서 [eqn: rm overline{B C}]에 내린 수선의 발을 [eqn: rm Q]라 하고, [eqn: rm overline{P Q}]와 [eqn: rm overline{E F}]가 만나는 점을 [eqn: rm R]라 하자.

ㄱ. (참) [eqn: rm rm overline{E G}= overline{G R}], [eqn: rm overline{R H}= overline{H F}]이므로

[eqn: rm overline{G H}= overline{G R}+ overline{R H}={1} over {2} overline{E F}=1](일정)

ㄴ. (거짓) [eqn: rm triangle P G H]에서 [eqn: rm angle G P H+ alpha+ beta=180 DEG]

[eqn: rm therefore~a+ beta=180 DEG - angle G P H]

이때, 점 [eqn: rm P]의 위치에 따라 [eqn: rm angle G P H]의 크기가 달라지고,

[eqn: rm angle G P H]의 크기가 달라지면 [eqn: a+ beta]의 값이 달라진다.

ㄷ. (참) [eqn: rm triangle A B P]에서 [eqn: tana=rm {2} over {{bar{AP}}}]이므로

[eqn: rm {bar{AP}} = {2} over {tan alpha } =2cotita]

[eqn: THEREFORE ~ lim _{a`` rarrow `` {pi } over {2}} {} {{bar{rmAP}}} over {{pi } over {2} -a} = lim _{a`` rarrow `` {pi } over {2}} {} {2cota} over {{pi } over {2} -a}]

[eqn: = lim _{a ``rarrow`` { pi} over {2}} {2 tan left({ pi} over {2}-a right)} over {{ pi} over {2}-a}=2]

따라서, 옳은 것은 ㄱ, ㄷ 이다.

	<보 기>
ㄱ. [eqn: overline{{rm{GH}} it }]는 점 [eqn: {rm{P}} it]의 위치에 관계없이 일정하다. ㄴ. [eqn: alpha+ beta]는 점 [eqn: {rm{P}} it]의 위치에 관계없이 일정하다. ㄷ. [eqn: ~ lim _{ alpha ``rarrow``-{ pi} over {2}} { overline{{rm{AP}} it }} over {{ pi} over {2}- alpha}=2]

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

[출처]	2005 모의_공공 평가원 고3 06월 미분과 적분 30

[그림 1]은 중심이 같은 두 개의 정[eqn: 2 n]각형에서 큰 정 [eqn: 2 n]각형의 꼭짓점, 작은 정[eqn: 2 n]각형의 꼭짓점과 중심이 한 직선 위에 있도록 연결한 것이다. 중심에서 두 개의 정[eqn: 2 n]각형의 꼭짓점까지의 거리는 각각 [eqn: rm 10], [eqn: rm 20]이다. [그림 1]의 어두운 부분을 잘라내어 만든 [그림 2]와 같은 도형의 넓이를 [eqn: S_{n}]이라 하자. [eqn: {1} over { pi} lim _{n ``rarrow`` inf } S_{n}]의 값을 구하시오.

[정답] [eqn: rm 250]

[해설]

[그림 [eqn: rm 2]]의 도형의 넓이는 두 변의 길이가 [eqn: rm 20]인 이등변 삼각형 [eqn: n]개의 넓이와 두 변의 길이가 [eqn: rm 10]인 이등변삼각형 [eqn: n]개의 넓이의 합이다. 이때, 같은 두 변 사이의 끼인 각의 크기는 [eqn: {2 pi} over {2 n}={ pi} over {n}]이므로

[eqn: S_{n}=n cdot {1} over {2} cdot 20^{2} cdot sin { pi} over {n}+n cdot {1} over {2} cdot 10^{2} cdot sin { pi} over {n}]

[eqn: =250 n cdot sin { pi} over {n}]

[eqn: therefore~{1} over { pi} lim _{n ``rarrow`` inf } S_{n}={1} over { pi} lim _{n ``rarrow`` inf } left(250 n cdot sin { pi} over {n} right)]

[eqn: =250 lim _{n ``rarrow`` inf } { sin { pi} over {n}} over {{ pi} over {n}}=250]

[그림 1]	[그림 2]

[출처]	2008 모의_공공 평가원 고3 06월 미분과 적분 30

그림과 같이 한 변의 길이가 [eqn: rm 1]인 정사각형 [eqn: {rm{ABCD}} it]에서 변 [eqn: {rm{AB}} it]를 연장한 직선 위에 [eqn: overline{{rm{BE}} it }=1]인 점 [eqn: {rm{E}} it]가 있다. 점 [eqn: {rm{E}} it]를 꼭짓점으로 하고 한 변의 길이가 [eqn: rm 1]인 정사각형 [eqn: {rm{EFGH}} it]에 대하여 [eqn: angle {rm{BEF}} it = theta]일 때, 변 [eqn: {rm{FG}} it]와 변 [eqn: {rm{AB}} it]의 교점을 [eqn: {rm{K}} it], 변 [eqn: {rm{FG}} it]와 변 [eqn: {rm{BC}} it]의 교점을 [eqn: {rm{L}} it]이라 하자. 삼각형 [eqn: {rm{KBL}} it]의 넓이를 [eqn: S` LEFT ( theta RIGHT )]라 할 때, [eqn: lim _{ theta `->` 0} {S` LEFT ( theta RIGHT )} over { theta^{3}}={q} over {p}]이다. [eqn: p^{2}+q^{2}]의 값을 구하시오. (단, [eqn: 0< theta<{ pi} over {4}]이고, [eqn: p], [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.)

[정답] [eqn: 65]

[해설]

[eqn: { bar \EF} over {bar \KE } = cos ` theta]이므로

[eqn: {bar \KE } = { 1} over { cos ` theta }]

∴ [eqn: {bar \KB} = { 1} over {cos ` theta } -1]

또, [eqn: ANGLE \BKL = { pi} over { 2} - theta]에서

[eqn: { BAR \BL} over {BAR \KB } = tan ` LEFT ( { pi} over {2 } - theta RIGHT ) = cot ` theta]

∴ [eqn: BAR \BL = BAR KB cdot cot ` theta]

[eqn: S( theta)][eqn: = { 1} over { 2} cdot BAR \KB CDOT BAR BL][eqn: = { 1} over { 2} LEFT ( { 1} over {cos ` theta } -1 RIGHT ) TIMES LEFT ( { 1} over {cos ` theta } -1 RIGHT ) cdot cot ` theta]
[eqn: = { 1} over { 2} { (1-cos ` theta) ^2 } over {cos^2 ` theta } cdot { cos ` theta } over { sin ` theta } = { (1-cos ` theta )^2 } over { 2 ` sin ` theta ` cos ` theta }]

∴ [eqn: lim _{ theta ->0} { S( theta) } over { theta^3 }][eqn: = lim _{ theta ->0} { { (1-cos ` theta)^2 } } over {2 ` sin ` theta ` cos ` theta cdot ` theta^3 }]
[eqn: = lim _{theta -> 0} {} {(1-cos` theta ) ^{2} (1+cos` theta ) ^{2}} over {2`sin` theta `cos` theta cdot `` theta ^{3} (1+cos` theta ) ^{2}}]
[eqn: = lim _{ theta ->0} { sin ^4 ` theta } over {2 ` sin ` theta ` cos ` theta cdot ` theta^3 (1+ cos ` theta)^2 }]
[eqn: = { 1} over {2 cdot 1 cdot 2^2 } = { 1} over {8 }]

∴ [eqn: p^2 + q^2 =65]

[출처]	2009 모의_공공 평가원 고3 06월 30

그림과 같이 양수 [eqn: theta]에 대하여 [eqn: angle {rm{AOB}} it = theta], [eqn: angle {rm{OAB}} it ={ pi} over {2}], [eqn: overline{{rm{OA}} it }=10]인 직각삼각형 [eqn: {rm{OAB}} it]가 있다. 변 [eqn: {rm{OB}} it] 위에 있는 [eqn: overline{{rm{OC}} it }=10]인 점 [eqn: {rm{C}} it]에 대하여 삼각형 [eqn: {rm{ABC}} it]의 둘레의 길이를 [eqn: f( theta)]라 하자. [eqn: lim _{theta `` rarrow ``0+} {} {f( theta )} over {theta }]의 값을 구하시오.

[정답] [eqn: rm 20]

[해설]

[eqn: f( theta)][eqn: = rm overline{A B}+ overline{B C}+ overline{C A}]
[eqn: =10{rm tan } it theta + LEFT ( {10} over {{rm cos } it theta } -10 RIGHT )][eqn: + sqrt {10 ^{2} +10 ^{2} -2 TIMES 10 TIMES 10{rm cos } it theta }]
[eqn: =10{rm tan } it theta +10 LEFT ( {1-{rm cos } it theta } over {{rm cos } it theta } RIGHT )]

[eqn: THEREFORE ~ lim _{theta ` rarrow ``0+} {} {f LEFT ( theta RIGHT )} over {theta }]

[eqn: = lim _{theta `->` 0+} {} LEFT ( 10 {rm {rm tan } it it theta } over { theta } +10 {1- rm {rm cos } it it theta } over {theta } CDOT {1} over {rm {rm cos } it it theta } + 10 sqrt { 2 { 1-cos theta} over { theta^{2}} }RIGHT )]

[eqn: = lim _{theta `->` 0+} {} LEFT { 10 {{rm tan } it theta } over {theta } RIGHT .][eqn: +10 {rm {rm sin } it it ^{2} theta } over { theta LEFT ( 1+ rm {rm cos } it it theta RIGHT )} CDOT {1} over {rm {rm cos } it it theta }]
[eqn: LEFT . +10 sqrt {2 {{rm sin } it ^{2} theta } over { theta ^{2} LEFT (1+{rm cos } it theta RIGHT )}} it RIGHT }]

[eqn: = lim _{theta `->` 0+} {} LEFT { 10 {{rm tan } it theta } over {theta } RIGHT .][eqn: +10 {{rm sin } it theta } over {theta } CDOT {rm sin } it theta CDOT {1} over { LEFT (1+{rm cos } it theta RIGHT ){rm cos } it theta }]
[eqn: LEFT . +10 sqrt {2 LEFT ( {rm sin it theta } over {theta } RIGHT ) ^{2} CDOT {1} over {1+ rm cos it theta }} RIGHT }]

[eqn: =10 TIMES 1+10 TIMES 1 TIMES 0 TIMES {1} over {2} +10 sqrt {2 TIMES 1 TIMES {1} over {2}}]

[eqn: =10+10=20]

[출처]	2012 모의_공공 평가원 고3 11월 29

삼각형 [eqn: {rm{ABC}} it]에서 [eqn: overline{{rm{AB}} it }=1]이고 [eqn: angle {rm{A}} it = theta], [eqn: angle {rm{B}} it =2 theta]이다. 변 [eqn: {rm{AB}} it] 위의 점 [eqn: {rm{D}} it]를 [eqn: angle {rm{ACD}} it =2 angle {rm{BCD}} it]가 되도록 잡는다. [eqn: lim _{theta `` rarrow ``0+} {} {bar{rm CD it}} over {theta } =a]일 때, [eqn: 27 a^{2}]의 값을 구하시오.
(단, [eqn: 0< theta<{ pi} over {4}]이다.)

[정답] [eqn: 16]

[해설]

[eqn: rm bar{AB} =1,```` ANGLE A=theta,```` ANGLE B=2theta`]이고

[eqn: {rm ANGLE BCD}=alpha`]라 하면 [eqn: {rm ANGLE ACD}=2alpha`]이므로

[eqn: {rm ANGLE CDB}=theta+2alpha,````{rm ANGLE CDA}=2theta+alpha`]이다.

[eqn: LEFT ( theta+2alpha RIGHT ) + LEFT ( 2theta+alpha RIGHT ) =pi`]이므로

[eqn: THEREFORE ````alpha= {pi} over {3} -theta]

사인법칙에 의해

(ⅰ) 삼각형 [eqn: rmADC`]에서

[eqn: {rm bar{AD}} over {sin``2alpha} = {rm bar{CD}} over {sin``theta}]

[eqn: {rm bar{AD} }= {sin``2alpha} over {sin``theta} ㆍ{rm bar{CD} }]	[eqn: CDOTS CDOTS] ㉠

(ⅱ) 삼각형 [eqn: rmBDC`]에서

[eqn: {rm bar{BD}} over {sin``alpha} = {rm bar{CD}} over {sin``2theta}]

[eqn: rm bar{BD} it = {sin`` alpha } over {sin``2 theta } ㆍ rm bar{CD} it]	[eqn: CDOTS CDOTS] ㉡

㉠과 ㉡에서

[eqn: rm bar{AD} + bar{BD} =1`]이므로

[eqn: {rm bar{CD} }ㆍ LEFT ( {sin``2alpha} over {sin``theta} + {sin``alpha} over {sin``2theta} RIGHT ) =1]

[eqn: rm bar{CD}][eqn: = {1} over {{sin``2alpha} over {sin``theta} + {sin``alpha} over {sin``2theta}}]
[eqn: = {1} over {{2sin``alpha`cos``alpha} over {sin``theta} + {sin``alpha} over {2sin``theta`cos``theta}}]
[eqn: = {sin``theta} over {sin``alpha} TIMES {1} over {2cos``alpha+ {1} over {2cos``theta}}]

그런데,

[eqn: lim _{theta rarrow 0+} {sin`` alpha } = lim _{theta rarrow 0+} {sin`` LEFT ( {pi } over {3} - theta RIGHT )} = {sqrt {3}} over {2}]

[eqn: lim _{theta rarrow 0+} {cos`` alpha } = lim _{theta rarrow 0+} {cos`` LEFT ( {pi } over {3} - theta RIGHT )} = {1} over {2}]

이므로

[eqn: THEREFORE ```` lim _{theta rarrow 0+} {{rm {bar{CD}} it} over {theta }}][eqn: = lim _{theta rarrow 0+} {{sin`` theta } over {theta }} TIMES {1} over {sin`` alpha } TIMES {1} over {2cos`` alpha + {1} over {2cos`` theta }}]
[eqn: = {1} over {{sqrt {3}} over {2}} TIMES {1} over {2ㆍ {1} over {2} + {1} over {2}}]
[eqn: = {4} over {3 sqrt {3}}]

[eqn: THEREFORE ````27a ^{2} =27 LEFT ( {4} over {3 sqrt {3}} RIGHT ) ^{2} =16]

[출처]	2013 모의_공공 평가원 고3 11월 28

그림과 같이 길이가 [eqn: 4]인 선분 [eqn: {rm AB]를 한 변으로 하고, [eqn: {rm {bar{AC}} `= {bar{BC}}], [eqn: {rm ANGLE ACB= theta]인 이등변삼각형 [eqn: {rm ABC]가 있다. 선분 [eqn: {rm AB]의 연장선 위에 [eqn: {rm {bar{AC}} `= {bar{AD}}]인 점 [eqn: {rm D]를 잡고, [eqn: {rm {bar{AC}} `= {bar{AP}}]이고 [eqn: {rm ANGLE PAB=2 theta]인 점 [eqn: {rm P]를 잡는다. 삼각형 [eqn: {rm BDP]의 넓이를 [eqn: S( theta )]라 할 때, [eqn: lim _{theta ` -> `0+} {} ( theta TIMES S( theta ))]의 값을 구하시오.[eqn: pile{~#`}right(]단, [eqn: 0< theta < {pi } over {6} RIGHT )]

[정답] [eqn: bold { 16 }]

[해설]

[eqn: {rm {bar{AC}}} `=x]라 하면 [eqn: {rm {bar{AC}} `= {bar{BC}} `= {bar{AD}} `= {bar{AP}} }`=x]이다.

이등변삼각형 [eqn: {rm ABC]에서 [eqn: sin` {theta } over {2} = {2} over {x}]이므로 [eqn: x= {2} over {sin` {theta } over {2}}]

따라서 삼각형 [eqn: {rm BDP]의 넓이를 [eqn: S( theta )]는

[eqn: S( theta )][eqn: {rm =△ADP-△ABP]
[eqn: = {1} over {2} TIMES x TIMES x TIMES sin`2 theta - {1} over {2} TIMES 4 TIMES x TIMES sin`2 theta]
[eqn: = {2`sin2 theta } over {sin ^{2} ` {theta } over {2}} - {4`sin2 theta } over {sin` {theta } over {2}}]

[eqn: lim _{theta ` -> `0+} {} ( theta TIMES S( theta ))][eqn: = lim _{theta ` -> `0+} {} LEFT ( {2 theta `sin2 theta } over {sin ^{2} ` {theta } over {2}} - {4 theta `sin2 theta } over {sin` {theta } over {2}} RIGHT )]
[eqn: = lim _{theta ` -> `0+} {} LEFT ( 2 TIMES {theta `} over {sin` {theta } over {2}} TIMES {sin`2 theta `} over {sin` {theta } over {2}} -4 theta TIMES {sin`2 theta `} over {sin` {theta } over {2}} RIGHT )]
[eqn: =2 TIMES 2 TIMES 4-4 TIMES 0 TIMES 4=16]

[출처]	2013 모의_공공 평가원 고3 09월 29

그림과 같이 길이가 [eqn: rm 1]인 선분 [eqn: {rm{AB}} it]를 빗변으로 하고 [eqn: angle {rm{BAC}} it = theta ~ left(0< theta<{ pi} over {6} right)]인 직각삼각형 [eqn: {rm{ABC}} it]에 대하여 점 [eqn: {rm{D}} it]를	[eqn: angle {rm{ACD}} it ={2} over {3} pi], [eqn: ~ angle {rm{CAD}} it =2 theta]

[정답] [eqn: 100]

[해설]

삼각형 [eqn: {rm{ABC}} it]에서

[eqn: {bar{rm BC it}} =sin theta]	[eqn: cdotscdots]㉠

또,

[eqn: angle {rm{ADC}} it][eqn: = pi- left(2 theta+{2} over {3} pi right)]
[eqn: ={ pi} over {3}-2 theta]

이므로 삼각형 [eqn: {rm{ACD}} it]에서

[eqn: { overline{{rm{AC}} it }} over { sin angle {rm{CDA}} it }={ overline{{rm{CD}} it }} over { sin angle {rm{DAC}} it }]

[eqn: { cos theta} over { sin left({ pi} over {3}-2 theta right)}={ overline{{rm{CD}} it }} over { sin 2 theta}]

[eqn: therefore~ overline{{rm{CD}} it }={ cos theta sin 2 theta} over { sin left({ pi} over {3}-2 theta right)}]	[eqn: cdotscdots]㉡

또,

[eqn: angle {rm{BCD}} it][eqn: =2 pi- left({2} over {3} pi+{ pi} over {2} right)]
[eqn: ={5} over {6} pi]	[eqn: cdotscdots]㉢

그러므로 ㉠, ㉡, ㉢에서

[eqn: S( theta)][eqn: ={1} over {2} times overline{{rm{CD}} it } times overline{{rm{CB}} it } times sin ( angle {rm{BCD}} it )]
[eqn: ={1} over {2} times { cos theta sin 2 theta} over { sin left({ pi} over {3}-2 theta right)} times sin theta times sin {5} over {6} pi]
[eqn: ={1} over {4} times { cos theta sin 2 theta sin theta} over { sin left({ pi} over {3}-2 theta right)}]

따라서,

[eqn: lim _{ theta ``rarrow``0+} {S( theta)} over { theta^{2}}]
[eqn: = lim _{ theta ``rarrow``0+} { cos theta sin 2 theta sin theta} over {4 theta^{2} sin left({ pi} over {3}-2 theta right)}]
[eqn: = {1} over {2} lim _{ theta ``rarrow``0+} left{ { sin 2 theta} over {2 theta} times { sin theta} over { theta} times { cos theta} over { sin left({ pi} over {3}-2 theta right)} it right}]

[eqn: ={1} over {2} times 1 times 1 times {1} over {{ sqrt{3}} over {2}}]

[eqn: ={1} over { sqrt{3}}]

이므로

[eqn: 300 p^{2}=300 times {1} over {3}=100]

가 되도록 잡는다. 삼각형 [eqn: {rm{BCD}} it]의 넓이를 [eqn: S( theta)]라 할 때, [eqn: lim _{ theta ``rarrow``0+} {S( theta)} over { theta^{2}}=p]이다. [eqn: 300 p^{2}]의 값을 구하시오. (단, 네 점 [eqn: {rm{A}} it], [eqn: {rm{B}} it], [eqn: {rm{C}} it], [eqn: {rm{D}} it]는 한 평면 위에 있다.)

[출처]	2014 모의_공공 평가원 고3 09월

그림과 같이 서로 평행한 두 직선 [eqn: l_{1}]과 [eqn: l_{2}]사이의 거리가 [eqn: rm 1]이다. 직선 [eqn: l_{1}]위의 점 [eqn: {rm{A}} it]에 대하여 직선 [eqn: l_{2}]위에 점 [eqn: {rm{B}} it]를 선분 [eqn: {rm{AB}} it]와 직선 [eqn: l_{1}]이 이루는 각의 크기가 [eqn: theta]가 되도록 잡고, 직선 [eqn: l_{1}]위에 점 [eqn: {rm{C}} it]를 [eqn: angle {rm{ABC}} it =4 theta]가 되도록 잡는다. 직선 [eqn: l_{2}]위에 점 [eqn: {rm{D}} it]를 [eqn: angle {rm{BCD}} it =2 theta]이고 선분 [eqn: {rm{CD}} it]가 선분 [eqn: {rm{AB}} it]와 만나지 않도록 잡는다.

[정답] [eqn: 6]

[해설]

점 [eqn: {rm{B}} it]에서 직선 [eqn: l_{1}]에 내린 수선의 발을 [eqn: {rm{B}} it `prime]이라 하면 삼각형 [eqn: {rm{ABB}} it `prime]에서

[eqn: overline{{rm{AB}} it }={1} over { sin theta}]

삼각형 [eqn: {rm{ABC}} it]에서 [eqn: angle {rm{ACB}} it = pi-5 theta]이므로

[eqn: { overline{{rm{BC}} it }} over { sin theta}={{1} over { sin theta}} over { sin ( pi-5 theta)}]

[eqn: therefore~ overline{{rm{BC}} it }={1} over { sin 5 theta} ~][eqn: CDOTS CDOTS]㉠

그러므로

[eqn: T_{1}={1} over {2} times overline{{rm{BA}} it } times overline{{rm{BC}} it } times sin 4 theta]

[eqn: ={1} over {2} times {1} over { sin theta} times {1} over { sin 5 theta} times sin 4 theta]

[eqn: ={ sin 4 theta} over {2 sin theta sin 5 theta}]

또, 삼각형 [eqn: {rm{BCD}} it]에서

[eqn: angle {rm{CBD}} it = pi-5 theta], [eqn: angle {rm{CDB}} it =3 theta]이므로

[eqn: { overline{{rm{BC}} it }} over { sin 3 theta}={ overline{{rm{BD}} it }} over { sin 2 theta}]

㉠에서

[eqn: overline{{rm{BD}} it }={ sin 2 theta} over { sin 3 theta sin 5 theta}]

그러므로

[eqn: T_{2}={1} over {2} times overline{{rm{BC}} it } times overline{{rm{BD}} it } times sin ( pi-5 theta)]

[eqn: ={1} over {2} times { sin 2 theta} over { sin 3 theta sin 5 theta} times {1} over { sin 5 theta} times sin 5 theta]

[eqn: ={ sin 2 theta} over {2 sin 3 theta sin 5 theta}]

따라서,

[eqn: lim _{theta `` rarrow ``0+} {} {T _{1}} over {T _{2}}]

[eqn: = lim _{theta `` rarrow ``0+} {} {{sin4 theta } over {2sin theta sin5 theta }} over {{sin2 theta } over {2sin3 theta sin5 theta }}]

[eqn: = lim _{theta `` rarrow ``0+} {} {sin4 theta sin3 theta } over {sin theta sin2 theta }]

[eqn: =6 lim _{theta `` rarrow ``0+} {} {{sin4 theta } over {4 theta } TIMES {sin3 theta } over {3 theta }} over {{sin theta } over {theta } TIMES {sin2 theta } over {2 theta }}]

[eqn: =6]

삼각형 [eqn: {rm{ABC}} it]의 넓이를 [eqn: T_{1}], 삼각형 [eqn: {rm{BCD}} it]의 넓이를 [eqn: T _{2}]라 할 때, [eqn: lim _{theta `` rarrow ``0+} {} {T _{1}} over {T _{2}}]의 값을 구하시오. (단, [eqn: 0< theta<{ pi} over {10}])

[출처]	2014 모의_공공 평가원 고3 06월

그림과 같이 사다리꼴 [eqn: rm ABCD]에서 변 [eqn: rm AD]와 변 [eqn: rm BC]가 평행하고 [eqn: ANGLE rm B=2theta], [eqn: ANGLE rm C=3theta], [eqn: rm {bar{BC}} =2sin`theta], [eqn: {bar{rm AD}} =sin`theta]이다. 사다리꼴 [eqn: rm ABCD]의 넓이를 [eqn: S(theta)]라 할 때, [eqn: lim _{theta->0+} {{S(theta)} over {theta ^{3}}} = {q} over {p}]이다. [eqn: p+q]의 값을 구하시오.
[eqn: LEFT ( pile{`#`} RIGHT .]단, [eqn: 0< theta < {pi } over {6}]이고, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.[eqn: LEFT . pile{`#`} RIGHT )]

[정답] [eqn: 14]

[해설]

오른쪽 그림과 같이 두 점 [eqn: rm A], [eqn: rm D]에서 선분 [eqn: rm BC]에 내린 수선의 발을 각각 [eqn: rm E], [eqn: rm F]라 하자.

[eqn: rm {bar{BE}} = it x]라 하면

[eqn: {bar{rm AE}} = it x`tan`2`theta]

[eqn: {bar{rm AE it}} = rm {bar{DF}} it]에서

[eqn: x`tan`2`theta=(sin` theta `-x)tan`3 theta]

[eqn: THEREFORE x= {sin`theta`tan`3`theta} over {tan`2theta+tan`3theta}]

사다리꼴 [eqn: rm ABCD]의 넓이는

[eqn: S(theta)= {1} over {2} (sin`theta+2`sin`theta) TIMES x`tan`2theta]

[eqn: =][eqn: {1} over {2} TIMES 3`sin`theta TIMES {sin`theta`tan`3theta} over {tan`2theta+tan`3theta} TIMES tan`2`theta]

[eqn: = {3} over {2} TIMES {sin` ^{2`} theta`tan`2theta`tan`3theta} over {tan`2theta+tan`3`theta}]

이므로

[eqn: lim _{theta->0+} {{S(theta)} over {theta ^{3}}}]

[eqn: = lim _{theta -> 0+} {} left{ {3} over {2} TIMES {sin` ^{2`} theta `tan`2 theta `tan`3 theta } over {theta ^{3} (tan`2 theta +tan`3` theta )} right}]

[eqn: = lim _{theta -> 0+} {}left{ {3} over {2} TIMES {sin` ^{2`} theta} over {theta ^{2}} TIMES {`tan`2 theta `} over {2theta } TIMES 2 TIMES {tan`3`theta} over {3theta} TIMES 3]

[eqn: TIMES {theta} over {tan`2theta+tan`3theta} right}]

[eqn: = lim _{theta -> 0+} {}left{ 9 TIMES {sin` ^{2`} theta } over {theta ^{2}} TIMES {`tan`2 theta `} over {2 theta } TIMES {tan`3` theta } over {3 theta }]

[eqn: TIMES {1} over {2 TIMES {tan`2 theta } over {2 theta } +3 TIMES {tan`3 theta } over {3 theta }} right]

[eqn: =9 TIMES 1 TIMES 1 TIMES 1 TIMES {1} over {5}]

[eqn: = {9} over {5}]

따라서 [eqn: p=5], [eqn: q=9]이므로

[eqn: p+q=14]

[출처]	2017 모의_공공 평가원 고3 11월 17

그림과 같이 한 변의 길이가 [eqn: 1]인 마름모 [eqn: rm ABCD]가 있다. 점 [eqn: rm C]에서 선분 [eqn: rm AB]의 연장선에 내린 수선의 발을 [eqn: rm E], 점 [eqn: rm E]에서 선분 [eqn: rm AC]에 내린 수선의 발을 [eqn: rm F], 선분 [eqn: rm EF]와 선분 [eqn: rm BC]의 교점을 [eqn: rm G]라 하자. [eqn: ANGLE rm DAB= theta]일 때, 삼각형 [eqn: rm CFG]의 넓이를 [eqn: S( theta )]라 하자. [eqn: lim _{theta -> 0+} {{S( theta )} over {theta ^{5}}}]의 값은? [eqn: LEFT ( pile{`#`} RIGHT .]단, [eqn: 0< theta < {pi } over {2}][eqn: LEFT . pile{`#`} RIGHT )]

[정답] ③

[해설]

[eqn: ANGLE rm DAB= ANGLE rm CBE= theta]이므로

[eqn: angle rm BAC = angle BCA = angle CEF = theta over 2]

또 [eqn: rmtriangle BCE]에서 [eqn: rm bar CE = sin theta]이므로 [eqn: △ rm CEF]에서

[eqn: rm {bar{CF}} = it sin`theta`sin` {theta} over {2}]

[eqn: △ rm CFG]에서

[eqn: {bar{rm FG it}} = {bar{rm CF it}} TIMES tan` {theta } over {2}]

[eqn: =sin` theta TIMES sin` {theta } over {2} TIMES tan` {theta } over {2}]

[eqn: therefore][eqn: S( theta )= {1} over {2} TIMES rm {bar{CF}} TIMES rm {bar{FG}}]

[eqn: = {1} over {2} TIMES sin` ^{2} theta TIMES sin` ^{2} {theta } over {2} TIMES tan` {theta } over {2}]

[eqn: therefore][eqn: lim _{theta -> 0+} {{S( theta )} over {theta ^{5}}}]

[eqn: = lim _{theta->0+}left{ {{1} over {2} TIMES {sin` ^{2} theta} over {theta ^{2}}} LEFT ( {sin` {theta} over {2}} over {{theta} over {2}} RIGHT ) ^{2} TIMES {tan` {theta} over {2}} over {{theta} over {2}}]

[eqn: TIMES {1} over {2} TIMES {1} over {2} TIMES {1} over {2} right]

[eqn: = {1} over {16}]

① [eqn: {1} over {24}]	② [eqn: {1} over {20}]	③ [eqn: {1} over {16}]

④ [eqn: {1} over {12}]	⑤ [eqn: {1} over {8}]

[출처]	2018 모의_공공 교육청 고2 11월 20

그림과 같이 [eqn: rm bar{AB} =4], [eqn: rm ANGLE ACB= {pi } over {2}], [eqn: rm angleCBA = theta`]인 직각삼각형 [eqn: rm ABC`]가 있다. 선분 [eqn: rm AB] 위에 [eqn: rm angleACD = 2theta`]가 되도록 점 [eqn: rm D`]를 잡고, 선분 [eqn: rm BC] 위에 [eqn: rm angleBDE = pi over 2 `]가 되도록 점 [eqn: rm E`]를 잡는다. 삼각형 [eqn: rm CDE`]의 넓이를 [eqn: S` LEFT ( theta RIGHT ) `]라 할 때, [eqn: lim _{theta ` -> `0+} {{S` LEFT ( theta RIGHT )} over {theta ^{3}}} `]의 값은? (단, [eqn: LEFT. 0< theta < {pi } over {4} `])

[정답] ①

[해설]

점 [eqn: rm D`]에서 선분 [eqn: rm BC`]에 내린 수선의 발을 [eqn: rm H`]라 하면 삼각형 [eqn: rm BED`]와 삼각형 [eqn: rm DEH`]는 닮음이므로

[eqn: rm angleEBD = rm angleEDH = theta]

선분 [eqn: rm AC`]와 선분 [eqn: rm DH`]는 서로 평행하므로

[eqn: rm angleACD = rm angleCDH = 2theta]

[eqn: rm angleDAC = rm angleCDA = pi over 2 - theta`]이므로 삼각형 [eqn: rm CAD`]는 [eqn: rm bar CA = bar CD`]인 이등변삼각형이다.

[eqn: rm bar AB = 4 `]이므로 [eqn: rm bar CA = bar CD = 4`sin`theta]

삼각형 [eqn: rm DHC`]에서

[eqn: rm bar DH = bar CD`cos`2theta = 4`sin`theta`cos`2theta]

삼각형 [eqn: rm DHE`]에서

[eqn: rm bar DE = {rmbar DH} over {cos`theta} = 4`tan`theta`cos`2theta]

점 [eqn: rm E`]에서 선분 [eqn: rm CD`]에 내린 수선의 발을 [eqn: rm F`]라 할 때,

[eqn: rm bar EF = bar DE`sin`theta]

삼각형 [eqn: rm CDE`]의 넓이

[eqn: S(theta)][eqn: rm= 1 over 2 times bar CD times bar EF]
[eqn: =8`sin` ^{2} ` theta `tan` theta `cos`2 theta]

따라서

[eqn: lim _{ theta``->``0+}` {S(theta) } over theta^3][eqn: = lim _{theta `` -> ``0+} {} ` {8`sin` ^{2} ` theta `tan` theta `cos`2 theta } over {theta ^{3}}]
[eqn: =8times lim _{ theta``->``0+}` left{ LEFT ( {sin`theta} over theta RIGHT )^2 times LEFT ( {tan`theta} over theta RIGHT )times cos`2theta right}]
[eqn: =8]

① [eqn: 8]	② [eqn: 17 over 2]	③ [eqn: 9]

④ [eqn: 19 over 2]	⑤ [eqn: 10]

[출처]	2019 모의_공공 사관학교 고3 07월 28

그림과 같이 [eqn: bar{{rmAB}}= 1]이고 [eqn: ∠{rmABC} = { pi}over{2}]인 직각삼각형 [eqn: {rmABC}]에서 [eqn: ∠{rmCAB} = theta]라 하자. 선분 [eqn: {rmAC}]를 [eqn: 4 : 7]로 내분하는 점을 [eqn: {rmD}]라 하고 점 [eqn: {rmC}]에서 선분 [eqn: {rmBD}]에 내린 수선의 발을 [eqn: {rmE}]라 할 때, 삼각형 [eqn: {rmCEB}]의 넓이를 [eqn: S (theta)]라 하자. [eqn: lim_{ theta -> 0+} {S ( theta)}over{theta^{3}}= {q}over{p}]일 때, [eqn: p + q]의 값을 구하시오.
(단, [eqn: 0<theta<{pi}over{4}]이고, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.)

[정답] [eqn: bold{ 9]

[해설]

그림에서 삼각형 [eqn: rm rm BCE], [eqn: rm BDM]은 닮음이고,

[eqn: rm bar{BC}`= tan`theta], [eqn: rm bar{BD}`= 1 over11 sqrt{ 49 + 16`tan^{2}` theta]

[eqn: S( theta )][eqn: = {1} over {2} TIMES {7} over {11} TIMES {4} over {11} `tan` theta TIMES LEFT ( {11 ^{2} `tan ^{2} ` theta } over {49+16`tan ^{2} ` theta } RIGHT )]
[eqn: =][eqn: { 14`tan^{3}` } over{ 49 + 16`tan^{2}` theta}]

[eqn: lim_{ theta->0+} {S( theta)} over{ theta^3 } =][eqn: 14 over49+0 = 2 over7]

[eqn: THEREFORE][eqn: 2 +7 = 9]

[출처]	2019 모의_공공 교육청 고3 04월 19

그림과 같이 [eqn: {bar{rm AB it}} it=1], [eqn: ANGLE rmB= {pi } over {2}]인 직각삼각형 [eqn: rmABC]에서 선분 [eqn: rmAB]위에 [eqn: {bar{rm AD it}} = {bar{rm CD it}}]가 되도록 점 [eqn: rmD]를 잡는다. 점 [eqn: rmD]에서 선분 [eqn: rm AC]에 내린 수선의 발을 [eqn: rm E], 점 [eqn: rmD]를 지나고 직선 [eqn: rmAC]에 평행한 직선이 선분 [eqn: rm BC]와 만나는 점을 [eqn: rm F]라 하자. [eqn: ANGLE rm BAC= theta]일 때, 삼각형 [eqn: rmDEF]의 넓이를 [eqn: S LEFT ( theta RIGHT )]라 하자. [eqn: lim _{theta ``->`` 0+} { {S LEFT ( theta RIGHT )} over {theta }}]의 값은? [eqn: pile{ `#` }right(]단, [eqn: 0< theta < {pi } over {4} right)]

[정답] ④

[해설]

[eqn: RM BAR AD = BAR CD]이므로 삼각형 [eqn: rmADC]는 이등변삼각형이고, [eqn: rm {bar{AE}} = {bar{CE}}]이다. 또한, 선분 [eqn: rmAC]와 선분 [eqn: rmDF]가 평행하므로 [eqn: anglermBDF=theta]이고, 삼각형 [eqn: rmDEF]는 직각삼각형이다.

삼각형 [eqn: rm ABC]에서 [eqn: {bar{rm AC it}} it=sec theta]이므로 [eqn: {bar{rm AE it}} it = 1OVER2 {rm sec} theta]

삼각형 [eqn: rm AED]에서

[eqn: {bar{rm DE it}} it = {bar{rm AE it}} TIMES tan theta = {1} over {2} rm sec theta tan theta],

[eqn: {bar{rm AD it}} it = {bar{rm AE it}} TIMES sec theta = {1} over {2} rm sec ^{2} theta]

이므로 [eqn: {bar{rm DB it}} it = 1-{1OVER2 } RMsec^2 theta]

삼각형 [eqn: rm DBF]에서 [eqn: {bar{rm DF it}} it =bar{rmDB}timessec theta=sec theta LEFT ( 1- {1} over {2} rm sec ^{2} theta RIGHT )]

[eqn: S LEFT ( theta RIGHT )][eqn: = {1} over {2} TIMES rm {bar{DE}} TIMES {bar{DF}}]
[eqn: = 1OVER2 TIMES 1OVER2 RMsec theta tan theta times sec theta left(1- 1over2 rmsec^2 theta right)]
[eqn: = 1OVER4 RMsec^2 theta tan theta left(1- 1over2 rmsec^2 theta right)]

[eqn: lim _{theta ``->`` 0+} { {S LEFT ( theta RIGHT )} over {theta }}][eqn: = lim _{theta ``->`` 0+} {{{1} over {4} rm sec ^{2} theta tan theta LEFT ( 1- {1} over {2} rm sec ^{2} theta RIGHT ) it} over {theta }}]
[eqn: = {1} over {8}]

① [eqn: {1} over {32}]	② [eqn: {1} over {16}]	③ [eqn: {3} over {32}]

④ [eqn: {1} over {8}]	⑤ [eqn: {5} over {32}]

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고3 10월 미적분 28

그림과 같이 [eqn: {bar{rm AB}}][eqn: =1], [eqn: {bar{rm BC}}][eqn: =2]인 삼각형 [eqn: rmABC]에 대하여 선분 [eqn: rmAC]의 중점을 [eqn: rmM]이라 하고, 점 [eqn: rmM]을 지나고 선분 [eqn: rmAB]에 평행한 직선이 선분 [eqn: rmBC]와 만나는 점을 [eqn: rmD]라 하자. [eqn: ANGLE rm BAC]의 이등분선이 두 직선 [eqn: rm BC,~DM]과 만나는 점을 각각 [eqn: rmE,~F]라 하자. [eqn: ANGLE rm CBA][eqn: = theta]일 때, 삼각형 [eqn: rmABE]의 넓이를 [eqn: f LEFT ( theta RIGHT )], 삼각형 [eqn: rmDFC]의 넓이를 [eqn: g LEFT ( theta RIGHT )]라 하자. [eqn: lim _{theta -> 0+} {} {g LEFT ( theta RIGHT )} over {theta ^{2} TIMES f LEFT ( theta RIGHT )}]의 값은? (단, [eqn: 0< theta <pi])

[정답] ③

[해설]

삼각형 [eqn: rmABC]에서 코사인법칙에 의하여

[eqn: {rmbarAC }^{2} = 1^2 +2^2 -2times1times2 timescos `theta=5-4`cos`theta]이므로

[eqn: rmbarAC = sqrt { 5-4`cos`theta}]

직선 [eqn: rmAE]가 [eqn: rmangleBAC]의 이등분선이므로

[eqn: rmbarBE `:`barCE`=`barAB`:`barAC `=`1`:` sqrt { 5-4`cos`theta}]에서

[eqn: rmbarBE = 1over{1+ sqrt { 5-4`cos`theta}}times rmbarBC = 2over{1+ sqrt { 5-4`cos`theta}]

그러므로

[eqn: f LEFT ( theta RIGHT )][eqn: = 1over2 times rmbarAB times barBE times sin` LEFT ( angleCBA RIGHT )]
[eqn: = 1over2 times 1 times 2over1+ sqrt { 5-4`cos`theta }timessin`theta]
[eqn: = {sin`theta} over{1+ sqrt { 5-4`cos`theta}]

두 직선 [eqn: rmAB, ~DM]이 서로 평행하므로

[eqn: rmangleCDM = theta ,~angleBAE = angleDFE]

이다. 이때 [eqn: rmangleBAE =angleFAC]이므로 삼각형 [eqn: rmAMF]는 이등변삼각형이다.

점 [eqn: rmM]은 선분 [eqn: rmAC]의 중점이므로

[eqn: rmbarFM = 1over2 times barAC = sqrt { 5-4`cos`theta}over 2]이고

[eqn: rmbarBD =barCD =1 ,~barDM = 1over2]

그러므로 [eqn: rmbarDF = barFM - barDM = {sqrt { 5-4`cos`theta} -1}over2]

[eqn: rmangleFDC = pi -angleCDM =pi- theta]이므로

[eqn: g LEFT ( theta RIGHT )][eqn: = 1over2 times rmbarCD timesbarDF timessin` LEFT ( angleFDC RIGHT )]
[eqn: = 1over2 times 1times {sqrt { 5-4`cos`theta}-1} over2 timessin `LEFT ( pi-theta RIGHT )]
[eqn: = { sqrt { 5-4`cos`theta}-1}over4 timessin`theta]

따라서

[eqn: lim _{ theta`->`0+} `{ g LEFT ( theta RIGHT ) }over{theta^2 timesf LEFT ( theta RIGHT )}][eqn: = lim _{ theta`->`0+}` {{{sin`theta} over4 } LEFT ( sqrt { 5-4`cos`theta} -1RIGHT )} over {theta^2 times { sin`theta}over{1+ sqrt { 5-4`cos`theta}}]
[eqn: =lim _{ theta`->`0+} `{ LEFT ( sqrt { 5-4`cos`theta} -1RIGHT ) LEFT ( sqrt { 5-4`cos`theta}+1 RIGHT ) }over{4`theta^2}]
[eqn: =lim _{ theta`->`0+} `{ LEFT ( 5-4`cos`theta RIGHT ) -1 }over{4`theta ^2 }]
[eqn: =lim _{ theta`->`0+} `{1-cos`theta }overtheta^2]
[eqn: = lim _{theta ` rarrow `0+} {} ` {LEFT ( 1-cos` theta RIGHT ) LEFT ( 1+cos` theta RIGHT )} over {theta ^{2} LEFT ( 1+cos` theta RIGHT )}]
[eqn: = {1} over {2} times lim _{ theta`->`0+}` {sin`^2 `theta }over theta^2]
[eqn: = 1over2]

① [eqn: {1} over {8}]	② [eqn: {1} over {4}]	③ [eqn: {1} over {2}]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

06 미적	05 삼각함수의 미분
02 극한의 해석 및 활용
05 활용3 (원의 방정식)

[출처]	2009 모의_공공 평가원 고3 11월 28

그림과 같이 원 [eqn: x^{2}+y^{2}=1] 위의 점 [eqn: {rm{P}} it]에서의 접선이 [eqn: x]축과 만나는 점을 [eqn: {rm{Q}} it]라 하자. 점 [eqn: {rm{A}} it (-1,``0)]과 원점 [eqn: {rm{O}} it]에 대하여 [eqn: angle {rm{PAO}} it = theta]라 할 때, [eqn: lim _{ theta ``rarrow`` { pi} over {4}-} { overline{{rm{PQ}} it }-{rm{barOQ}} it } over { theta-{ pi} over {4}}]의 값은? (단, 점 [eqn: {rm{P}} it]는 제[eqn: rm 1]사분면 위의 점이다.)

[정답] ④

[해설]

[eqn: rm angle POQ``=` 2 `theta]이고, [eqn: rm bar OP``=`1]이므로

[eqn: rm bar PQ``=` tan`2`theta]

[eqn: rm bar OQ``=` 1 over {cos`2 `theta}]이므로

[eqn: lim _{ theta`->`pi over 4 ``-} { {tan`2 theta``-` 1 over {cos`2`theta}}} over {theta``-` pi over 4}]	[eqn: =` lim _{ theta`->`pi over 4 -} { 1 over {theta`-`pi over 4}}`cdot {sin`2 `theta``-`1} over {cos`2`theta}]

[eqn: theta``-` pi over 4``=`t]라 치환하면

[eqn: lim _{ t`->`0-} {1 over t cdot {cos`2`t`-1} over {-`sin`2`t} }][eqn: =` lim _{ t`->`0-} {{1`-cos^2`2t} over {1+`cos`2`t} cdot` 1 over {t`sin`2`t}}]
[eqn: =` lim _{ t`->`0-} { 1 over {1+cos`2`t}`cdot`{sin2`t} over 2t`cdot 2 ``=`1}]

① [eqn: rm 2]	② [eqn: sqrt{3}]	③ [eqn: {3} over {2}]

④ [eqn: rm 1]	⑤ [eqn: { sqrt{2}} over {2}]

[출처]	2010 모의_공공 평가원 고3 06월 미분과 적분 30

좌표평면에서 중심이 원점 [eqn: {rm{O}} it]이고 반지름의 길이가 [eqn: rm 1]인 원 위의 점 [eqn: {rm{P}} it]에서의 접선이 [eqn: x]축과 만나는 점을 [eqn: {rm{Q}} it], 점 [eqn: {rm{A}} it (0,``1)]과 점 [eqn: {rm{P}} it]를 지나는 직선이 [eqn: x]축과 만나는 점을 [eqn: {rm{R}} it]라 하자. [eqn: angle {rm{QOP}} it = theta]라 하고 삼각형 [eqn: {rm{PQR}} it]의 넓이를 [eqn: S( theta)]라고 하자. [eqn: lim _{theta `` rarrow ``0+} {} {S( theta )} over {theta ^{2}} = alpha]일 때, [eqn: 100 alpha]의 값을 구하시오. (단, 점 [eqn: {rm{P}} it]는 제 [eqn: rm 1]사분면 위의 점이다.)

[정답] [eqn: 50]

[해설]

[eqn: {rm{P}} it ( cos theta,`` sin theta)]이므로 직선 [eqn: A P]의 방정식은

[eqn: y={ sin theta-1} over { cos theta} x+1]

위 직선의 [eqn: bold {x}]절편은

[eqn: { cos theta} over {1- sin theta}]

이므로 점 [eqn: {rm{R}} it]의 좌표는 [eqn: left({ cos theta} over {1- sin theta},`` 0 right)]이다.

[eqn: rm Delta O R P={1} over {2} times { cos theta} over {1- sin theta} times sin theta]

[eqn: rm triangle O Q P={1} over {2} times 1 times tan theta]

이므로

[eqn: rm triangle P Q R][eqn: ={1} over {2} left({ sin theta cos theta} over {1- sin theta}- tan theta right)]
[eqn: = {1} over {2} left{ { sin theta cos theta(1+ sin theta)} over {(1- sin theta)(1+ sin theta)}-{ sin theta} over { cos theta} it right}]
[eqn: = {1} over {2} left{ { sin theta cos theta(1+ sin theta)- sin theta cos theta} over { cos ^{2} theta} it right}]
[eqn: = { sin ^{2} theta} over {2 cos theta}]

[eqn: THEREFORE ~a= lim _{theta `` rarrow ``0+} {} {S( theta )} over {theta ^{2}} = lim _{theta `` rarrow ``0+} {} {sin ^{2} theta } over {2 theta ^{2}} CDOT {1} over {cos theta } = {1} over {2}]

[eqn: therefore~100 a=50]

[출처]	2012 모의_공공 평가원 고3 09월 20

그림과 같이 점 [eqn: {rm{A}} it (-2,``0)]과 원 [eqn: x^{2}+y^{2}=4] 위의 점 [eqn: {rm{P}} it]에 대하여 직선 [eqn: {rm{AP}} it]가 원 [eqn: (x-1)^{2}+y^{2}=1]과 두 점에서 만날 때 두 점 중에서 점 [eqn: {rm{P}} it]에 가까운 점을 [eqn: {rm{Q}} it]라 하자.

[정답] ④

[해설]

그림에서 [eqn: rm B(2,``0)]라 하면

[eqn: rm overline{A P}=4 cos theta], [eqn: rm ~ overline{B P}=4 sin theta]

이고 [eqn: rm overline{O Q}=it a], [eqn: rm overline{B Q}=it b], [eqn: rm overline{P Q}=it x]라 하면

[eqn: a^{2}+b^{2}=4 cdots cdots] ㉠

[eqn: b^{2}=x^{2}+(4 sin theta)^{2}=x^{2}+16 sin ^{2} theta]

[eqn: a^{2}=2^{2}+(4 cos theta-x)^{2}-2 times 2 times(4 cos theta-x) cos theta]

[eqn: =4+ left(16 cos ^{2} theta-8 cos theta x+x^{2} right)-16 cos ^{2} theta][eqn: +4 cos theta x]

[eqn: =x^{2}-4 cos theta x+4]

따라서, ㉠에 대입하면

[eqn: left(x^{2}-4 cos theta x+4 right)+ left(x^{2}+16 sin ^{2} theta right)=4]

[eqn: x^{2}-2 cos theta x+8 sin ^{2} theta=0]

[eqn: rm therefore~it x= overline{rm P Q}= cos theta- sqrt{ cos ^{2} theta-8 sin ^{2} theta}]

[eqn: ( because 0< cos theta<1)]

[eqn: THEREFORE ~ lim _{theta `` rarrow ``0+} {} {{bar{rm PQ}}} over {theta ^{2}}]

[eqn: = lim _{theta `` rarrow ``0+} {} {cos theta - sqrt {cos ^{2} theta -8sin ^{2} theta }} over {theta ^{2}}]

[eqn: = lim _{theta `` rarrow ``0+} {} {8sin ^{2} theta } over {theta ^{2} LEFT ( cos theta + sqrt {cos ^{2} theta -8sin ^{2} theta } RIGHT )}]

[eqn: = lim _{theta `` rarrow ``0+} {} 8 LEFT ( {sin theta } over {theta } RIGHT ) ^{2} TIMES {1} over {cos theta + sqrt {cos ^{2} theta -8sin ^{2} theta }}]

[eqn: =8 times 1^{2} times {1} over {2}=4]

[eqn: angle {rm{OAP}} it = theta]라 할 때, [eqn: lim _{theta `` rarrow ``0+} {} {rm PQ it} over {theta ^{2}}]의 값은?

① [eqn: {5} over {2}]	② [eqn: rm 3]	③ [eqn: {7} over {2}]

④ [eqn: rm 4]	⑤ [eqn: {9} over {2}]

[출처]	2013 모의_공공 교육청 고3 03월 21

그림과 같이 길이가 [eqn: rm 2]인 선분 [eqn: {rm{AB}} it]를 지름으로 하는 반원 위에 점 [eqn: {rm{P}} it]가 있다. 점 [eqn: {rm{B}} it]를 지나고 선분 [eqn: {rm{AB}} it]에 수직인 직선이 직선 [eqn: {rm{AP}} it]와 만나는 점을 [eqn: {rm{Q}} it]라 하고, 점 [eqn: {rm{P}} it]에서 이 반원에 접하는 직선과 선분 [eqn: {rm{BQ}} it]가 만나는 점을 [eqn: {rm{R}} it]라 하자. [eqn: angle {rm{PAB}} it = theta]라 하고 삼각형 [eqn: {rm{PRQ}} it]의 넓이를 [eqn: S( theta)]라 할 때, [eqn: lim _{theta `` rarrow ``0+} {} {S( theta )} over {theta ^{3}}]의 값은? (단, [eqn: 0< theta<{ pi} over {4}]이다.)

[정답] ③

[해설]

그림에서 삼각형 [eqn: {rm{ABQ}} it]와 삼각형 [eqn: {rm{OBR}} it]는 닮음비가 [eqn: 2: 1]인 닮은 삼각형이다.

[eqn: overline{{rm{QB}} it }=2 tan theta]이므로
[eqn: overline{{rm{QR}} it }={1} over {2} overline{{rm{QB}} it }= tan theta]
[eqn: overline{{rm{AQ}} it }={2} over { cos theta}], [eqn: overline{{rm{AP}} it }=2 cos theta]이므로
[eqn: overline{{rm{QP}} it }= overline{{rm{AQ}} it }- overline{{rm{AP}} it }]
[eqn: =2 left({1} over { cos theta}- cos theta right)]
이때 [eqn: angle {rm{AQB}} it ={ pi} over {2}- theta]이므로
[eqn: S( theta)={1} over {2} times overline{{rm{QR}} it } times overline{{rm{QP}} it } times sin left({ pi} over {2}- theta right)]
[eqn: ={1} over {2} times tan theta times 2 left({1} over { cos theta}- cos theta right) times cos theta]
[eqn: = tan theta left(1- cos ^{2} theta right)]
[eqn: = tan theta sin ^{2} theta]
[eqn: THEREFORE ~ lim _{theta `` rarrow ``0+} {} {S( theta )} over {theta ^{3}}]
[eqn: = lim _{ theta ``rarrow``0+} { tan theta sin ^{2} theta} over { theta^{3}}]
[eqn: = lim _{theta `` rarrow ``0+} {} {tan theta } over {theta } TIMES lim _{theta `` rarrow ``0+} {} LEFT ( {sin theta } over {theta } RIGHT ) ^{2}]
[eqn: =1 times 1^{2}]
[eqn: =1]

[eqn: {[]다른 풀이] [eqn: }]

그림과 같이 반원의 중심을 [eqn: {rm{O}} it]라 하자.

[eqn: angle {rm{APB}} it ={ pi} over {2}]이므로 [eqn: angle {rm{PBR}} it = theta]이다.

원 밖의 한 점 [eqn: {rm{R}} it]에서 그은 두 접선의 길이는 서로 같으므로 [eqn: overline{{rm{PR}} it }= overline{{rm{RB}} it }]이고 [eqn: angle {rm{RPB}} it = theta]이다.

[eqn: angle {rm{PQR}} it = angle {rm{QPR}} it ={ pi} over {2}- theta]이므로

[eqn: overline{{rm{PR}} it }= overline{{rm{QR}} it }]

[eqn: overline{{rm{BQ}} it }=2 tan theta]에서 [eqn: overline{{rm{PR}} it }= overline{{rm{RB}} it }= overline{{rm{QR}} it }= tan theta]

이때 [eqn: angle {rm{PRQ}} it =2 theta]이므로

[eqn: S( theta)={1} over {2} tan theta tan theta sin 2 theta={1} over {2} tan ^{2} theta sin 2 theta]

[eqn: therefore~ lim _{ theta ``rarrow``0+} {S( theta)} over { theta^{3}}]

[eqn: = lim _{ theta ``rarrow``0+} { tan ^{2} theta sin 2 theta} over {2 theta^{3}}]

[eqn: = lim _{ theta ``rarrow``0+} { tan theta cdot tan theta cdot sin 2 theta} over { theta cdot theta cdot 2 theta}]

[eqn: =1]

① [eqn: {1} over {2}]	② [eqn: {3} over {4}]	③ [eqn: rm 1]

④ [eqn: {5} over {4}]	⑤ [eqn: rm 2]

[출처]	2015 모의_공공 교육청 고3 03월 29

그림과 같이 중심이 [eqn: {rm{A}} it (3,``0)]이고 점 [eqn: {rm{B}} it (6,``0)]을 지나는 원이 있다. 이 원 위의 점 [eqn: {rm{P}} it]를 지나는 두 직선 [eqn: {rm{AP}} it], [eqn: {rm{BP}} it]가 [eqn: y]축과 만나는 점을 각각 [eqn: {rm{Q}} it], [eqn: {rm{R}} it]라 하자. [eqn: angle {rm{PBA}} it = theta]라 하고, 삼각형 [eqn: {rm{PQR}} it]의 넓이를 [eqn: S( theta)]라 할 때, [eqn: lim _{theta `` rarrow ``0+} {} {S( theta )} over {theta ^{5}}]의 값을 구하시오. (단, [eqn: 0< theta<{ pi} over {4}])

[정답] [eqn: 18]

[해설]

[eqn: angle {rm{PBO}} it = theta]이므로 [eqn: angle {rm{PAO}} it =2 theta]이다.

점 [eqn: {rm{P}} it]에서 [eqn: x]축에 내린 수선의 발을 [eqn: {rm{H}} it]라 하면 [eqn: overline{{rm{AP}} it }=3], [eqn: overline{{rm{AH}} it }=3 cos 2 theta], [eqn: overline{{rm{HO}} it }=3-3 cos 2 theta]이다.

[eqn: overline{{rm{OA}} it }=3], [eqn: angle {rm{PAO}} it =2 theta]이므로

[eqn: overline{{rm{OQ}} it }=3 tan 2 theta]

[eqn: overline{{rm{OB}} it }=6], [eqn: angle {rm{PBO}} it = theta]이므로

[eqn: overline{{rm{OR}} it }=6 tan theta]

[eqn: overline{{rm{RQ}} it }][eqn: = overline{{rm{OQ}} it }- overline{{rm{OR}} it }]
[eqn: =3 tan 2 theta-6 tan theta]

[eqn: overline{{rm{HO}} it }=3-3 cos 2 theta]이므로

[eqn: S( theta)][eqn: ={1} over {2} times overline{{rm{RQ}} it } times overline{{rm{HO}} it }]
[eqn: ={1} over {2}(3 tan 2 theta-6 tan theta)(3-3 cos 2 theta)]
[eqn: ={9} over {2}( tan 2 theta-2 tan theta)(1- cos 2 theta)]
[eqn: =9 left({2 tan theta} over {1- tan ^{2} theta}-2 tan theta right) sin ^{2} theta]
[eqn: ={18 tan ^{3} theta sin ^{2} theta} over {1- tan ^{2} theta}]

따라서

[eqn: lim _{theta `` rarrow ``0+} {} {S( theta )} over {theta ^{5}}][eqn: = lim _{theta `` rarrow ``0+} {} {18tan ^{3} theta `sin ^{2} theta } over {theta ^{5} LEFT ( 1-tan ^{2} theta RIGHT )}]
[eqn: = lim _{theta `` rarrow ``0+} {} LEFT ( {18} over {1-tan ^{2} theta } TIMES {tan ^{3} theta } over {theta ^{3}} TIMES {sin ^{2} theta } over {theta ^{2}} RIGHT )]
[eqn: =18 times 1 times 1=18]

[다른 풀이]

[eqn: TRIANGLE rm PAH it □ TRIANGLE rm QAO it]이므로

[eqn: {bar{rm AP it}} `:` {bar{rm PQ it}} = {bar{rm AH it}} `:` {bar{rm HO it}}]

[eqn: 3: overline{{rm{PQ}} it }=3 cos 2 theta: 3-3 cos 2 theta]이므로

[eqn: overline{{rm{PQ}} it }={3(3-3 cos 2 theta)} over {3 cos 2 theta}]

또, [eqn: TRIANGLE rm PBH it □ TRIANGLE rm RBO it]이므로

[eqn: overline{{rm{BP}} it }: overline{{rm{PR}} it }= overline{{rm{BH}} it }: overline{{rm{HO}} it }]

[eqn: 6 cos theta: overline{{rm{PR}} it }=3+3 cos 2 theta: 3-3 cos 2 theta]이므로

[eqn: overline{{rm{PR}} it }={6 cos theta(3-3 cos 2 theta)} over {3+3 cos 2 theta}]

[eqn: angle {rm{QPR}} it = angle {rm{APB}} it = angle {rm{PBA}} it = theta]이므로

[eqn: S( theta)][eqn: ={1} over {2} times overline{{rm{PR}} it } times overline{{rm{PQ}} it } times sin theta]
[eqn: ={1} over {2} times {6 cos theta(3-3 cos 2 theta)} over {(3+3 cos 2 theta)} times {3(3-3 cos 2 theta)} over {3 cos 2 theta} times sin theta]
[eqn: ={9 cos theta(1- cos 2 theta)^{2} sin theta} over {(1+ cos 2 theta) cos 2 theta}]
[eqn: ={9 cos theta left(2 sin ^{2} theta right)^{2} sin theta} over {(1+ cos 2 theta) cos 2 theta}]
[eqn: ={36 cos theta sin ^{5} theta} over {(1+ cos 2 theta) cos 2 theta}]

따라서

[eqn: lim _{theta `` rarrow ``0+} {} {S( theta )} over {theta ^{5}}][eqn: = lim _{theta `` rarrow ``0+} {} {36cos theta sin ^{5} theta } over {theta ^{5} (1+cos2 theta )cos2 theta }]
[eqn: = lim _{theta `` rarrow ``0+} {} LEFT { {36cos theta } over {(1+cos2 theta )cos2 theta } TIMES {sin ^{5} theta } over {theta ^{5}} it RIGHT }]
[eqn: ={36} over {2 times 1} times 1]
[eqn: =18]

[출처]	2018 모의_공공 평가원 고3 09월 19

자연수 [eqn: n`]에 대하여 중심이 원점 [eqn: rm O`]이고 점 [eqn: rm P it LEFT ( 2 ^{n} ,``0 RIGHT ) `]을 지나는 원 [eqn: C``]가 있다. 원 [eqn: C`] 위에 점 [eqn: rm Q`]를 호 [eqn: rm PQ`]의 길이가 [eqn: pi `]가 되도록 잡는다. 점 [eqn: rm Q`]에서 [eqn: x]축에 내린 수선의 발을 [eqn: rm H`]라 할 때, [eqn: lim _{n` -> ` INF } {rm LEFT ( bar{OQ} TIMES bar{HP} RIGHT )} it `]의 값은?

[정답] ①

[해설]

[eqn: angle {rm{POQ}} it = theta]로 놓으면 [eqn: pi= arch {{rm{PQ}} it }=2^{n} theta]에서 [eqn: theta={ pi} over {2^{n}}]

점 [eqn: {rm{Q}} it]의 좌표는 [eqn: left(2^{n} cos { pi} over {2^{n}},`` 2^{n} sin { pi} over {2^{n}} right)]이므로

[eqn: overline{{rm{HP}} it }=2^{n}-2^{n} cos { pi} over {2^{n}}]이다.

[eqn: lim _{n ``rarrow`` inf }( overline{{rm{OQ}} it } times overline{{rm{HP}} it })= lim _{n ``rarrow`` inf } left{ 2^{n} times 2^{n} left(1- cos { pi} over {2^{n}} right) it right}]

이때 [eqn: {1} over {2^{n}}=t]로 놓으면 [eqn: n ``rarrow`` inf]일 때, [eqn: t ``rarrow`` 0+]이고

[eqn: lim _{n ``rarrow`` inf } 4^{n} left(1- cos { pi} over {2^{n}} right)][eqn: = lim _{t ``rarrow`` 0+} {1- cos pi t} over {t^{2}}]
[eqn: = lim _{t ``rarrow`` 0+} {(1- cos pi t)(1+ cos pi t)} over {t^{2}(1+ cos pi t)}]
[eqn: = pi^{2} lim _{t ``rarrow`` 0+} left({ sin ^{2} pi t} over { pi^{2} t^{2}} times {1} over {1+ cos pi t} right)]
[eqn: = pi^{2} times 1 times {1} over {2}={ pi^{2}} over {2}]

① [eqn: pi^2 over 2]	② [eqn: {3} over {4} pi ^{2}]	③ [eqn: pi^2]

④ [eqn: 5 over 4 pi^2]	⑤ [eqn: 3 over 2 pi^2]

[출처]	2018 모의_공공 교육청 고3 07월 21

그림과 같이 좌표평면 위에 중심이 [eqn: rm O LEFT ( 0,~0 RIGHT ) `]이고
점 [eqn: rm A LEFT ( 1,~0 RIGHT ) `]을 지나는 원 [eqn: C` _{1}] 위의 제 [eqn: 1`]사분면 위의 점을 [eqn: rmP`]라 하자. 점 [eqn: rm P`]를 원점에 대하여 대칭이동시킨 점을 [eqn: rm Q], [eqn: x`]축에 대하여 대칭이동시킨 점을 [eqn: rm R`]라 하자. 선분 [eqn: rm QR`]를 지름으로 하는 원 [eqn: C` _{2} `]와 두 선분 [eqn: rm PQ], [eqn: rmAQ`]와의 교점을 각각 [eqn: rm M], [eqn: rmN`]이라 하자. [eqn: ANGLE rm POA it = theta `]라 할 때, 두 삼각형 [eqn: rm MQN], [eqn: rm PNR`]의 넓이를 각각 [eqn: S` LEFT ( theta RIGHT )], [eqn: T` LEFT ( theta RIGHT ) `]라 하자. [eqn: lim _{theta ` -> `0+} {{theta ^{2} TIMES S` LEFT ( theta RIGHT )} over {T` LEFT ( theta RIGHT )}} `]의 값은?

[정답] ②

[해설]

원 [eqn: C` _{`1}] 위의 점 [eqn: rm P`]에 대하여 [eqn: {arch{rm ``PA`` it}} = {arch{rm ``AR`` it}} `]이므로

[eqn: ANGLE rm PQA it `=` ANGLE rm AQR it `=` {theta } over {2} `]
[eqn: ANGLE rm PRQ= {pi } over {2} `]이므로

[eqn: {bar{rm PR it}} `=`2`sin` theta `], [eqn: {bar{rm QR it}} `=`2`cos` theta `]
[eqn: ANGLE rm QMR=` ANGLE rm QNR= {pi } over {2} `]이므로

[eqn: {bar{rm QM}} `=`2`cos` theta `cos theta `], [eqn: {bar{rm QN it}} `=`2`cos` theta `cos` {theta } over {2} `]

[eqn: S`( theta )`][eqn: = {1} over {2} TIMES {bar{rm QM it}} TIMES {bar{rm QN it}} TIMES sin` {theta } over {2} `]
[eqn: =` {1} over {2} TIMES 2`cos ^{2} ` theta TIMES 2`cos` theta `cos` {theta } over {2} ` TIMES `sin` {theta } over {2} `][eqn: =2`cos` ^{3} theta `cos {theta } over {2} `sin` {theta } over {2} `]

점 [eqn: rm N`]에서 선분 [eqn: rm QR`]에 내린 수선의 발을 [eqn: rm H`]라 하면

[eqn: T(theta)`=` { 1} over { 2} TIMESbar{rm PR} TIMES bar{rm HR}`]

[eqn: {bar{rm HR it}} `][eqn: =` {bar{rm QR it}} - {bar{rm QH it}} `=`2`cos` theta `-` {bar{rm QN it}} `cos` {theta } over {2} `]
[eqn: =`2`cos` theta `-`2cos` theta `cos` ^{2} {theta } over {2} `]
[eqn: =`2`cos` theta LEFT ( 1-cos` ^{2} {theta } over {2} RIGHT ) `]
[eqn: =`2`cos` theta `sin` ^{2} {theta } over {2} `]

[eqn: T(theta)`][eqn: =` {1} over {2} TIMES `2`sin` theta ` TIMES `2`cos` theta `sin` ^{2} {theta } over {2} `]
[eqn: =`2`sin` theta `cos` theta `sin` ^{2} {theta } over {2} `]

[eqn: lim _{theta ` -> `0+} {{theta ^{2} TIMES S`( theta )} over {T`( theta )}} `][eqn: =` lim _{theta ` -> `0+} {{theta ^{2} TIMES `2cos` ^{3} ` theta `cos` {theta `} over {2} `sin` {theta } over {2} `} over {2sin` theta` cos` theta `sin` ^{2} {theta `} over {2} `}}]
[eqn: = lim _{theta ` -> `0+} {LEFT ( cos ^{2} theta cos {theta } over {2} RIGHT ) TIMES lim _{theta ` -> `0+} {{theta ^{2}} over {sin theta sin {theta } over {2}}}}]
[eqn: =1 TIMES ` lim _{theta ` -> `0+} {LEFT ( 2 TIMES {theta } over {sin` theta } TIMES {{theta } over {2} `} over {sin` {theta } over {2}} RIGHT )}][eqn: =`2`]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

06 미적	05 삼각함수의 미분
02 극한의 해석 및 활용
06 활용4 (원과 도형)

[출처]	2005 모의_공공 평가원 고3 09월 미분과 적분 30

그림과 같이 한 변의 길이가 [eqn: rm 4]인 정사각형 [eqn: {rm{ABCD}} it]에서 변 [eqn: {rm{AB}} it]의 중점 [eqn: {rm{O}} it]를 중심으로 하고 반지름의 길이가 [eqn: rm 2]인 반원 위에 점 [eqn: {rm{P}} it]가 있다. [eqn: angle {rm{BAP}} it = theta]일 때 삼각형 [eqn: {rm{APC}} it]의 넓이를 [eqn: f( theta)], 부채꼴 [eqn: {rm{OBP}} it]의 넓이를 [eqn: g( theta)]라 하자. [eqn: lim _{ theta ``rarrow`` 0} {8-f( theta)} over {g( theta)}= alpha]라 할 때, [eqn: 10 alpha]의 값을 구하시오. [eqn: left( 단,~0< theta<{ pi} over {2}이다 right)]

[정답] [eqn: 20]

[해설]

[eqn: overline{{rm{OA}} it }= overline{{rm{OP}} it }=2]이므로 [eqn: angle {rm{OPA}} it = theta],[eqn: ~ angle {rm{POB}} it =2 theta]이다.

[eqn: therefore~g( theta)={1} over {2} times 2 times 2 times 2 theta=4 theta]

그림에서 [eqn: angle {rm{EOP}} it =90 DEG -2 theta], [eqn: angle {rm{PAE}} it =45 DEG - theta]

[eqn: overline{{rm{AP}} it }=2 overline{{rm{AH}} it }=2 times 2 cos theta]
[eqn: =4 cos theta ~left( because cos theta={ overline{{rm{AH}} it }} over { overline{{rm{OA}} it }} right)]

[eqn: overline{{rm{AC}} it }=4 sqrt{2}]

[eqn: therefore~f( theta)=][eqn: {1} over {2} times 4 sqrt{2} times 4 cos theta times sin left(45 DEG - theta right)]
[eqn: = 8 sqrt{2} cos theta left( sin 45 DEG cos theta right.][eqn: left.- sin theta cos 45 DEG right)]
[eqn: = 8 left( cos ^{2} theta- cos theta sin theta right)]
[eqn: = 8 left(1- sin ^{2} theta- cos theta sin theta right)]
[eqn: lim _{ theta ``rarrow`` 0} {8 sin ^{2} theta+8 cos theta sin theta} over {4 theta}]
[eqn: = lim _{ theta ``rarrow`` 0} left({2 sin ^{2} theta} over { theta}+{2 cos theta sin theta} over { theta} right)=2]
[eqn: therefore~10 a= 20]

[출처]	2007 모의_공공 평가원 고3 06월 미분과 적분 27

그림과 같이 지름의 길이가 [eqn: rm 2]이고, 두 점 [eqn: {rm{A}} it], [eqn: {rm{B}} it]를 지름의 양 끝점으로 하는 반원 위에 점 [eqn: {rm{C}} it]가 있다. 삼각형 [eqn: {rm{ABC}} it]의 내접원의 중심을 [eqn: {rm{O}} it], 중심 [eqn: {rm{O}} it]에서 선분 [eqn: {rm{AB}} it]와 선분 [eqn: {rm{BC}} it]에 내린 수선의 발을 각각 [eqn: {rm{D}} it], [eqn: {rm{E}} it]라 하자. [eqn: angle {rm{ABC}} it = theta]이고, 호 [eqn: {rm{AC}} it]의 길이를 [eqn: l_{1}], 호 [eqn: {rm{DE}} it]의 길이를 [eqn: l_{2}]라 할 때, [eqn: lim _{ theta ``rarrow`` 0} {l_{1}} over {l_{2}}]의 값은? (단, [eqn: 0< theta<{ pi} over {2}]이다.)

[정답] ④

[해설]

[eqn: overline{{rm{AB}} it }]의 중점을 [eqn: {rm{O}} it `prime]이라 하면 [eqn: angle {rm{AO}} it `prime {rm{C}} it =2 theta]이므로

[eqn: l_{1}=1 times 2 theta=2 theta]

직각삼각형 [eqn: {rm{ABC}} it]에서

[eqn: overline{{rm{AC}} it }=2 sin theta], [eqn: overline{{rm{BC}} it }=2 cos theta]

[eqn: triangle {rm{ABC}} it]의 넓이를 [eqn: {S}], 원 [eqn: {rm{O}} it]의 반지름을 [eqn: r]라 하면

[eqn: S][eqn: ={1} over {2}(2+2 sin theta+2 cos theta) r]
[eqn: ~ ={1} over {2} times 2 sin theta times 2 cos theta]

[eqn: therefore~r={2 sin theta cos theta} over {1+ sin theta+ cos theta}]

[eqn: angle {rm{DOE}} it = pi- theta]이므로

[eqn: l_{2}={2 sin theta cos theta} over {1+ sin theta+ cos theta}( pi- theta)]

[eqn: therefore~ lim _{ theta ``rarrow`` 0} {l_{1}} over {l_{2}}= lim _{ theta ``rarrow`` 0} {2 theta(1+ sin theta+ cos theta)} over {2 sin theta cos theta( pi- theta)}={2} over { pi}]

① [eqn: rm 1]	② [eqn: { pi} over {4}]	③ [eqn: { pi} over {3}]

④ [eqn: {2} over { pi}]	⑤ [eqn: {3} over { pi}]

[출처]	2007 모의_공공 평가원 고3 11월 미분과 적분 28

그림과 같이 양수 [eqn: theta]에 대하여 [eqn: angle {rm{ABC}} it = angle {rm{ACB}} it = theta]이고 [eqn: overline{{rm{BC}} it }=2]인 이등변삼각형 [eqn: {rm{ABC}} it]가 있다. 삼각형 [eqn: {rm{ABC}} it]의 내접원의 중심을 [eqn: {rm{O}} it], 선분 [eqn: {rm{AB}} it]와 내접원이 만나는 점을 [eqn: {rm{D}} it], 선분 [eqn: {rm{AC}} it]와 내접원이 만나는 점을 [eqn: {rm{E}} it]라 하자. 삼각형 [eqn: {rm{OED}} it]의 넓이를 [eqn: S( theta)]라 할 때, [eqn: lim _{theta `` rarrow ``0+} {} {S( theta )} over {theta ^{3}}]의 값은?

[정답] ②

[해설]

사각형 [eqn: rm AODE`]에서

[eqn: {ANGLE rmD AE}`=`pi-2 theta], [eqn: rm ANGLE ADO= ANGLE AEO`=`90 DEG `]이므로 [eqn: rm ANGLEDOE`=`2 theta]

한편, [eqn: rm O`]에서 선분 [eqn: rm BC`]에 내린 수선의 발을 [eqn: rm H`]라 하고, 내접원의 반지름의 길이를 [eqn: r`]라 하면

[eqn: tan` {theta } over {2} `=` rm {bar{OH}} over {bar{CH}} it =` {r} over {1} `=`r]

[eqn: THEREFORE ````S( theta )`][eqn: =` rm TRIANGLE OED it `=` {1} over {2} `r ^{2} `sin`2 theta]
[eqn: `=` {1} over {2} `tan ^{2} ` {theta } over {2} `sin`2 theta `=`sin` theta `cos` theta ``tan ^{2} ` {theta } over {2} `]

[eqn: THEREFORE ```` lim _{theta rarrow ``0+} {} {S( theta )} over {theta ^{3}} `][eqn: =` lim _{theta rarrow ``0+} {} {sin` theta `cos` theta `tan ^{2} ` {theta } over {2}} over {theta ^{3}}]
[eqn: `=` lim _{theta rarrow ``0+} {cos` theta } ` {sin` theta } over {theta } ` {`tan ^{2} ` {theta } over {2}} over {4 LEFT ( {theta } over {2} RIGHT ) ^{2}}][eqn: `= 1over 4]

① [eqn: {1} over {8}]	② [eqn: {1} over {4}]	③ [eqn: {3} over {8}]

④ [eqn: {1} over {2}]	⑤ [eqn: {5} over {8}]

[출처]	2011 모의_공공 평가원 고3 11월 27

그림과 같이 중심이 [eqn: {rm{O}} it]이고 길이가 [eqn: rm 2]인 선분 [eqn: {rm{AB}} it]를 지름으로 하는 원 위의 점 [eqn: {rm{P}} it]에서 선분 [eqn: {rm{AB}} it]에 내린 수선의 발을 [eqn: {rm{Q}} it], 점 [eqn: {rm{Q}} it]에서 선분 [eqn: {rm{OP}} it]에 내린 수선의 발을 [eqn: {rm{R}} it], 점 [eqn: {rm{O}} it]에서 선분 [eqn: {rm{AP}} it]에 내린 수선의 발을 [eqn: {rm{S}} it]라 하자.

[정답] [eqn: 65]

[해설]

[eqn: rm bar AS = cos``theta`]이므로 삼각형 [eqn: rm ASO`]의 넓이 [eqn: f(theta)`]는 [eqn: f(theta)= 1 over 2`sin``theta cdot cos``theta`]이다.

[eqn: rm bar AP = 2`cos``theta`]이므로 [eqn: rm bar PQ = 2cos``theta cdot sin``theta`]이고

[eqn: rm bar PR][eqn: rm = bar PQ cdot cos`` LEFT ( pi over 2 - 2theta RIGHT )]
[eqn: =2cos``theta cdot sin``theta cdot sin``2theta]

이다.

따라서 삼각형 [eqn: rm PQR`]의 넓이 [eqn: g(theta)`]는

[eqn: g(theta)][eqn: = 1 over 2 `sin`` LEFT ( pi over 2 - 2theta RIGHT )`rmbar PQ cdot bar PR]
[eqn: =2cos^2`theta cdot sin^2`theta cdot sin``2theta cdot cos``2theta]

[eqn: lim _{ theta->0+} `{ theta^2 f(theta)} over g(theta)][eqn: =lim _{ theta->0+} `{ 1 over 2`theta^2`sin``thetacos``theta} over {2cos^2`theta cdot sin^2`theta cdot sin``2theta cdot cos``2theta}]
[eqn: =lim _{ theta->0+}` 1 over 4 cdot 1 over {cos``theta cdot cos``2theta } cdot theta^2 over {sin``theta cdot sin``2theta}]
[eqn: =lim _{ theta->0+}`1 over 4 cdot {theta over {sin``theta} } cdot 2theta over {sin``2theta} cdot 1 over 2]
[eqn: = 1 over 8]

따라서 [eqn: p^2 +q^2 = 64 + 1=65]

[eqn: angle {rm{PAQ}} it = theta left(0< theta<{ pi} over {4} right)]일 때, 삼각형 [eqn: {rm{AOS}} it]의 넓이를 [eqn: f( theta)], 삼각형 [eqn: {rm{PRQ}} it]의 넓이를 [eqn: g( theta)]라 하자. [eqn: lim _{ theta ``rarrow``0+} { theta^{2} f( theta)} over {g( theta)}={q} over {p}]일 때, [eqn: p^{2}+q^{2}]의 값을 구하시오. (단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.)

[출처]	2011 모의_공공 교육청 고3 04월 12

그림과 같이 중심각의 크기가 [eqn: pi]이고 반지름의 길이가 [eqn: rm 1]인 부채꼴 [eqn: {rm{OAB}} it]에서 호 [eqn: {rm{AB}} it]를 [eqn: n]등분한 각 점(양 끝점도 포함)을 차례로

[정답] ③

[해설]

[eqn: overline{{rm{P}} it _{0} {rm{P}} it _{1}}= overline{{rm{P}} it _{1} {rm{P}} it _{2}}= cdots= overline{{rm{P}} it _{n-1} {rm{P}} it _{n}}=2 sin { pi} over {2 n}]

이므로 각 정삼각형의 넓이는 [eqn: sqrt{3} ` sin ^{2} left({ pi} over {2 n} right)]이다.

따라서 [eqn: lim _{n ``rarrow`` inf } n cdot S(n)][eqn: = lim _{n ``rarrow`` inf } sqrt{3} n^{2} times sin ^{2} left({ pi} over {2 n} right)]
[eqn: ={ sqrt{3}} over {4} pi^{2}]

[eqn: {rm{A}} it ={rm{P}} it _{0}], [eqn: {rm{P}} it _{1}], [eqn: {rm{P}} it _{2}], [eqn: {rm{P}} it _{3}], [eqn: cdots], [eqn: {rm{P}} it _{n-1}], [eqn: {rm{P}} it _{n}={rm{B}} it]

라 하자. [eqn: overline{{rm{P}} it _{0} {rm{P}} it _{1}}], [eqn: overline{{rm{P}} it _{1} {rm{P}} it _{2}}], [eqn: overline{{rm{P}} it _{2} {rm{P}} it _{3}}], [eqn: cdots], [eqn: overline{{rm{P}} it _{n-1} {rm{P}} it _{n}}]을 각각 밑변으로 하는 정삼각형 [eqn: n]개의 넓이의 합을 [eqn: S(n)]이라 할 때, [eqn: lim _{n->inf}n cdot S(n)]의 값은?

① [eqn: { sqrt{2}} over {8} pi^{2}]	② [eqn: { sqrt{6}} over {8} pi^{2}]	③ [eqn: { sqrt{3}} over {4} pi^{2}]

④ [eqn: { sqrt{5}} over {4} pi^{2}]	⑤ [eqn: { sqrt{7}} over {4} pi^{2}]

[출처]	2011 모의_공공 교육청 고3 07월 18

그림과 같이 반지름의 길이가 [eqn: rm 1]인 원 위에 한 점 [eqn: {rm{A}} it]가 있다. [eqn: overline{{rm{AP}} it }= overline{{rm{AQ}} it }= overline{{rm{AR}} it }]이 되는 원 위의 두 점을 [eqn: {rm{P}} it], [eqn: {rm{Q}} it], 지름 [eqn: {rm{AB}} it] 위의 점을 [eqn: {rm{R}} it]라 하자. [eqn: angle {rm{PAQ}} it = theta]에 대하여 사각형 [eqn: {rm{APRQ}} it]의 넓이를 [eqn: S( theta)]라 할 때, [eqn: lim _{ theta ``rarrow`` 0} {S( theta)} over { tan theta}]의 값은?

[정답] ②

[해설]

[eqn: bar{rm AP it} =2`cos` {theta } over {2}][eqn: THEREFORE ````S( theta )=4`cos ^{2} ` {theta } over {2} TIMES sin {theta } over {2}]

따라서 [eqn: lim _{ theta ``rarrow`` 0} {S( theta)} over { tan theta}=2]

① [eqn: rm 1]	② [eqn: rm 2]	③ [eqn: rm 3]

④ [eqn: rm 4]	⑤ [eqn: rm 5]

[출처]	2012 모의_공공 교육청 고3 10월 20

그림과 같이 길이가 [eqn: 2`]인 선분 [eqn: rm AB`]를 지름으로 하는 반원 위의 점 [eqn: rm C`]를 [eqn: arch {rmAC }= arch {rmBC }`]가 되도록 잡는다. 호 [eqn: rm BC] 위를 움직이는 점 [eqn: rm P`]에 대하여 선분 [eqn: rm AP`]와 선분 [eqn: rm BC`]가 만나는 점을 [eqn: rm`Q`]라 하고, [eqn: angle rm PAB = theta`]라 하자. 삼각형 [eqn: rm B P Q`]의 넓이를 [eqn: S`(theta)`]라 할 때, [eqn: lim _{theta -> 0+} {} {S`( theta )} over {theta ^{`2}}`]의 값은? [eqn: pile{`#`}right(]단, [eqn: 0 < theta < {pi } over {4}`right)]

[정답] ④

[해설]

[eqn: overline{{rm{AB}} it }=2]이고 [eqn: angle {rm{APB}} it ={ pi} over {2}]이므로 [eqn: overline{{rm{PB}} it }=2 sin theta]

[eqn: angle {rm{QBP}} it ={ pi} over {2}- angle {rm{PQB}} it ={ pi} over {2}- theta-{ pi} over {4}={ pi} over {4}- theta]

[eqn: therefore~ overline{{rm{PQ}} it }= overline{{rm{PB}} it } cdot tan left({ pi} over {4}- theta right)=2 sin theta cdot tan left({ pi} over {4}- theta right)]

[eqn: S( theta)={1} over {2} cdot 2 sin theta cdot 2 sin theta cdot tan left({ pi} over {4}- theta right)=2 sin ^{2} theta tan left({ pi} over {4}- theta right)]

[eqn: lim _{theta `` rarrow ``0+} {} {S( theta )} over {theta ^{2}} = lim _{theta `` rarrow ``0+} {} {2sin ^{2} theta `tan LEFT ( {pi } over {4} - theta RIGHT )} over {theta ^{2}} = lim _{theta `` rarrow ``0+} {} 2tan LEFT ( {pi } over {4} - theta RIGHT ) =2]

① [eqn: root2 over 2]	② [eqn: 1]	③ [eqn: root2]

④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 2 sqrt {2}]

[출처]	2013 모의_공공 교육청 고3 04월 25

그림과 같이 좌표평면에서 점 [eqn: {rm{P}} it]가 원점 [eqn: {rm{O}} it]를 출발하여 [eqn: x]축을 따라 양의 방향으로 이동할 때, 점 [eqn: {rm{Q}} it]는 점 [eqn: (0,``30)]을 출발하여 [eqn: overline{{rm{PQ}} it }=30]을 만족시키며 [eqn: y]축을 따라 음의 방향으로 이동한다. [eqn: angle {rm{OPQ}} it = theta left(0< theta<{ pi} over {2} right)]일 때, 삼각형 [eqn: {rm{OPQ}} it]의 내접원의 반지름의 길이를 [eqn: r( theta )]라 하자.이때, [eqn: lim _{theta `` rarrow ``0+} {} {r( theta )} over {theta }]의 값을 구하시오.

[정답] [eqn: 15]

[해설]

[eqn: {1} over {2} times 30 sin theta times 30 cos theta]

[eqn: ~ ={1} over {2} times(30+30 sin theta+30 cos theta) times r( theta)]

[eqn: r( theta)={30 sin theta cos theta} over { sin theta+ cos theta+1}]

[eqn: THEREFORE ~~ lim _{theta `` rarrow ``0+} {} {r( theta )} over {theta }]

[eqn: ~= lim _{theta `` rarrow ``0+} {} LEFT ( {30cos theta } over {sin theta +cos theta +1} TIMES {sin theta } over {theta } RIGHT ) =15]

[출처]	2013 모의_공공 사관학교 고3 07월 27

그림과 같이 길이가 [eqn: rm 2]인 선분 [eqn: {rm{AB}} it]를 지름으로 하는 반원 위를 움직이는 점 [eqn: {rm{C}} it]가 있다. 호 [eqn: {rm{BC}} it]의 길이를 이등분하는 점을 [eqn: {rm{M}} it]이라 하고, 두 점 [eqn: {rm{C}} it], [eqn: {rm{M}} it]에서 선분 [eqn: {rm{AB}} it]에 내린 수선의 발을 각각 [eqn: {rm{D}} it], [eqn: {rm{N}} it]이라 하자. [eqn: angle {rm{CAB}} it = theta]라 할 때, 사각형 [eqn: {rm{CDNM}} it]의 넓이를 [eqn: S( theta)]라 하자. [eqn: lim _{theta `` rarrow ``0+} {} {S( theta )} over {theta ^{3}} =a]일 때, [eqn: 16 a]의 값을 구하시오. (단, 점 [eqn: {rm{C}} it]는 선분 [eqn: {rm{AB}} it]의 양 끝점이 아니다.)

[정답] [eqn: 36]

[해설]

반원의 중심을 [eqn: {rm{O}} it]라 하면

[eqn: angle {rm{COD}} it =2 theta], [eqn: angle {rm{MON}} it = theta]이고

반지름의 길이가 [eqn: rm 1]이므로

[eqn: overline{{rm{CD}} it }= sin 2 theta], [eqn: overline{{rm{MN}} it }= sin theta]

[eqn: overline{{rm{DN}} it }= overline{{rm{ON}} it }- overline{{rm{OD}} it }= cos theta- cos 2 theta]

[eqn: therefore~S( theta)={1} over {2}( overline{{rm{CD}} it }+ overline{{rm{MN}} it }) overline{{rm{DN}} it }]

[eqn: ={1} over {2}( sin 2 theta+ sin theta)( cos theta- cos 2 theta)]

[eqn: ={( sin 2 theta+ sin theta) left( cos ^{2} theta- cos ^{2} 2 theta right)} over {2( cos theta+ cos 2 theta)}]

[eqn: ={( sin 2 theta+ sin theta) left( sin ^{2} 2 theta- sin ^{2} theta right)} over {2( cos theta+ cos 2 theta)}]

[eqn: therefore~ lim _{ theta ``rarrow``+0} {S( theta)} over { theta^{3}}]

[eqn: = lim _{ theta ``rarrow``+0} left({ sin 2 theta} over {2 theta} cdot 2+{ sin theta} over { theta} right) left{ left({ sin 2 theta} over {2 theta} right)^{2} cdot 4- left({ sin theta} over { theta} right)^{2} it right}]

[eqn: cdot {1} over {2( cos theta+ cos 2 theta)}]

[eqn: =(1 cdot 2+1) left(1^{2} cdot 4-1^{2} right) cdot {1} over {2(1+1)}={9} over {4}]

[eqn: therefore~a={9} over {4}]

[eqn: therefore~16 a=36]

[출처]	2013 모의_공공 교육청 고2 11월 28

그림과 같이 중심이 [eqn: {rm{O}} it]이고 길이가 [eqn: rm 8]인 선분 [eqn: {rm{AB}} it]를 지름으로 하는 반원 위에 점 [eqn: {rm{P}} it]가 있다. 점 [eqn: {rm{A}} it]를 지나고 직선 [eqn: {rm{OP}} it]에 수직인 직선이 반원과 만나는 점을 [eqn: {rm{Q}} it]라 하자.

[정답] [eqn: 32]

[해설]

삼각형 [eqn: rmOPA]가 [eqn: rm barOA = barOP]인 이등변삼각형이므로

[eqn: rm anglePAO = angleAPO = theta], [eqn: rm angleAOP = pi - 2 theta]

삼각형 [eqn: rmAOQ]에서 [eqn: rm angleAOQ =2 angleAOP]이므로

[eqn: rm angleAOQ = 2 pi - 4 theta]이고 [eqn: rm barOA = barOQ = 4]

[eqn: therefore``S(theta) = 1 over2 times 4^2 times sin (2pi - 4 theta )]

[eqn: = 8 sin (2pi - 4 theta)]

[eqn: theta - piover4 =t]라 하면, [eqn: theta rarrow {pi } over {4} +]일 떄, [eqn: t rarrow +]이므로

[eqn: lim _{theta rarrow {pi } over {4} +} {} {S( theta )} over {theta - {pi } over {4}} = lim _{theta rarrow {pi } over {4} +} {} {8sin(2 pi -4 theta )} over {theta - {pi } over {4}}]

[eqn: = lim _{t rarrow 0+} {} {8sin( pi -4t)} over {t}]

[eqn: = lim_t->0+ {8sin`4t} overt =32]

따라서 [eqn: lim _{theta rarrow {pi } over {4} +} {{S LEFT ( theta RIGHT )} over {theta - {pi } over {4}} =32}]

[eqn: angle {rm{PAO}} it = theta left({ pi} over {4}< theta<{ pi} over {2} right)]일 때, 삼각형 [eqn: {rm{AOQ}} it]의 넓이를

[eqn: S( theta)]라 하자. [eqn: lim _{theta `` rarrow `` {pi } over {4} +} {} {S( theta )} over {theta - {pi } over {4}}]의 값을 구하시오.

[출처]	2013 모의_공공 평가원 고3 예비 29

한 변의 길이가 [eqn: rm 1]인 정사각형 [eqn: {rm{ABCD}} it]의 변 [eqn: {rm{AB}} it] 위의 점 [eqn: {rm{P}} it]에 대하여 [eqn: angle {rm{BCP}} it = theta]라 하고, 변 [eqn: {rm{AD}} it] 위의 점 [eqn: {rm{Q}} it]를 [eqn: angle {rm{PCQ}} it ={ pi} over {4}]가 되도록 잡는다. 삼각형 [eqn: {rm{APQ}} it]의 넓이를 [eqn: f( theta)], 삼각형 [eqn: {rm{BCP}} it]의 내접원의 넓이를 [eqn: g( theta)]라 할 때,

[정답] [eqn: 41]

[해설]

[eqn: rm △ BCP]에서 [eqn: rm bar PB =tan theta], [eqn: rm bar PC = 1 over {cos theta}]

[eqn: rm △ BCP]의 내접원의 반지름의 길이를 [eqn: r]라 하고, 삼각형의 넓이를 이용하면

[eqn: {1} over {2} `․`1`․`tan theta = {1} over {2} r LEFT ( 1+tan theta + {1} over {cos theta } RIGHT )]

[eqn: r= {tan theta} over {1+tan theta+ 1 over {cos theta}} = {sin theta} over {cos theta + sin theta +1}]

∴ [eqn: g(theta) ={pi sin^2 theta} over {(cos theta +sin theta+1)^2}]

[eqn: rm △CDQ]에서 [eqn: rm bar QD = tan left( pi over 4 - theta right) = {1-tan theta} over {1+tan theta}]

∴ [eqn: rm bar AQ =1- {1-tan theta} over {1+tan theta}]

또한, [eqn: rm bar PB =tantheta]이므로 [eqn: rm bar AP = 1-tan theta]

∴ [eqn: f(theta)= 1 over 2 (1-tan theta) left(1- {1-tan theta} over {1+tan theta} right)]

[eqn: = {1} over {2} (1-tan theta ) CDOT {2tan theta } over {1+tan theta }]

[eqn: = {tan theta(1-tan theta)} over {1+tan theta}]

∴ [eqn: lim _{theta rarrow +} {} {g( theta )} over {theta TIMES f( theta )}]

[eqn: = lim _{theta rarrow +} {} {pi `sin ^{2} theta } over {(cos theta +sin theta +1) ^{2}} ․ {1+tan theta } over {theta `tan theta (1-tan theta )}]

[eqn: = lim _{theta rarrow +} {} {sin ^{2} theta } over {theta ^{2}} `․` {theta } over {tan theta } `․` {1+tan theta } over {1-tan theta } TIMES][eqn: {pi } over {(cos theta +sin theta +1) ^{2}}]

[eqn: =1`․`1`․`1`․` {pi } over {4} = {1} over {4} pi]

∴ [eqn: p=4], [eqn: q=1]

∴ [eqn: 10p+q=41]

[eqn: lim _{theta `` rarrow ``0+} {} {g( theta )} over {theta TIMES f( theta )} = {q} over {p} pi]

이다. [eqn: 10 p+q]의 값을 구하시오. (단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.)

[출처]	2014 모의_공공 교육청 고2 11월 30

그림과 같이 [eqn: overline{{rm{AB}} it }=4], [eqn: overline{{rm{AD}} it }=3]인 직사각형 [eqn: {rm{ABCD}} it]에서 선분 [eqn: {rm{BD}} it] 위의 점 [eqn: {rm{P}} it]에 대하여 [eqn: angle {rm{PAB}} it = theta left(0< theta<{ pi} over {6} right)]라 하자.

[정답] [eqn: 200]

[해설]

[eqn: angle {rm{CBD}} it = alpha]라 하면

[eqn: cos alpha={3} over {5}=1-2 sin ^{2} { alpha} over {2}]이므로

[eqn: sin { alpha} over {2}={ sqrt{5}} over {5}]

[eqn: overline{{rm{BP}} it }=a]라 하면 [eqn: sin { alpha} over {2}={r( theta)} over {a-r( theta)}={ sqrt{5}} over {5}]이므로

[eqn: r( theta)={a} over {1+ sqrt{5}}]

삼각형 [eqn: rm PAB]에서 사인법칙에 의해

[eqn: {a} over { sin theta}= {4 } over { sin left({ pi} over {2}- theta+ alpha right)}]이므로

[eqn: a={4 sin theta} over { cos ( theta- alpha)}]

[eqn: therefore~r( theta)={4 sin theta} over {(1+ sqrt{5}) cos ( theta- alpha)}]

[eqn: lim _{theta `` rarrow ``0+} {} {r( theta )} over {theta }]

[eqn: = lim _{theta `` rarrow ``0+} {} {4} over {1+ sqrt {5}} TIMES {sin theta } over {theta } TIMES {1} over {cos( theta - alpha )}]

[eqn: ={5} over {3}( sqrt{5}-1) left( because cos alpha={3} over {5} right)]

[eqn: therefore~p=-{5} over {3}], [eqn: q={5} over {3}]

따라서 [eqn: 36 left(p^{2}+q^{2} right)=200]

점 [eqn: {rm{B}} it]를 중심으로 하고 선분 [eqn: {rm{BP}} it]를 반지름으로 하는 원과 변 [eqn: {rm{BC}} it]가 만나는 점을 [eqn: {rm{Q}} it]라 하자. 부채꼴 [eqn: {rm{BPQ}} it]에 내접하는 원의 반지름의 길이를 [eqn: r( theta)]라 할 때, [eqn: lim _{theta `` rarrow ``0+} {} {r( theta )} over {theta } =p+q sqrt {5}]이다. [eqn: 36 left(p^{2}+q^{2} right)]의 값을 구하시오. (단, [eqn: p], [eqn: q]는 유리수이다.)

[출처]	2014 모의_공공 교육청 고3 07월

[eqn: overline{{rm{AB}} it }=8], [eqn: overline{{rm{AC}} it }= overline{{rm{BC}} it }], [eqn: angle {rm{ABC}} it = theta]인 이등변삼각형 [eqn: {rm{ABC}} it]가 있다. 그림과 같이 선분 [eqn: {rm{BC}} it]의 연장선 위에 [eqn: overline{{rm{AC}} it }= overline{{rm{AD}} it }]인 점 [eqn: {rm{D}} it]를 잡는다. 삼각형 [eqn: {rm{ABC}} it]에 내접하는 원의 반지름의 길이를 [eqn: r_{1}], 삼각형 [eqn: {rm{ACD}} it]에 내접하는 원의 반지름의 길이를 [eqn: r_{2}]라 할 때, [eqn: lim _{theta `` rarrow ``0+} {} {r _{1} r _{2}} over {theta ^{2}}]의 값은?

[정답] ③

[해설]

삼각형 [eqn: {rm{ABC}} it]에 내접하는 원의 반지름의 길이를 [eqn: r_{1}], 삼각형 [eqn: {rm{ACD}} it]에 내접하는 원의 반지름의 길이를 [eqn: r_{2}]라 하자.

삼각형 [eqn: {rm{BO}} it _{1} {rm{M}} it]에서 [eqn: r_{1}=4 tan { theta} over {2}]

삼각형 [eqn: {rm{BCM}} it]에서 [eqn: overline{{rm{BC}} it }={4} over { cos theta}= overline{{rm{AC}} it }]

삼각형 [eqn: {rm{ACN}} it]에서 [eqn: overline{{rm{CN}} it }={4} over { cos theta} times cos 2 theta]

삼각형 [eqn: {rm{CNO}} it _{2}]에서

[eqn: r_{2}= overline{{rm{CN}} it } tan theta={4 tan theta cos 2 theta} over { cos theta}]

따라서

[eqn: lim _{theta `` rarrow ``0+} {} {r _{1} r _{2}} over {theta ^{2}} = lim _{theta `` rarrow ``0+} {} {16tan {theta } over {2} tan theta cos2 theta } over {theta ^{2} cos theta } =8]

① [eqn: rm 6]	② [eqn: rm 7]	③ [eqn: rm 8]

④ [eqn: rm 9]	⑤ [eqn: rm 10]

[출처]	2014 모의_공공 교육청 고3 03월 19

그림과 같이 반지름의 길이가 [eqn: rm 1]이고 중심각의 크기가 [eqn: { pi} over {2}]인 부채꼴 [eqn: {rm{OAB}} it]와 선분 [eqn: {rm{OA}} it]를 지름으로 하는 반원이 있다. 호 [eqn: {rm{AB}} it] 위의 점 [eqn: {rm{P}} it]에 대하여 점 [eqn: {rm{P}} it]에서 선분 [eqn: {rm{OA}} it]에 내린 수선의 발을 [eqn: {rm{Q}} it], 선분 [eqn: {rm{OP}} it]와 반원의 교점 중 [eqn: {rm{O}} it]가 아닌 점을 [eqn: {rm{R}} it]라 하고, [eqn: angle {rm{POA}} it = theta]라 하자. 삼각형 [eqn: {rm{PRQ}} it]의 넓이를 [eqn: S( theta)]라 할 때, [eqn: lim _{theta `` rarrow ``0+} {} {S( theta )} over {theta ^{3}}]의 값은?

[정답] ②

[해설]

[eqn: overline{{rm{PR}} it }= overline{{rm{OP}} it }- overline{{rm{OR}} it }=1- cos theta]

[eqn: overline{{rm{PQ}} it }= sin theta]

[eqn: angle {rm{QPR}} it ={ pi} over {2}- theta]이므로

[eqn: S( theta)={1} over {2} times(1- cos theta) times sin theta times sin left({ pi} over {2}- theta right)]

[eqn: ={(1- cos theta) sin theta cos theta} over {2}]

[eqn: THEREFORE ~ lim _{theta `` rarrow ``0+} {} {S( theta )} over {theta ^{3}} = lim _{theta `` rarrow ``0+} {} {(1-cos theta )sin theta cos theta } over {2 theta ^{3}}]

[eqn: = lim _{theta `` rarrow ``0+} {} {sin ^{3} theta `cos theta } over {2 theta ^{3} (1+cos theta )} = {1} over {4}]

[다른 풀이]

[eqn: (]삼각형 [eqn: {rm{PRQ}} it]의 넓이)

[eqn: =(]삼각형 [eqn: {rm{POQ}} it]의 넓이)-(삼각형 [eqn: {rm{ROQ}} it]의 넓이)

이므로

[eqn: S( theta)={1} over {2} sin theta cos theta-{1} over {2} cos 2 sin theta]

[eqn: ={1} over {2} sin theta cos theta(1- cos theta)]

[eqn: THEREFORE ~ lim _{theta `` rarrow ``0+} {} {S( theta )} over {theta ^{3}} = lim _{theta `` rarrow ``0+} {} {(1-cos theta )sin theta cos theta } over {2 theta ^{3}}]

[eqn: = lim _{ theta ``rarrow``+0} { sin 3 theta^{3}(1+ cos theta} over {2}={1} over {4}]

① [eqn: {1} over {8}]	② [eqn: {1} over {4}]	③ [eqn: {3} over {8}]

④ [eqn: {1} over {2}]	⑤ [eqn: {5} over {8}]

[출처]	2014 모의_공공 평가원 고3 11월 20

그림과 같이 반지름의 길이가 [eqn: rm 1]인 원에 외접하고 [eqn: angle {rm{CAB}} it = angle {rm{BCA}} it = theta]인 이등변삼각형 [eqn: {rm{ABC}} it]가 있다.

[정답] ④

[해설]

내접원과 선분 [eqn: rm AC `]의 접점을 [eqn: rm M `]이라 하면

[eqn: rm barAM `= 1over{ tan `theta over2 }]

이므로

[eqn: rm barAB `= barBC `= barAM over{cos`theta} `= 1over {cos`theta`tan` theta over2 }]

또한, 선분 [eqn: rmAD `]의 연장선에 점 [eqn: rm C `]에서 내린 수선의 발을 [eqn: rm H `]라 하면

[eqn: rm barCH `= barBC` times sin`2 theta `= {sin`2 theta} over{ cos `theta`tan`theta over2}]

[eqn: rm therefore~barCD `={ bar{rmCH}} over{sin`3 theta} `={sin`2 theta} over{ sin`3 theta `cos`theta `tan`theta over2}]

[eqn: therefore~][eqn: S(theta)][eqn: rm = 1over2 times barBC `times barCD `sin`theta]
[eqn: = 1over2 times 1over{ cos`theta`tan `theta over2} times {sin`2 theta} over{ sin`3theta `cos`theta`tan`theta over2} times sin`theta]
[eqn: ={sin`^2 theta} over{ tan`^2`theta over2 `sin`3 theta `cos`theta}]

[eqn: therefore~][eqn: lim_{theta`->`+0}{`left{ theta times S(theta) right}}]
[eqn: =lim_{theta`->`+0}{`left{left({{sin`theta} overtheta right)^2 times left( {theta over2} over{tan` theta over2} right)^2 times 3theta over{sin`3theta}]
[eqn: times 1over{cos`theta} times 4over3 right}]
[eqn: =1^2 times 1^2 times 1 times 1 times 4over3 = 4over3]

[다른 풀이]

내접원과 선분 [eqn: rm AB `]의 접점을 [eqn: rm E `]라 하면

[eqn: rm barAE `= 1over{tan`theta over2}]

[eqn: rm barBE `= 1over{tan`left( piover2 - theta right)} = tan `theta]

[eqn: rm therefore~ barAB `= barBC `= 1over{ tan ` theta over2 } + tan`theta]

또한,

[eqn: rm barAC ``:``barCD `][eqn: rm =barAB ``:``barBD]
[eqn: rm =barBC ``:``barBD]

이므로

[eqn: rm barBC `times barCD `= barAC `times barBD]

이때,

[eqn: rm barAC `=2`barAE `= 2over{ tan `theta over2 }]

이고 삼각형 [eqn: rmBCD `]에서 사인법칙에 의하여

[eqn: {rmbarBD} over{sin`theta} = {rmbarBC} over{ sin`(pi- 3 theta )} = { 1over{tan `theta over2 } + tan`theta} over{sin`3 theta}]

[eqn: therefore~bar{rmBD } `= sin`theta`left( {1over{tan `theta over2 } + tan`theta} over{sin`3 theta} right)]

[eqn: therefore~][eqn: S(theta)][eqn: rm = 1over2 barBC `times barCD `sin`theta]
[eqn: rm = 1over2 barAC `times barBD `sin`theta]
[eqn: = 1over2 times 2 over{tan `theta over2} times {1over{tan `theta over2 } + tan`theta} over{sin`3 theta} times sin`^2 `theta]
[eqn: = {cos`theta over2} over{ sin`theta over2} times {1over{tan `theta over2 } + tan`theta} over{sin`3 theta} times sin`^2 theta]
[eqn: = {cos`theta over2} over{ sin`theta over2} left( {cos`theta over2} over{ sin`theta over2} + {sin`theta} over{cos`theta} right) times {sin`^2 theta }over{sin`3 theta}]

[eqn: therefore~][eqn: lim_{theta`->`0+}{`left{theta times S(theta) right}}]
[eqn: = lim_{theta`->`0+} {` left{ 2 times {theta over2} over{sin`theta over2} times cos` theta over2 times left( 2 times {theta over2} over{sin`theta over2}]
[eqn: times {sin`theta} over theta times cos` theta over2 + {sin`^2 theta} over{cos `theta} right) right}]
[eqn: times {sin`theta}over theta times 3theta over{sin`3theta} times 1over3]
[eqn: = 2 times 1 times 1 times (2 times 1 times 1times 1+0) times 1 times1 times 1over3]
[eqn: = 4over3]

선분 [eqn: {rm{AB}} it]의 연장선 위에 점 [eqn: {rm{A}} it]가 아닌 점 [eqn: {rm{D}} it]를 [eqn: angle {rm{DCB}} it = theta]가 되도록 잡는다. 삼각형 [eqn: {rm{BDC}} it]의 넓이를 [eqn: S( theta)]라 할 때, [eqn: lim _{ theta ``rarrow``0+} left{ theta times S( theta) it right}]의 값은? [eqn: pile{`#`}right(]단, [eqn: 0< theta<{ pi} over {4}right)]

① [eqn: {2} over {3}]	② [eqn: {8} over {9}]	③ [eqn: {10} over {9}]

④ [eqn: {4} over {3}]	⑤ [eqn: {14} over {9}]

[출처]	2015 모의_공공 교육청 고3 10월 12

그림과 같이 길이가 [eqn: rm 2]인 선분 [eqn: {rm{AB}} it]를 지름으로 하는 반원 위의 점 [eqn: {rm{P}} it]에 대하여 [eqn: angle {rm{PAB}} it = theta]라 하자. 선분 [eqn: {rm{OB}} it] 위의 점 [eqn: {rm{C}} it]가 [eqn: angle {rm{APO}} it = angle {rm{OPC}} it]를 만족시킬 때, [eqn: lim _{theta `` rarrow ``0+} {} {bar{rm OC it}}]의 값은?

[정답] ④

[해설]

삼각형 [eqn: {rm{POC}} it]에서 사인법칙을 적용하면

[eqn: overline{{rm{OC}} it }={ sin theta} over { sin ( pi-3 theta)}={ sin theta} over { sin 3 theta}]이므로

[eqn: lim _{theta `` rarrow ``0+} {} {bar{rm OC it}} = lim _{theta `` rarrow ``0+} {} {sin theta } over {sin3 theta }]

[eqn: = lim _{theta `` rarrow ``0+} {} LEFT ( {sin theta } over {theta } TIMES {3 theta } over {sin3 theta } TIMES {1} over {3} RIGHT ) = {1} over {3}]

(단, [eqn: 0< theta<{ pi} over {4}]이고, 점 [eqn: {rm{O}} it]는 선분 [eqn: {rm{AB}} it]의 중점이다.)

① [eqn: {1} over {12}]	② [eqn: {1} over {6}]	③ [eqn: {1} over {4}]

④ [eqn: {1} over {3}]	⑤ [eqn: {5} over {12}]

[출처]	2015 모의_공공 교육청 고2 11월 29

그림과 같이 선분 [eqn: {rm{AC}} it]의 길이가 [eqn: rm 2]이고 [eqn: ANGLE rm A it =90 DEG]인 직각삼각형 [eqn: {rm{ABC}} it]에 대하여 점 [eqn: {rm{A}} it]에서 선분 [eqn: {rm{BC}} it]에 내린 수선의 발을 [eqn: {rm{D}} it]라 하고 [eqn: angle {rm{ACD}} it = theta]라 하자.

[정답] [eqn: 15]

[해설]

그림과 같이 삼각형 [eqn: {rm{ABD}} it]의 내부의 반원의 중심을 [eqn: {rm{O}} it _{1}], 반지름의 길이를 [eqn: r]라 하고, 삼각형 [eqn: {rm{ADC}} it]의 내부의 반원의 중심을 [eqn: {rm{O}} it _{2}], 반지름의 길이를 [eqn: R]라 하자.

두 반원이 두 선분 [eqn: {rm{AB}} it], [eqn: {rm{AC}} it]와 접하는 점을 각각 [eqn: {rm{H}} it _{1}], [eqn: {rm{H}} it _{2}]라 하자.

삼각형 [eqn: {rm{ADC}} it]에서

[eqn: overline{{rm{AH}} it _{2}}= overline{{rm{AD}} it }=2 sin theta], [eqn: overline{{rm{CH}} it _{2}}=2(1- sin theta)]이므로

[eqn: R=2 tan theta(1- sin theta)]

[eqn: therefore~T( theta)=2 pi(1- sin theta)^{2} tan ^{2} theta]

삼각형 [eqn: {rm{ABD}} it]에서

[eqn: overline{{rm{AH}} it _{1}}= overline{{rm{AD}} it }=2 sin theta], [eqn: overline{{rm{AB}} it }=2 tan theta],

[eqn: overline{{rm{BH}} it _{1}}=2( tan theta- sin theta)]

[eqn: angle {rm{BO}} it _{1} {rm{H}} it _{1}= theta]이므로

[eqn: r={2( tan theta- sin theta)} over { tan theta}=2(1- cos theta)]

[eqn: therefore~S( theta)=2 pi(1- cos theta)^{2}]

[eqn: lim _{ theta ``rarrow`` 0+} {S( theta)} over { theta^{2} times T( theta)}]

[eqn: = lim _{ theta ``rarrow`` 0+} {2 pi(1- cos theta)^{2}} over { theta^{2} times 2 pi left(1- sin ^{2} right)^{2} tan theta}]

[eqn: = lim _{ theta ``rarrow`` 0+} {(1- cos theta)^{2}(1+ cos theta)^{2}} over { theta^{2}(1- sin theta)^{2} tan ^{2} theta(1+ cos theta)^{2}}]

[eqn: = lim _{ theta ``rarrow`` 0+} left{ { sin 4} over { theta^{4}} times { theta^{2}} over { tan ^{2} theta} times {1} over {(1- sin theta)^{2}(1+ cos theta)^{2}} it right}]

[eqn: =1 times 1 times {1} over {4}={1} over {4}]

따라서 [eqn: 60 alpha=15]

삼각형 [eqn: {rm{ABD}} it]에서 변 [eqn: {rm{BD}} it] 위에 지름이 놓여 있고 변 [eqn: {rm{AB}} it]에 접하면서 점 [eqn: {rm{D}} it]를 지나는 반원의 넓이를 [eqn: S( theta)], 삼각형 [eqn: {rm{ADC}} it]에서 변 [eqn: {rm{DC}} it] 위에 지름이 놓여 있고 변 [eqn: {rm{AC}} it]에 접하면서 점 [eqn: {rm{D}} it]를 지나는 반원의 넓이를 [eqn: T( theta)]라 하자. [eqn: lim _{ theta ``rarrow`` 0+} {S( theta)} over { theta^{2} times T( theta)}= alpha]일 때, [eqn: 60 alpha]의 값을 구하시오. (단, 두 반원의 호는 점 [eqn: {rm{D}} it]에서 만난다.)

[출처]	2015 모의_공공 교육청 고3 07월 29

그림과 같이 길이가 [eqn: rm 12]인 선분 [eqn: {rm{AB}} it]를 지름으로 하는 반원의 호 [eqn: {rm{AB}} it] 위에 [eqn: angle {rm{PAB}} it = theta left(0< theta<{ pi} over {6} right)]인 점 [eqn: {rm{P}} it]가 있다. [eqn: angle {rm{APQ}} it =3 theta]가 되도록 선분 [eqn: {rm{AB}} it] 위의 점 [eqn: {rm{Q}} it]를 잡을 때, 두 선분 [eqn: {rm{PQ}} it], [eqn: {rm{QB}} it]와 호 [eqn: {rm{BP}} it]로 둘러싸인 부분의 넓이를 [eqn: S( theta)]라 하자. [eqn: lim _{theta `` rarrow ``0+} {} {S( theta )} over {theta }]의 값을 구하시오.

[정답] [eqn: 18]

[해설]

반원의 중심을 [eqn: O]라 하자.

[eqn: overline{{rm{OP}} it }=6], [eqn: angle {rm{OAP}} it = angle {rm{OPA}} it = theta]

[eqn: angle {rm{POQ}} it = angle {rm{OPQ}} it =2 theta], [eqn: angle {rm{OQP}} it = pi-4 theta]

삼각형 [eqn: rm OQP it]에서 [eqn: { overline{{rm{PQ}} it }} over { sin 2 theta}={6} over { sin ( pi-4 theta)}]

[eqn: overline{{rm{PQ}} it }={6 sin 2 theta} over { sin 4 theta}={6 sin 2 theta} over {2 sin 2 theta cos 2 theta}={3} over { cos 2 theta}]

삼각형 [eqn: {rm{OQP}} it]의 넓이는

[eqn: {1} over {2} times 6 times {3} over { cos 2 theta} times sin 2 theta={9 sin 2 theta} over { cos 2 theta}]

[eqn: S( theta)=(]부채꼴 [eqn: {rm{OBP}} it]의 넓이)

[eqn: -](삼각형 [eqn: rm OQP]의 넓이)

[eqn: ={1} over {2} times 6^{2} times 2 theta-{9 sin 2 theta} over { cos 2 theta}]

[eqn: =36 theta-{9 sin 2 theta} over { cos 2 theta}]

따라서 [eqn: lim _{theta `` rarrow ``0+} {} {S( theta )} over {theta } = lim _{theta `` rarrow ``0+} {} {36 theta - {9sin2 theta } over {cos2 theta }} over {theta } =18]

[출처]	2016 모의_공공 교육청 고3 10월 28

그림과 같이 [eqn: overline{{rm{BC}} it }=1], [eqn: angle {rm{A}} it ={ pi} over {2}], [eqn: angle {rm{B}} it = theta left(0< theta<{ pi} over {2} right)]인 삼각형 [eqn: {rm{ABC}} it]가 있다. 선분 [eqn: {rm{AC}} it] 위의 점 [eqn: {rm{D}} it]에 대하여 선분 [eqn: {rm{AD}} it]를 지름으로 하는 원이 선분 [eqn: {rm{BC}} it]와 접할 때, [eqn: lim _{ theta ``rarrow`` 0+} {{rm{CD}} it } over { theta^{3}}=k]라 하자. [eqn: 100 k]의 값을 구하시오.

[정답] [eqn: 25]

[해설]

선분 [eqn: {rm{AD}} it]의 중점 [eqn: {rm{O}} it]는 원의 중심이고, 점 [eqn: {rm{O}} it]에서 선분 [eqn: {rm{BC}} it]에 내린 수선의 발을 [eqn: {rm{H}} it]라 하면

[eqn: overline{{rm{AB}} it }= overline{{rm{BH}} it }= cos theta]이므로 [eqn: overline{{rm{CH}} it }=1- cos theta]

[eqn: overline{{rm{CA}} it }= sin theta]이고 [eqn: overline{{rm{CH}} it }^{2}= overline{{rm{CA}} it } times overline{{rm{CD}} it }]이므로

[eqn: (1- cos theta)^{2}= sin theta times overline{{rm{CD}} it }], [eqn: overline{{rm{CD}} it }={(1- cos theta)^{2}} over { sin theta}]

[eqn: lim _{ theta ``rarrow`` 0+} { overline{rm C D it }} over { theta^{3}}= lim _{ theta ``rarrow`` 0+} {{(1- cos theta)^{2}} over { sin theta}} over { theta^{3}}]

[eqn: = lim _{ theta ``rarrow`` 0+} {(1- cos theta)^{2}(1+ cos theta)^{2}} over { theta^{3} sin theta(1+ cos theta)^{2}}]

[eqn: = lim _{ theta ``rarrow`` 0+} { left(1- cos ^{2} theta right)^{2}} over { theta^{3} sin theta(1+ cos theta)^{2}}]

[eqn: = lim _{ theta ``rarrow`` 0+} left({ sin ^{3} theta} over { theta^{3}} times {1} over {(1+ cos theta)^{2}} right)={1} over {4}]

따라서 [eqn: k={1} over {4}]이므로 [eqn: 100 k=25]

[출처]	2016 모의_공공 평가원 고3 11월 14

그림과 같이 반지름의 길이가 [eqn: 1]이고 중심각의 크기가 [eqn: {pi } over {2}]인 부채꼴 [eqn: rm OAB]가 있다. 호 [eqn: rm AB] 위의 점 [eqn: rm P]에서 선분 [eqn: rm OA]에 내린 수선의 발을 [eqn: rm H], 선분 [eqn: rm PH]와 선분 [eqn: rm AB]의 교점을 [eqn: rm Q]라 하자. [eqn: rm ANGLE POH= theta `]일 때, 삼각형 [eqn: rm AQH`]의 넓이를 [eqn: rm S LEFT ( theta RIGHT )]라 하자. [eqn: lim _{theta ``->`` 0+} {{S LEFT ( theta RIGHT )} over {theta ^{4}}}]의 값은? [eqn: left( lpile{ `# `}]단, [eqn: 0< theta < {pi } over {2}][eqn: left) lpile{ ` # ` }]

[정답] ①

[해설]

[eqn: bar{rmOP}=bar{rmOA}=1]이므로

[eqn: bar{rmOH}=cos theta], [eqn: bar{rmAH}=1-bar{rmOH}=1-costheta]

[eqn: angle{rmHAQ}={pi}over{4}]이므로 삼각형 [eqn: rmAQH]는 직각이등변삼각형이다.

즉, [eqn: bar{rmQH}=bar{rmAH}=1-cos theta]이므로

[eqn: S (theta)][eqn: ={1}over{2}times{bar{rmAH}}timesbar{rmQH}][eqn: ={(1- cos theta)^2} over 2]

따라서

[eqn: lim _{ theta->0+} { }S(theta) over {theta^4}][eqn: = lim _{theta->0+ } { } {(1- cos theta)^2 } over { 2 theta^4 }]
[eqn: = lim _{theta->0+ } { ( 1- cos theta )^2 ( 1+ cos theta)^2} over{ 2 theta^4 ( 1+ cos theta)^2]
[eqn: = lim _{theta->0+ } { ( 1- cos ^{2}theta )^2 } over{ 2 theta^4 ( 1+ cos theta)^2]
[eqn: = lim _{theta->0+ } { sin^{4} x} over{ 2 theta^4 ( 1+ cos theta)^2]
[eqn: =lim _{theta->0+ }left { left({ sin theta } over theta right)^{4}times{ 1 } over {2 ( 1+ costheta)^2 }right}]
[eqn: = lim _{theta->0+ }{ left({ sin theta } over thetaright)^{4} }timeslim _{theta->0+ } { { 1 } over {2 ( 1+ costheta)^2 }}]
[eqn: =1^{4} times{1}over{2(1+1)^{2}][eqn: ={1}over{8}]

① [eqn: {1} over {8}]	② [eqn: {1} over {4}]	③ [eqn: {3} over {8}]

④ [eqn: {1} over {2}]	⑤ [eqn: {5} over {8}]

[출처]	2016 모의_공공 교육청 고3 07월 21

그림과 같이 중심이 [eqn: {rm{O}} it]이고 반지름의 길이가 [eqn: rm 1]인 원의 둘레를 [eqn: n(n geq 4)]등분한 점을 [eqn: {rm{A}} it _{1}], [eqn: {rm{A}} it _{2}], [eqn: cdots], [eqn: {rm{A}} it _{n}]이라 하자. 호 [eqn: {rm{A}} it _{i} {rm{A}} it _{i+1}(i=1,``2,`` cdots,`` n)]을 이등분한 점을 [eqn: {rm{M}} it _{i}]라 하고 사각형 [eqn: {rm{A}} it _{i} {rm{M}} it _{i} {rm{A}} it _{i+1} {rm{N}} it _{i}]가 마름모가 되도록 하는 선분 [eqn: {rm{OM}} it _{i}] 위의 점을 [eqn: {rm{N}} it _{i}]라 하자. [eqn: n]개의 사각형

[정답] ①

[해설]

선분 [eqn: {rm{M}} it _{i} {rm{N}} it _{i}]의 중점을 [eqn: {rm{B}} it _{i}]라 하면

[eqn: angle {rm{A}} it _{i} {rm{OM}} it _{i}={ pi} over {n}]이므로

[eqn: overline{{rm{A}} it _{i} {rm{B}} it _{i}}= sin { pi} over {n}], [eqn: overline{{rm{B}} it _{i} {rm{M}} it _{i}}=1- overline{{rm{OB}} it _{i}}=1- cos { pi} over {n}]

[eqn: {rm{A}} it _{i} {rm{M}} it _{i} {rm{A}} it _{i+1} {rm{N}} it _{i}][eqn: =4 times triangle {rm{A}} it _{i} {rm{M}} it _{i} {rm{B}} it _{i}]
[eqn: =4 times {1} over {2} times sin { pi} over {n} times left(1- cos { pi} over {n} right)]

[eqn: S_{n}=n times □ {rm{A}} it _{i} {rm{M}} it _{i} {rm{A}} it _{i+1} {rm{N}} it _{i}=2 n sin { pi} over {n} left(1- cos { pi} over {n} right)]

[eqn: n^{2} times S_{n}][eqn: =2 n^{3} sin { pi} over {n} left(1- cos { pi} over {n} right)]
[eqn: =2 pi^{3} times { sin { pi} over {n} left(1- cos ^{2} { pi} over {n} right)} over {{ pi^{3}} over {n^{3}} left(1+ cos { pi} over {n} right)}]
[eqn: =2 pi^{3} left{ { sin { pi} over {n}} over {{ pi} over {n}} times { sin ^{2} { pi} over {n}} over { left({ pi} over {n} right)^{2}} times {1} over {1+ cos { pi} over {n}} it right}]

따라서 [eqn: lim _{n ``-> `` inf} left(n^{2} times S_{n} right)= pi^{3}]

[eqn: {rm{A}} it _{1} {rm{M}} it _{1} {rm{A}} it _{2} {rm{N}} it _{1}], [eqn: {rm{A}} it _{2} {rm{M}} it _{2} {rm{A}} it _{3} {rm{N}} it _{2}], [eqn: {rm{A}} it _{3} {rm{M}} it _{3} {rm{A}} it _{4} {rm{N}} it _{3}], [eqn: cdots], [eqn: {rm{A}} it _{n} {rm{M}} it _{n} {rm{A}} it _{n+1} {rm{N}} it _{n}]의 넓이의 합을 [eqn: S_{n}]이라 할 때, [eqn: lim _{n ``rarrow`` inf } left(n^{2} times S_{n} right)]의 값은?

(단, [eqn: {rm{A}} it _{n+1}={rm{A}} it _{1}])

① [eqn: pi^{3}]	② [eqn: 2 pi^{3}]	③ [eqn: 3 pi^{3}]

④ [eqn: 4 pi^{3}]	⑤ [eqn: 5 pi^{3}]

[출처]	2017 모의_공공 교육청 고3 03월 17

그림과 같이 반지름의 길이가 [eqn: rm 1]이고 중심각의 크기가 [eqn: { pi} over {2}]인 부채꼴 [eqn: {rm{OAB}} it]가 있다. 호 [eqn: {rm{AB}} it] 위의 점 [eqn: {rm{P}} it]에 대하여 점 [eqn: {rm{B}} it]에서선분 [eqn: {rm{OP}} it]에 내린 수선의 발을 [eqn: {rm{Q}} it], 점 [eqn: {rm{Q}} it]에서 선분 [eqn: {rm{OB}} it]에 내린수선의 발을 [eqn: {rm{R}} it]라 하자. [eqn: angle {rm{BOP}} it = theta]일 때, 삼각형 [eqn: {rm{R`Q`B`}} it]에 내접하는 원의 반지름의 길이를 [eqn: r( theta)]라 하자. [eqn: lim _{theta `` rarrow ``0+} {} {r( theta )} over {theta ^{2}}]의 값은? (단, [eqn: 0< theta<{ pi} over {2}])

[정답] ①

[해설]

[eqn: angle {rm{BOQ}} it = theta], [eqn: overline{{rm{OB}} it }=1]이고 [eqn: angle {rm{OQB}} it ={ pi} over {2}]이므로 [eqn: overline{{rm{BQ}} it }= sin theta]

또, [eqn: angle {rm{RQB}} it ={ pi} over {2}- angle {rm{QBR}} it ={ pi} over {2}- left({ pi} over {2}- theta right)= theta],

[eqn: overline{{rm{BQ}} it }= sin theta]이고 [eqn: angle {rm{BRQ}} it ={ pi} over {2}]이므로

[eqn: overline{{rm{BR}} it }= sin ^{2} theta], [eqn: ~ overline{{rm{RQ}} it }= sin theta cos theta]

삼각형 [eqn: {rm{BRQ}} it]의 넓이는

[eqn: {1} over {2} times overline{{rm{BR}} it } times overline{{rm{RQ}} it }={1} over {2} times sin ^{2} theta times sin theta cos theta ~ cdots cdots]㉠

삼각형 [eqn: {rm{BRQ}} it]에 내접하는 원의 성질을 이용하여

삼각형의 넓이를 구하면

[eqn: {1} over {2} times r( theta) times left( sin theta+ sin theta cos theta+ sin ^{2} theta right) ~ cdots cdots]㉡

㉠, ㉡에 의해서

[eqn: r( theta)={ sin ^{2} theta cos theta} over {1+ sin theta+ cos theta}]

따라서

[eqn: lim _{ theta ``rarrow`` 0+} {r( theta)} over { theta^{2}}= lim _{ theta ``rarrow`` 0+} { sin ^{2} theta cos theta} over { theta^{2}(1+ sin theta+ cos theta)}]

[eqn: = lim _{ theta ``rarrow`` 0+} { sin ^{2} theta} over { theta^{2}} times lim _{ theta ``rarrow`` 0+} { cos theta} over {1+ sin theta+ cos theta}]

[eqn: =1 times {1} over {2}]

[eqn: ={1} over {2}]

① [eqn: {1} over {2}]	② [eqn: rm 1]	③ [eqn: {3} over {2}]

④ [eqn: rm 2]	⑤ [eqn: {5} over {2}]

[출처]	2017 모의_공공 사관학교 고3 07월 20

그림과 같이 [eqn: {bar{rm AB it}} =2], [eqn: {bar{rm BC it}} =2 sqrt {3}], [eqn: ANGLE rm ABC it = {pi } over {2}]인 직각삼각형 [eqn: {rm{ABC}} it]가 있다. 선분 [eqn: {rm{CA}} it] 위의 점 [eqn: {rm{P}} it]에 대하여 [eqn: angle {rm{ABP}} it = theta]라 할 때, 선분 [eqn: {rm{AB}} it] 위의 점 [eqn: {rm{O}} it]를 중심으로 하고 두 선분 [eqn: {rm{AP}} it], [eqn: {rm{BP}} it]에 동시에 접하는 원의 넓이를 [eqn: f( theta)]라 하자. 이 원과 선분 [eqn: {rm{PO}} it]가 만나는 점을 [eqn: {rm{Q}} it]라 할 때, 선분 [eqn: {rm{PQ}} it]를 지름으로 하는 원의 넓이를 [eqn: g( theta)]라 하자. [eqn: lim _{ theta ``rarrow`` 0+} {f( theta)+g( theta)} over { theta^{2}}]의 값은?

[정답] ⑤

[해설]

두 원의 반지름의 길이를 각각 [eqn: R( theta)], [eqn: r LEFT ( theta RIGHT )][eqn: LEFT (R LEFT ( theta RIGHT )>r LEFT ( theta RIGHT ) RIGHT )]이라 하자.

[eqn: overline{{rm{AB}} it }= overline{{rm{AO}} it }+ overline{{rm{OB}} it }={2} over { sqrt{3}} R( theta)+{R( theta)} over { sin theta}=2]

[eqn: R( theta)={2 sqrt{3} sin theta} over {2 sin theta+ sqrt{3}}]

[eqn: therefore~f( theta)= pi R( theta)^{2}]

[eqn: angle {rm{APO}} it = angle {rm{BPO}} it ={ pi} over {3}-{ theta} over {2}]이므로

[eqn: {bar{rm OP it}} = {R LEFT ( theta RIGHT )} over {{rm sin } it LEFT ( {pi } over {3} - {theta } over {2} RIGHT )}]

[eqn: rm {bar{PQ}}][eqn: rm = {bar{OP}} - {bar{OQ}}]
[eqn: ={R( theta)} over { sin left({ pi} over {3}-{ theta} over {2} right)}-R( theta)= left({1- sin left({ pi} over {3}-{ theta} over {2} right)} over { sin left({ pi} over {3}-{ theta} over {2} right)} right) R( theta)]

[eqn: r LEFT ( theta RIGHT )= {{bar{rm PQ it}}} over {2} = LEFT ( {1-{rm sin } it LEFT ( {pi } over {3} - {theta } over {2} RIGHT )} over {2{rm sin } it LEFT ( {pi } over {3} - {theta } over {2} RIGHT )} RIGHT ) R LEFT ( theta RIGHT )]

[eqn: therefore~g( theta)= pi left({1- sin left({ pi} over {3}-{ theta} over {2} right)} over {2 sin left({ pi} over {3}-{ theta} over {2} right)} right)^{2} R( theta)^{2}]

[eqn: lim _{theta `->` 0+} {} {f LEFT ( theta RIGHT )+g LEFT ( theta RIGHT )} over {theta ^{2}} = lim _{theta `->` 0+} {} pi {R LEFT ( theta RIGHT ) ^{2} +r LEFT ( theta RIGHT ) ^{2}} over {theta ^{2}}]

[eqn: = lim _{theta `->` 0+} {} pi {R LEFT ( theta RIGHT ) ^{2}} over {theta ^{2}} LEFT { 1+ LEFT ( {1-{rm sin } it LEFT ( {pi } over {3} - {theta } over {2} RIGHT )} over {2{rm sin } it LEFT ( {pi } over {3} - {theta } over {2} RIGHT )} RIGHT ) ^{2} it RIGHT }]

[eqn: = lim _{theta `->` 0+} {} pi {{rm sin } it ^{2} theta } over {theta ^{2}} LEFT ( {2 sqrt {3}} over {2{rm sin } it theta + sqrt {3}} RIGHT ) ^{2} LEFT { 1+ LEFT ( {1-{rm sin } it LEFT ( {pi } over {3} - {theta } over {2} RIGHT )} over {2{rm sin } it LEFT ( {pi } over {3} - {theta } over {2} RIGHT )} RIGHT ) ^{2} it RIGHT }]

[eqn: = pi TIMES 1 ^{2} TIMES 2 ^{2} TIMES LEFT { 1+ LEFT ( {1- {sqrt {3}} over {2}} over {sqrt {3}} RIGHT ) ^{2} it RIGHT }]

[eqn: = {19-4 sqrt {3}} over {3} pi]

① [eqn: {17-5 sqrt{3}} over {3} pi]	② [eqn: {18-5 sqrt{3}} over {3} pi]

③ [eqn: {19-5 sqrt{3}} over {3} pi]	④ [eqn: {18-4 sqrt{3}} over {3} pi]

⑤ [eqn: {19-4 sqrt{3}} over {3} pi]

[출처]	2017 모의_공공 교육청 고3 07월 21

그림과 같이 [eqn: bar{rm AB it} =2`]이고 [eqn: ANGLE rm ABC=2 ANGLE rm BAC`]를 만족하는 삼각형 [eqn: rmABC`]가 있다. 선분 [eqn: rm AC`]를 지름으로 하는 원과 직선 [eqn: rmAB`]가 만나는 점 중 [eqn: rmA`]가 아닌 점을 [eqn: rm P], 점 [eqn: rm P`]를 지나고 선분 [eqn: rmBC`]에 평행한 직선이 선분 [eqn: rmAC`]와 만나는 점을 [eqn: rm Q`]라 하자. [eqn: ANGLE rmBAC= theta`]라 할 때, 삼각형 [eqn: rm APQ`]의 넓이를 [eqn: S` LEFT ( theta RIGHT ) `]라 하자. [eqn: lim _{theta ` -> `0+} {{S` LEFT ( theta RIGHT )} over {theta }} `]의 값은? (단, [eqn: 0< theta < {pi } over {4}`])

[정답] ①

[해설]

선분 [eqn: rm AC]가 원의 지름이므로 [eqn: ANGLE rm APC it = {pi } over {2} `]이다.

[eqn: {bar{rm AP it}} =a`,~ {bar{rm AQ it}} =b`]라 하자.

두 삼각형 [eqn: rm APC`]와 [eqn: rm CPB`]는 직각삼각형이므로

[eqn: a`tan theta = {bar{rm CP it}} =(2-a)tan2 theta]

[eqn: a= {2tan2 theta } over {tan theta +tan2 theta }]

삼각형 [eqn: rm ABC`]와 삼각형 [eqn: rm APQ`]는 닮음이므로

[eqn: rm {bar{AP}} : {bar{AB}} = {bar{AQ}} : {bar{AC}}]

[eqn: a`:`2=b`:`a`sec theta]

[eqn: b= 1 over2 a^2 sectheta]

삼각형 [eqn: rm APQ`]의 넓이를 [eqn: S( theta )`]라 할 때,

[eqn: S(theta)][eqn: = {1} over {2} TIMES a TIMES {1} over {2} a ^{2} sec theta TIMES `sin theta]
[eqn: = {1} over {4} TIMES a ^{3} TIMES tan theta]
[eqn: = {1} over {4} TIMES LEFT ( {2tan2 theta } over {tan theta +tan2 theta } RIGHT ) ^{3} TIMES tan theta `]

따라서

[eqn: lim _{theta -> 0+} {{S( theta )} over {theta }}][eqn: = lim _{theta -> 0+} {LEFT { {1} over {4} TIMES LEFT ( {{2tan2 theta } over {2 theta } TIMES 2} over {{tan theta } over {theta } + {tan2 theta } over {2 theta } TIMES 2} RIGHT ) ^{3} TIMES {tan theta } over {theta } RIGHT } = {16} over {27}}]

① [eqn: {16} over {27}]	② [eqn: {17} over {27}]	③ [eqn: {2} over {3}]

④ [eqn: {19} over {27}]	⑤ [eqn: {20} over {27}]

[출처]	2017 모의_공공 교육청 고3 10월 27

그림과 같이 한 변의 길이가 [eqn: 3`]인 정사각형 [eqn: rmABCD`]안에 중심각의 크기가 [eqn: pi over 2`]이고 반지름의 길이가 [eqn: 3`]인 부채꼴 [eqn: rm BCA`]가 있다. 호 [eqn: rm AC] 위의 점 [eqn: rmP`]에서의 접선이 선분 [eqn: rmCD`]와 만나는 점을 [eqn: rm Q], 선분 [eqn: rmBP`]의 연장선이 선분 [eqn: rmCD`]와 만나는 점을 [eqn: rmR`]라 하자. [eqn: rmanglePBC=theta`]일 때, 삼각형 [eqn: rmPQR`]의 넓이를 [eqn: f LEFT ( theta RIGHT ) `]라 하자. [eqn: lim _{theta ` -> `0+} {{8f LEFT ( theta RIGHT )} over {theta ^{3}}} `]의 값을 구하시오.
(단, [eqn: 0< theta < {pi } over {4} `])

[정답] [eqn: bold9]

[해설]

삼각형 [eqn: rmBPQ`]와 삼각형 [eqn: rmBCQ`]는 서로 합동이므로

[eqn: angle rmQBC = theta over2`]이고 [eqn: rm barPQ][eqn: =rm barQC][eqn: = 3 tan` theta over2]

직각삼각형 [eqn: \RPQ`]에서 [eqn: angle \RQP = theta`]이므로

[eqn: bar{\PR}][eqn: =bar{\PQ} {\tan}`theta][eqn: =3{\tan}`theta over 2 {\tan}`theta]

[eqn: f( theta)][eqn: = 1 over 2 timesbar{\PQ}times bar{\PR}]
[eqn: = 1 over2 times 3`tan thetaover2 times 3`{\tan}`theta over 2 {\tan}`theta]
[eqn: = 9 over2 rmtan^{`2} thetaover2 tan` theta]

따라서

[eqn: lim _{theta `->` 0+} {{8f( theta )} over {theta ^{3}}}][eqn: = lim _{theta `->` 0+} {} {36` rm tan ^{`2} {theta } over {2} tan` theta it} over {theta ^{3}}][eqn: =9]

[출처]	2017 모의_공공 평가원 고3 06월 28

그림과 같이 반지름의 길이가 [eqn: rm { 1` }]이고 중심각의 크기가 [eqn: rm { theta` }]인 부채꼴 [eqn: rm { OAB` }]에서 호 [eqn: rm { AB` }]의 삼등분점 중 점 [eqn: rm { A` }]에 가까운 점을 [eqn: rm { C` }]라 하자. 변 [eqn: rm { DE` }]가 선분 [eqn: rm OA] 위에 있고, 꼭짓점 [eqn: rmG], [eqn: rmF`]가 각각 선분 [eqn: rm OC], 호 [eqn: rm AC] 위에 있는 정사각형 [eqn: rm { DEFG` }]의 넓이를 [eqn: f LEFT ( theta RIGHT ) `]라 하자. 점 [eqn: rm { D` }]에서 선분 [eqn: rm { OB` }]에 내린 수선의 발을 [eqn: rm P], 선분 [eqn: rm { DP` }]와 선분 [eqn: rm { OC` }]가 만나는 점을 [eqn: rm { Q` }]라 할 때, 삼각형 [eqn: rm { OQP` }]의 넓이를 [eqn: g LEFT ( theta RIGHT ) `]라 하자. [eqn: rm lim _{theta ` -> `0+} {it {f LEFT ( theta RIGHT )} over {theta TIMES g LEFT ( theta RIGHT )}} rm = it k`]일 때, [eqn: { 60k` }]의 값을 구하시오. [eqn: LEFT ( pile{ it# it} RIGHT .]단, [eqn: rm { 0<theta< pi over2` }]이고, [eqn: rm { bar OD < bar OE` }]이다.[eqn: LEFT . pile{ it# it} RIGHT )]

[정답] [eqn: bold{20]

[해설]

[eqn: rm {bar{OD}} = it k` LEFT ( k`>0` RIGHT )]으로 놓으면

(ⅰ) [eqn: rm {bar{GD}} = it k`tan {theta } over {3}]이므로
[eqn: f LEFT ( theta RIGHT ) = LEFT ( k`tan {theta } over {3} RIGHT ) ^{2} =k ^{2} `tan ^{2} {theta } over {3}]

(ⅱ) [eqn: rm {bar{OP}} = it k`cos theta ,~ rm {bar{PQ}} = {bar{OP}} `tan {2 theta } over {3} = it k`cos theta `tan {2 theta } over {3}]이므로
[eqn: g LEFT ( theta RIGHT )][eqn: = {1} over {2} TIMES k`cos theta TIMES k`cos theta `tan {2 theta } over {3}]
[eqn: = {k ^{2}} over {2} TIMES cos ^{2} theta `tan {2 theta } over {3}]

(ⅰ), (ⅱ)에서

[eqn: lim _{theta ->0+} {{f LEFT ( theta RIGHT )} over {theta TIMES g LEFT ( theta RIGHT )}}][eqn: = lim _{theta -> 0+} {{k ^{2} `tan ^{2} {theta } over {3}} over {theta TIMES {k ^{2}} over {2} TIMES cos ^{2} theta `tan {2 theta } over {3}}}]
[eqn: = lim _{theta -> 0+} {{2tan ^{2} {theta } over {3}} over {theta TIMES cos ^{2} theta `tan {2 theta } over {3}}}]
[eqn: = lim _{theta -> 0+} {{2tan ^{2} {theta } over {3}} over {9 TIMES {theta ^{2}} over {9}}} TIMES lim _{theta -> 0+} {{1} over {cos ^{2} theta }} TIMES lim _{theta -> 0+} {{{3} over {2} TIMES {2 theta } over {3}} over {tan {2 theta } over {3}}}]
[eqn: = {2} over {9} TIMES 1 TIMES {3} over {2} = {1} over {3}]

따라서 [eqn: k= {1} over {3}]이므로     [eqn: 60k=60 TIMES {1} over {3} =20]

[출처]	2018 모의_공공 평가원 고3 06월 16

그림과 같이 반지름의 길이가 [eqn: 1`]이고 중심각의 크기가 [eqn: pi over 2`]인 부채꼴 [eqn: rm OAB`]가 있다. 호 [eqn: rm AB`]위의 점 [eqn: \P`]에서 선분 [eqn: rm OA`]에 내린 수선의 발을 [eqn: rm H`]라 하고, 호 [eqn: rm BP] 위에 점 [eqn: rm Q `]를 [eqn: rm angle POH = angle PHQ `]가 되도록 잡는다. [eqn: rm angle POH = it theta `]일 때, 삼각형 [eqn: rm OHQ`]의 넓이를 [eqn: S` LEFT ( theta RIGHT ) `]라 하자. [eqn: lim _{theta ` -> `0+} {{S` LEFT ( theta RIGHT )} over {theta }} `]의 값은? (단, [eqn: 0< theta < {pi } over {6} )`]

[정답] ①

[해설]

[eqn: bar \OP]와 [eqn: bar \QH]의 교점을 [eqn: \R]이라 하면 [eqn: angle \PHQ=theta]이므로 [eqn: bar \OP BOT bar \QH]이다. 삼각비에 의해 [eqn: bar \HR=cos theta sin theta = 1over2 sin 2theta], [eqn: bar \OR = cos ^2 theta]이다.

따라서 삼각형 [eqn: \OHR]의 넓이는

[eqn: bar \OR cdot bar \RH cdot 1over2 = cos ^2 theta cdot 1over2 \sin 2theta cdot 1over2 = \S_1]

피타고라스 정리에 의해 [eqn: bar \QR = sqrt {1-(cos^2 theta)^2}] 이므로

삼각형 [eqn: \ORQ]의 넓이는

[eqn: bar \OR cdot bar \QR cdot 1over2 = cos^2 theta cdot sqrt{1-cos^4 theta}cdot 1over2 = \S_2]

구하는 극한값은

[eqn: lim _ theta→0+{ } {} {cos ^{2} theta CDOT {1} over {2} rm sin2 theta CDOT {1} over {2} +cos ^{2} theta CDOT sqrt {1-cos ^{4} theta } CDOT {1} over {2} it} over {theta }]

[eqn: = 1over2 +sqrt2 over2]

① [eqn: { 1 + root 2 } over 2]	② [eqn: { 2 + root 2 } over 2]	③ [eqn: { 3 + root 2 } over 2]

④ [eqn: { 4 + root 2 } over 2]	⑤ [eqn: { 5 + root 2 } over 2]

[출처]	2018 모의_공공 교육청 고3 03월 19

그림과 같이 길이가 [eqn: 1`]인 선분 [eqn: rmAB`]를 지름으로 하는 반원 위의 점 [eqn: rmP`]에 대하여 [eqn: rm ANGLE rm ABP`]를 삼등분하는 두 직선이 선분 [eqn: rmAP`]와 만나는 점을 각각 [eqn: rmQ], [eqn: rmR`]라 하자. [eqn: rmanglePAB=theta`]일 때, 삼각형 [eqn: rm BRQ`]의 넓이를 [eqn: S`( theta )`]라 하자. [eqn: lim _{theta ` -> `0+} {{S`( theta )} over {theta ^{2}} `]의 값은? (단, [eqn: 0< theta < {pi } over {2}])

[정답] ②

[해설]

[eqn: rmangleBPA= {pi} over {2} `]이므로 [eqn: ANGLE rm QBR][eqn: =alpha]라 하면

[eqn: 3alpha][eqn: ={pi}over{2}-theta],  [eqn: alpha= {pi } over {6} `-` {theta } over {3}]

[eqn: rm bar{rmBP}][eqn: =sin` theta]이므로

[eqn: bar{rm PQ}][eqn: =sin` theta ``tan`2alpha]

[eqn: bar{rm PR}][eqn: =sin` theta ``tan`alpha]

이다. 따라서

[eqn: S(theta)][eqn: ={1}over{2} times bar{rmBP}timesbar{rm PQ}`-`{1}over{2} times bar{rm BP} timesbar{rm PR}]
[eqn: = {1} over {2} `sin ^{2`} ` theta ` LEFT ( tan`2alpha-tan`alpha RIGHT )]
[eqn: = {1} over {2} `sin ^{`2} ` theta ` LEFT { tan` LEFT ( {pi } over {3} - {2} over {3} theta RIGHT ) -tan LEFT ( {pi } over {6} - {theta } over {3} RIGHT ) RIGHT }]

[eqn: lim _{theta ` -> `0+} {} {sin ^{`2} ` theta } over {theta ^{`2}}][eqn: =` lim _{theta ` -> `0+} {} LEFT ( {sin` theta } over {theta } RIGHT ) ^{`2}][eqn: =1]

이므로

[eqn: lim _{theta ` -> `0+} {} {S( theta )} over {theta ^{`2}}][eqn: =` {1} over {2} lim _{theta ` -> `0+} {} {sin ^{`2} ` theta } over {theta ^{`2}} LEFT { tan` LEFT ( {pi } over {3} - {2} over {3} theta RIGHT ) -tan LEFT ( {pi } over {6} - {theta } over {3} RIGHT ) RIGHT }]
[eqn: = {1} over {2} LEFT ( tan` {pi } over {3} -tan {pi } over {6} RIGHT )]
[eqn: = {1} over {2} LEFT ( sqrt {3} - {sqrt {3}} over {3} RIGHT )]
[eqn: = {1} over {2} TIMES {2 sqrt {3}} over {3}][eqn: ={sqrt{3}}over{3}]

① [eqn: {1} over {3}]	② [eqn: {sqrt {3}} over {3}]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: sqrt {3}]	⑤ [eqn: 3]

[출처]	2018 모의_공공 평가원 고3 11월 18

그림과 같이 [eqn: rmbar{AB}=1], [eqn: rmangleB= {pi} over {2}`]인 직각삼각형 [eqn: rmABC]에서 [eqn: rmangleC]를 이등분하는 직선과 선분 [eqn: rmAB`]의 교점을 [eqn: rmD], 중심이 [eqn: rmA`]이고 반지름의 길이가 [eqn: {rmbarAD}`]인 원과 선분 [eqn: rmAC`]의 교점을 [eqn: rmE`]라 하자. [eqn: rmangleA=theta `]일 때, 부채꼴 [eqn: rmADE`]의 넓이를 [eqn: S` LEFT (theta RIGHT )], 삼각형 [eqn: rmBCE`]의 넓이를 [eqn: T` LEFT (theta RIGHT )`]라 하자. [eqn: lim _{theta ``->`` 0+} {{LEFT { S` LEFT (theta RIGHT ) RIGHT } ^{2}} over {T` LEFT (theta RIGHT )}} `]의 값은?

[정답] ②

[해설]

직각삼각형 [eqn: rmABC]에서 [eqn: rmbar{AB}=1], [eqn: rmangleA=theta`]이므로

[eqn: rmbar{AC}=sec`theta], [eqn: rmbar{BC}=tan`theta]

이때 [eqn: rm {bar{AD}} =itk`]라 하면 선분 [eqn: rmCD]가 [eqn: rmangleC]를 이등분하므로

[eqn: rmbar{AD}``:``rmbar{BD}=rmbar{AC}``:``rmbar{BC}]

[eqn: k``:``(1-k)=sec`theta``:``tan`theta],

[eqn: k= {sec`theta} over {sec`theta+tan`theta} = {1} over {1+sin`theta}]

즉, [eqn: rmbar{AD}= {1} over {1+sin`theta} `]이므로

[eqn: S( theta )= {1} over {2} TIMES LEFT ( {1} over {1+sin` theta } RIGHT ) ^{2} TIMES theta = {theta} over {2(1+sin`theta) ^{2}}]

한편 [eqn: rmbar{CE}=rmbar{AC}-rmbar{AE}={rmbarAC}-rmbar{AD}]에서

[eqn: rmbar{CE}=sec`theta- {1} over {1+sin`theta} = {1+sin`theta-cos`theta} over {(1+sin`theta)`cos`theta}]

이므로

[eqn: T(theta)][eqn: = {1} over {2} times{rmbarCE}times{rmbarBC}timessin(rmangleC)]
[eqn: = {1} over {2} times {1+sin` theta -cos` theta } over {(1+sin` theta )cos` theta } TIMES tan` theta TIMES sin` LEFT ( {pi } over {2} - theta RIGHT )]
[eqn: = {(1+sin`theta-cos`theta)`sin`theta} over {2(1+sin`theta)cos`theta}]

따라서

[eqn: lim _{theta`-> `0+} {{LEFT { S(theta) RIGHT } ^{2}} over {T(theta)}}]

[eqn: = lim _{theta`-> `0+} {{LEFT { {theta} over {2(1+sin`theta) ^{2}} RIGHT } ^{2}} over {{(1+sin`theta-cos`theta)sin`theta} over {2(1+sin`theta)cos`theta}}}]

[eqn: = lim _{theta ` -> `0+} {LEFT { {1} over {2} TIMES {cos` theta } over {(1+sin`theta) ^{3}} TIMES {theta } over {sin` theta } TIMES {theta } over {1+sin` theta -cos` theta } RIGHT }}]

이때

[eqn: lim _{theta`-> `0+} {{theta} over {1+sin`theta-cos`theta}}][eqn: = lim _{theta`-> `0+} {{1} over {{sin`theta} over {theta} + {1-cos`theta} over {theta}}}]
[eqn: = lim _{theta`-> `0+} {{1} over {{sin`theta} over {theta} + {sin` ^{2} theta} over {theta(1+cos`theta)}}}]
[eqn: = {1} over {1+0} =1]

이므로

[eqn: lim _{theta`-> `0+} {{LEFT { S(theta) RIGHT }^2} over {T(theta)} = {1} over {2} times {1} over {(1+0) ^{3}} times1times1= {1} over {2}}]

① [eqn: {1} over {4}]	② [eqn: {1} over {2}]	③ [eqn: {3} over {4}]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: {5} over {4}]

[출처]	2018 모의_공공 교육청 고3 04월 20

그림과 같이 길이가 [eqn: 4`]인 선분 [eqn: rm AB`]를 지름으로 하는 반원 위에 두 점 [eqn: rmP], [eqn: rm Q`]를 [eqn: angle rmPAB = theta], [eqn: ANGLE rm QAB=2 theta `]가 되도록 잡는다. 선분 [eqn: rm AB`]의 중점 [eqn: rm O`]에 대하여 선분 [eqn: rm OQ`]와 선분 [eqn: rm AP`]가 만나는 점을 [eqn: rm R`]라 하자. 호 [eqn: rm PQ`]와 두 선분 [eqn: rm QR], [eqn: rm RP`]로 둘러싸인 부분의 넓이를 [eqn: S` LEFT ( theta RIGHT ) `]라 할 때, [eqn: lim _{theta ` -> `0+} {{S` LEFT ( theta RIGHT )} over {theta }} `]의 값은? (단, [eqn: 0< theta < {pi } over {4} `])

[정답] ⑤

[해설]

부채꼴 [eqn: rm OPQ]는 반지름의 길이가 [eqn: 2]이고
중심각의 크기가 [eqn: 2 theta]이므로 부채꼴 [eqn: rm OPQ]의 넓이는
[eqn: 1 over 2 times 2^2 times 2 theta = 4 theta]

직각삼각형 [eqn: rm ABQ]에서 [eqn: bar {rm AQ } = 4 cos 2 theta]

삼각형 [eqn: rm AOQ]에서 [eqn: {bar{rm AO it}} =][eqn: {bar{rm OQ it}} =2], [eqn: {bar{rm RQ it}} =2- {bar{rm OR it}}]
선분 [eqn: rmAR]는 각 [eqn: rm QAO]의 이등분선이므로
[eqn: {bar{rm AO it}} : {bar{rm AQ it}} = {bar{rm OR it}} : {bar{rm RQ it}}]

[eqn: 2:4cos2 theta = {bar{rm OR it}} : LEFT ( 2- {bar{rmOR}} RIGHT )]

[eqn: {bar{rmOR}} = {2} over {2cos2 theta +1}]

삼각형 [eqn: rmOPR]의 넓이는

[eqn: {1} over {2} TIMES {bar{rm OP it}} TIMES {bar{rm OR it}} TIMES sin2 theta = {2sin2 theta } over {2cos2 theta +1}]

호 [eqn: rm PQ]와 두 선분 [eqn: rm QR], [eqn: rm RP]로 둘러싸인 부분은
부채꼴 [eqn: rmOPQ]에서 삼각형 [eqn: rmOPR]를 제외한 부분이므로

[eqn: S` LEFT ( theta RIGHT ) =4 theta - {2sin2 theta } over {2cos2 theta +1}]

[eqn: therefore][eqn: lim _{theta ` -> `0+} {{S` LEFT ( theta RIGHT )} over {theta }}][eqn: = lim _{theta ` -> `0+} {LEFT { 4- {2sin2 theta } over {theta LEFT ( 2cos2 theta +1 RIGHT )} RIGHT }}]
[eqn: =4-4 TIMES {1} over {3} = {8} over {3}]

① [eqn: {4} over {3}]	② [eqn: {5} over {3}]	③ [eqn: 2]

④ [eqn: {7} over {3}]	⑤ [eqn: {8} over {3}]

[출처]	2019 모의_공공 교육청 고3 03월 19

그림과 같이 중심이 [eqn: rm O]이고 길이가 [eqn: 2]인 선분 [eqn: rm AB]를 지름으로 하는 반원이 있다. 호 [eqn: rm AB]위의 점 [eqn: rm P]에서 선분 [eqn: rm AB]에 내린 수선의 발을 [eqn: rm H]라 하고, 점 [eqn: rm H]를 지나고 선분 [eqn: rm OP]에 수직인 직선이 선분 [eqn: rm OP], 호 [eqn: rm AB]와 만나는 점을 각각 [eqn: rm I], [eqn: rm Q]라 하자.
점 [eqn: rm Q]를 지나고 직선 [eqn: rm OP]에 평행한 직선이 호 [eqn: rmAB]와 만나는 점 중 [eqn: rm Q]가 아닌 점을 [eqn: rm R]라 하자. [eqn: ANGLE rm POB= theta]일 때, 두 삼각형 [eqn: rm RIP], [eqn: rm IHP]의 넓이를 각각 [eqn: S ( theta )], [eqn: T ( theta )]라 하자. [eqn: lim _{theta ``->`` 0+} { S ( theta )-T ( theta ) } over {theta ^{3}} }]의 값은? [eqn: pile{ `#` }RIGHT(]단, [eqn: 0<theta< {pi} over {2} RIGHT)]

[정답] ②

[해설]

[eqn: rm ANGLE OHP= {pi} over {2}]이므로 [eqn: {bar{rm OH it}}][eqn: = {bar{rm OP it}} ` cos theta][eqn: =cos theta]

[eqn: rm ANGLE HIO= {pi } over {2}]이므로

[eqn: {bar{rm OI it}}][eqn: = {bar{rm OH it}} `cos theta][eqn: =cos ^{2} theta]

[eqn: {bar{rm IH it}}][eqn: = {bar{rm OH it}} ` sin theta][eqn: =cos theta sin theta]

[eqn: {bar{rm IP it}}][eqn: = {bar{rm OP it}} - {bar{rm OI it}}]
[eqn: =1-cos ^{2} theta]
[eqn: =sin ^{2} theta]

삼각형 [eqn: rm IHP]의 넓이 [eqn: T ( theta )]는

[eqn: T ( theta )][eqn: = {1} over {2} TIMES {bar{rm IH it}} TIMES {bar{rm IP it}}]
[eqn: = {1} over {2} TIMES ( cos theta sin theta ) TIMES sin ^{2 } theta]
[eqn: = {1} over {2} sin ^{3} theta cos theta]

직선 [eqn: rm OP]와 직선 [eqn: rm RQ]가 평행이므로 삼각형 [eqn: rm RIP]의 높이는 [eqn: rm bar{QI }]이다.

[eqn: {bar{rm OQ it}} =1], [eqn: ANGLE rm OIQ= {pi} over {2}]이므로 직각삼각형 [eqn: rmOIQ]에서

[eqn: {bar{rm QI it}} ^{2} = {bar{rm OQ it}} ^{2} - {bar{rm OI it}} ^{2}]

[eqn: {bar{rm QI it}}][eqn: = sqrt {1-(cos ^{2} theta ) ^{2}}]
[eqn: = sqrt {(1-cos ^{2} theta)(1+cos ^{2} theta)}]
[eqn: =sin theta sqrt {1+cos ^{2} theta }][eqn: LEFT ( 0< theta < {pi} over {2} RIGHT )]

삼각형 [eqn: rm RIP]의 넓이 [eqn: S ( theta )]는

[eqn: S ( theta )][eqn: = {1} over {2} TIMES rm {bar{IP}} TIMES {bar{QI}}]
[eqn: = {1} over {2} TIMES sin ^{2} theta TIMES LEFT ( sin theta sqrt {1+cos ^{2} theta } RIGHT )]
[eqn: = {1} over {2} ` sin ^{3} theta sqrt {1+cos ^{2} theta}]

[eqn: S ( theta )-T ( theta )][eqn: = {1} over {2} ` sin ^{3} theta LEFT ( sqrt {1+cos ^{2} theta } -cos theta RIGHT )]

따라서

[eqn: lim _{theta ``->`` 0+} {{S ( theta )-T ( theta )} over {theta ^{ 3}}}]

[eqn: = lim _{theta ``->`` 0+} {{{1} over {2} `sin ^{3} theta LEFT ( sqrt {1+cos ^{2} theta } -cos theta RIGHT )} over {theta ^{ 3}}}]

[eqn: = lim _{theta ``->`` 0+} {} LEFT { {1} over {2} TIMES { sin ^{3} theta } over {theta ^{3}} TIMES LEFT ( sqrt {1+cos ^{2} theta } -cos theta RIGHT ) RIGHT }]

[eqn: = {sqrt {2} -1} over {2}]

① [eqn: {sqrt {2} -1} over {4}]	② [eqn: {sqrt {2} -1} over {2}]	③ [eqn: sqrt {2} - 1]

④ [eqn: {2 sqrt {2} -1} over {4}]	⑤ [eqn: {2 sqrt {2} -1} over {2}]

[출처]	2019 모의_공공 교육청 고3 07월 17

그림과 같이 길이가 [eqn: {2}{{from^2019^07^인천교육청고3가^중}}]인 선분 [eqn: rmAB]를 지름으로 하는 반원이 있다. 선분 [eqn: rmAB] 위의 점 [eqn: rmP]에 대하여 [eqn: rm {bar{QB}} = rm {bar{QP}}]를 만족시키는 반원 위의 점을 [eqn: rm Q]라 할 때, [eqn: rm ANGLE BQP= theta][eqn: LEFT ( 0< theta < {pi } over {2} RIGHT )]라 하자. 삼각형 [eqn: rm QPB]의 넓이를 [eqn: S LEFT ( theta RIGHT )]라 할 때, [eqn: lim _{theta ``->`` 0+} {{S left( theta right)} over {theta ^{3}}}]의 값은?

[정답] ②

[해설]

삼각형 [eqn: rm QPB]는 이등변삼각형이므로

[eqn: rm ANGLE QBP= {pi } over {2} - {theta } over {2}]

삼각형 [eqn: rm ABQ]는 [eqn: rm ANGLE Q= {pi } over {2}]인 직각삼각형이므로

[eqn: rm ANGLE QAB= {theta } over {2}]

[eqn: rm {bar{QB}} = rm {bar{QP}} =2sin {theta } over {2}]

[eqn: S ( theta )][eqn: = {1} over {2} TIMES rm {bar{QB}} it TIMES rm {bar{QP}} it TIMES sin theta]

[eqn: lim _{theta ``->`` 0+} {} { S( theta )} over {theta ^{3}}][eqn: = lim _{theta ``->`` 0+} {{2sin ^{2} {theta } over {2} sin theta } over {theta ^{3}}}]
[eqn: = lim _{theta ``->`` 0+} {LEFT { 2 TIMES LEFT ( {sin {theta } over {2}} over {{theta } over {2}} RIGHT ) ^{2} TIMES {1} over {4} TIMES {sin theta } over {theta } RIGHT }}]
[eqn: =2 TIMES 1 TIMES {1} over {4} TIMES 1]
[eqn: = {1} over {2}]

① [eqn: {1} over {4}]	② [eqn: {1} over {2}]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 4]

[출처]	2019 모의_공공 평가원 고3 06월 28

그림과 같이 길이가 [eqn: {2}{{from^2019^06^평가원고3가^중}}]인 선분 [eqn: rmAB]를 지름으로 하는 반원의 호 [eqn: rmAB] 위에 점 [eqn: rmP]가 있다. 중심이 [eqn: rmA]이고 반지름의 길이가 [eqn: rm{barAP}]인 원과 선분 [eqn: rmAB]의 교점을 [eqn: rmQ]라 하자.
호 [eqn: rmPB] 위에 점 [eqn: rmR]를 호 [eqn: rmPR]와 호 [eqn: rmRB]의 길이의 비가 [eqn: 3 ``:`` 7]이 되도록 잡는다. 선분 [eqn: rmAB]의 중점을 [eqn: rmO]라 할 때, 선분 [eqn: rmOR]와 호 [eqn: rmPQ]의 교점을 [eqn: rmT], 점 [eqn: rmO]에서 선분 [eqn: rmAP]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmH]라 하자.
세 선분 [eqn: rmPH ,```` HO ,```` OT]와 호 [eqn: rmTP]로 둘러싸인 부분의 넓이를 [eqn: S _{1}], 두 선분 [eqn: rmRT ,```` QB]와 두 호 [eqn: rmTQ ,```` BR]로 둘러싸인 부분의 넓이를 [eqn: S _{2}]라 하자. [eqn: rm ANGLE PAB=theta]라 할 때, [eqn: lim _{theta ``->`` 0+} {{S _{1} -S _{2}} over {rm {bar{OH}} it} = it a}]이다. [eqn: 50a]의 값을 구하시오.
[eqn: pile{ `#` }right(]단, [eqn: 0<theta< {pi} over {4} right)]

[정답] [eqn: bold { 40 }]

[해설]

위 그림과 같이 부채꼴의 호의 길이와 중심각은 비례하므로 [eqn: angle rm BOR = 7 over 10 cdot 2theta = 7 over 5 theta]에서 부채꼴 [eqn: rm OBR]의 넓이는

[eqn: 1over2 r^2 theta = 1 over2 cdot 1 ^2 cdot 7 over 5 theta = 7 over 10 theta]	[eqn: cdotscdots] ㉠

[eqn: rm bar AH = cos theta]에서 [eqn: rm bar AP = 2 cos theta]이므로 부채꼴 [eqn: rm APQ]의 넓이는

[eqn: 1over 2 r^2 theta = 1 over2 cdot 4cos^ 2 theta cdot theta = 2theta cos^2 theta]	[eqn: cdotscdots] ㉡

삼각형 [eqn: rm AOH]의 넓이는 [eqn: {1} over {2} `cos theta sin theta]	[eqn: cdotscdots] ㉢

점 [eqn: rmO,````T,````Q]로 둘러싸인 넓이를 [eqn: W]라 하면

점 [eqn: rm H,````O,````Q,````P]로 둘러싸인 도형의 넓이는

[eqn: S_1 +W][eqn: =](㉡[eqn: -]㉢)

부채꼴 [eqn: rm OBR]의 넓이는 [eqn: S_2 +W][eqn: =]㉠이므로

[eqn: S _{1} -S _{2}][eqn: = LEFT ( 2 theta cos ^{2} theta - {1} over {2} ` sin theta cos theta RIGHT ) - {7} over {10} theta]

[eqn: lim_{theta ``->`` 0+ }{S_1 -S_2 }over{ rm bar OH }][eqn: = lim _{theta ``->`` 0+} { 2theta cos^2 theta - 1over2 `sin theta cos theta - 7 over 10 theta}over { sin theta}]
([eqn: because][eqn: rm bar OH = sin theta])
[eqn: = lim _{ theta ``->`` 0+} left( 2cos ^2 theta - 1over2 `cos theta - 7over10 right)]
[eqn: pile{ `# `}right(][eqn: because][eqn: lim _{theta ``->`` 0+} {{theta} over {sin theta }} =1][eqn: pile{ `#` }right)]
[eqn: = 4 over 5]

[eqn: therefore][eqn: a= 4 over 5]

[eqn: THEREFORE ```` 50 a = 40]

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고3 10월 21

그림과 같이 길이가 [eqn: {2}{{from^2020^10^서울고3가^5}}]인 선분 [eqn: rmAB]를 지름으로 하는 반원이 있다. 호 [eqn: rmAB]위의 점 [eqn: rm P]와 선분 [eqn: rmAB]위의 점 [eqn: rmC]에 대하여 [eqn: rmanglePAC=theta]일 때, [eqn: rm ANGLE APC=2theta]이다.

[정답] ④

[해설]

두 직각삼각형 [eqn: rmPCE]와 [eqn: rmADE]는 닮음이므로

[eqn: rm {bar{EP}} ``:`` {bar{EA}}][eqn: =rm {bar{EC}} ``:`` {bar{ED}}]에서 [eqn: rm {bar{EP}} TIMES {bar{ED}}][eqn: =rm {bar{EA}} TIMES {bar{EC}}]

[eqn: ANGLE rm DEP][eqn: = {pi} over {2} +2 theta]이므로

[eqn: S LEFT ( theta RIGHT )][eqn: = {1} over {2} TIMES rm {bar{EP}} TIMES {bar{ED}} TIMES sin LEFT ( {pi} over {2} +2 theta RIGHT )]
[eqn: = {1} over {2} TIMES rm {bar{EA}} TIMES {bar{EC}} TIMES cos 2 theta]

직각삼각형 [eqn: rmAPB]에서 [eqn: {bar{rmAP}}][eqn: = it 2 cos theta]

삼각형 [eqn: rmACP]에서 [eqn: ANGLE rm ACP][eqn: =pi-3 theta]이므로

사인법칙에 의하여 [eqn: {{bar{rmAC}}} over {sin 2 theta }][eqn: = {{bar{rmAP}}} over {sin LEFT ( pi-3 theta RIGHT )}]에서

[eqn: {bar{rmAC}}][eqn: = {2 sin 2 theta cos theta } over {sin 3 theta }]

삼각형 [eqn: rmACE]에서 [eqn: ANGLE rm ACE][eqn: = {pi} over {2} -3 theta], [eqn: ANGLE rm CEA][eqn: = {pi} over {2} +2 theta]이고 사인법칙에 의하여

[eqn: {{bar{rmEC}}} over {sin theta }][eqn: = {{bar{rmEA}}} over {sin LEFT ( {pi} over {2} -3 theta RIGHT )}][eqn: = {{bar{rmAC}}} over {sin LEFT ( {pi} over {2} +2 theta RIGHT )}]이므로

[eqn: {bar{rmEC}}][eqn: = {{bar{rmAC}} ` sin theta } over {sin LEFT ( {pi} over {2} +2 theta RIGHT )}][eqn: = {2 sin 2 theta sin theta cos theta } over {sin 3 theta cos 2 theta }]

[eqn: {bar{rmEA}}][eqn: = {{bar{rmAC}}` sin LEFT ( {pi} over {2} -3 theta RIGHT )} over {sin LEFT ( {pi} over {2} +2 theta RIGHT )}][eqn: = {2 sin 2 theta cos theta cos 3 theta } over {sin 3 theta cos 2 theta }]

[eqn: S LEFT ( theta RIGHT )][eqn: = {2 sin ^{2} 2 theta sin theta cos ^{2} theta cos 3 theta } over {sin ^{2} 3 theta cos 2 theta }]

[eqn: lim _{theta ``->`` 0+} {} {S LEFT ( theta RIGHT )} over {theta }]

[eqn: = lim _{theta ``->`` 0+} {} {2 sin ^{2} 2 theta sin theta cos ^{2} theta cos 3 theta } over {theta sin ^{2} 3 theta cos 2 theta }]
[eqn: = {8} over {9} lim _{theta ``->`` 0+} {} LEFT ( {sin 2 theta } over {2 theta } RIGHT ) ^{2} LEFT ( {sin theta } over {theta } RIGHT ) ^{2} LEFT ( {3 theta } over {sin 3 theta } RIGHT ) ^{2} LEFT ( {cos ^{2} theta cos 3 theta } over {cos 2 theta } RIGHT )]
[eqn: = {8} over {9}]

[eqn: ANGLE rm ADC= ANGLE rm PCD= {pi } over {2}]인 점 [eqn: rmD]에 대하여 두 선분 [eqn: rm AP]와 [eqn: rmCD]가 만나는 점을 [eqn: rmE]라 하자. 삼각형 [eqn: rm DEP]의 넓이를 [eqn: S( theta )]라 할 때, [eqn: lim _{theta ``->`` 0+} {{S( theta )} over {theta }}]의 값은? [eqn: pile{ `#` } right(]단, [eqn: 0< theta < {pi } over {6} right)]

① [eqn: {5} over {9}]	② [eqn: {2} over {3}]	③ [eqn: {7} over {9}]

④ [eqn: {8} over {9}]	⑤ [eqn: 1]

[출처]	2020 모의_공공 사관학교 고3 07월 28

그림과 같이 [eqn: overline{{rm{AB}} it }= overline{{rm{AC}} it }=4]인 이등변삼각형 [eqn: {rm{ABC}} it]에 외접하는 원 [eqn: O]가 있다. 점 [eqn: {rm{C}} it]를 지나고 원 [eqn: O]에 접하는 직선과 직선 [eqn: {rm{AB}} it]의 교점을 [eqn: {rm{D}} it]라 하자. [eqn: angle {rm{CAB}} it = theta]라 할 때, 삼각형 [eqn: {rm{BDC}} it]의 넓이를 [eqn: S( theta)]라 하자. [eqn: lim _{ theta ``rarrow`` 0+} {S( theta)} over { theta^{3}}]의 값을 구하시오. (단, [eqn: 0< theta<{ pi} over {3}])

[정답] [eqn: 8]

[해설]

이등변삼각형 [eqn: {rm{ABC}} it]에서 [eqn: overline{{rm{BC}} it }=8 sin { theta} over {2}]

삼각형 [eqn: {rm{ACD}} it]에 사인법칙에 의하면

[eqn: { overline{{rm{CD}} it }} over { sin theta}={4} over { sin left({ pi} over {2}-{3} over {2} theta right)}], [eqn: overline{{rm{CD}} it }={4 sin theta} over { cos {3} over {2} theta}]

[eqn: S( theta)={1} over {2} overline{{rm{BC}} it } times overline{{rm{CD}} it } times sin theta={16 sin { theta} over {2} sin ^{2} theta} over { cos {3} over {2} theta}]

[eqn: therefore~ lim _{ theta ``rarrow`` 0+} {S( theta)} over { theta^{3}}=8]

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고3 07월 29

그림과 같이 길이가 [eqn: rm 4]인 선분 [eqn: {rm{AB}} it]를 지름으로 하고 중심이 [eqn: {rm{O}} it]인 원 [eqn: C]가 있다. 원 [eqn: C] 위를 움직이는 점 [eqn: {rm{P}} it]에 대하여 [eqn: angle {rm{PAB}} it = theta]라 할 때, 선분 [eqn: {rm{AB}} it] 위에 [eqn: angle {rm{APQ}} it =2 theta]를 만족시키는 점을 [eqn: {rm{Q}} it]라 하자. 직선 [eqn: {rm{PQ}} it]가 원 [eqn: C]와 만나는 점 중 [eqn: {rm{P}} it]가 아닌 점을 [eqn: {rm{R}} it]라 할 때, 중심이 삼각형 [eqn: {rm{AQP}} it]의 내부에 있고 두 선분 [eqn: {rm{PA}} it], [eqn: {rm{PR}} it]에 동시에 접하는 원을 [eqn: C `prime]이라 하자. 원 [eqn: C `prime]이 점 [eqn: {rm{O}} it]를 지날 때, 원 [eqn: C `prime]의 반지름의 길이를 [eqn: r( theta)], 삼각형 [eqn: {rm{BQR}} it]의 넓이를 [eqn: S( theta)]라 하자. [eqn: lim _{theta `` rarrow ``0+} {} {S( theta )} over {r( theta )} =a]일 때, [eqn: 45 a]의 값을 구하시오. (단, [eqn: 0< theta<{ pi} over {4}])

[정답] [eqn: 120]

[해설]

원 [eqn: C `prime]의 중심을 [eqn: {rm{O}} it `prime], 원 [eqn: C `prime]과 선분 [eqn: {rm{PA}} it]가 만나는 점을 [eqn: {rm{H}} it]라 하자.

삼각형 [eqn: rm OPA]는 이등변삼각형이므로 [eqn: angle {rm{OPA}} it = theta]

[eqn: r( theta)= overline{{rm{O}} it `prime {rm{O}} it }= overline{{rm{O}} it `prime {rm{H}} it }]이므로 [eqn: overline{{rm{PO}} it `prime }=2-r( theta)]

삼각형 [eqn: {rm{O}} it `prime {rm{PH}} it]에서 [eqn: angle {rm{PHO}} it `prime ={ pi} over {2}]이므로

[eqn: sin theta={ overline{{rm{O}} it `prime {rm{H}} it }} over { overline{{rm{PO}} it `prime }}={r( theta)} over {2-r( theta)}]

[eqn: r( theta)={2 sin theta} over {1+ sin theta}]

[eqn: angle {rm{PRB}} it]는 호 [eqn: {rm{BP}} it]의 원주각이므로 [eqn: angle {rm{PRB}} it = theta]

[eqn: angle {rm{RBA}} it]는 호 [eqn: {rm{AR}} it]의 원주각이므로 [eqn: angle {rm{RBA}} it =2 theta]

선분 [eqn: {rm{AB}} it]가 원 [eqn: C]의 지름이므로 삼각형

[eqn: {rm{ARB}} it]는 직각삼각형이고 [eqn: overline{{rm{RB}} it }=4 cos 2 theta]이다.

삼각형 [eqn: rmQRB] 에서 사인법칙에 의하여

[eqn: {{bar{rmRB}} ~} over {sin( ANGLE rm BQR it )} = {{bar{rm RQ it}}} over {sin( ANGLE rm RBQ it )}]

[eqn: {4 cos 2 theta} over { sin ( pi-3 theta)}={ overline{{rm{RQ}} it }} over { sin 2 theta}], [eqn: overline{{rm{RQ}} it }={4 sin 2 theta cos 2 theta} over { sin 3 theta}]

[eqn: S( theta)={1} over {2} times overline{{rm{RQ}} it } times overline{{rm{RB}} it } times sin theta]

[eqn: lim _{theta `` rarrow ``0+} {} {S( theta )} over {r( theta )} = lim _{theta `` rarrow ``0+} {} {{8sin theta sin2 theta (cos2 theta ) ^{2}} over {sin3 theta }} over {{2sin theta } over {1+sin theta }}]

[eqn: = lim _{ theta ``rarrow`` 0+} {4 sin 2 theta( cos 2 theta)^{2}(1+ sin theta)} over { sin 3 theta}]

[eqn: = lim _{ theta ``rarrow`` 0+} left{ {4 sin 2 theta} over { sin 3 theta} times( cos 2 theta)^{2}(1+ sin theta) it right}]

[eqn: =4 times {2} over {3} times 1^{2} times(1+0)={8} over {3}]

따라서 [eqn: a={8} over {3}]이므로 [eqn: 45 a=120]

[출처]	2020 모의_공공 평가원 고3 11월 24

그림과 같이 [eqn: {rm {bar{AB}}}{{from^2020^11^대수능고3가^중}}][eqn: =2], [eqn: ANGLE rm B][eqn: = {pi} over {2}]인 직각삼각형 [eqn: rmABC]에서 중심이 [eqn: rmA], 반지름의 길이가 [eqn: 1]인 원이 두 선분 [eqn: rmAB,````AC]와 만나는 점을 각각 [eqn: rmD,````E]라 하자.

[정답] [eqn: 60]

[해설]

부채꼴 [eqn: {rm{AFE}} it]에서 [eqn: angle {rm{EAF}} it =2 theta]이므로

[eqn: g( theta)={1} over {2} times 1^{2} times 2 theta= theta]

직각삼각형 [eqn: {rm{ABG}} it]에서 [eqn: overline{{rm{BG}} it }=2 tan theta]이므로

[eqn: f( theta)][eqn: ={1} over {2} times overline{{rm{AB}} it } times overline{{rm{BG}} it }-{1} over {2} times 1^{2} times theta]
[eqn: ={1} over {2} times 2 times 2 tan theta-{ theta} over {2}]
[eqn: =2 tan theta-{ theta} over {2}]

따라서

[eqn: 40 times lim _{ theta ``rarrow`` 0+} {f( theta)} over {g( theta)}][eqn: =40 times lim _{ theta ``rarrow`` 0+} {2 tan theta-{ theta} over {2}} over { theta}]
[eqn: =40 times lim _{ theta ``rarrow`` 0+} left({2 tan theta} over { theta}-{1} over {2} right)]
[eqn: =40 times lim _{ theta ``rarrow`` 0+} left({2} over { cos theta} times { sin theta} over { theta}-{1} over {2} right)]
[eqn: =40 times left({2} over {1} times 1-{1} over {2} right)=60]

호 [eqn: rmDE]의 삼등분점 중 점 [eqn: rmD]에 가까운 점을 [eqn: rmF]라 하고, 직선 [eqn: rmAF]가 선분 [eqn: rmBC]와 만나는 점을 [eqn: rmG]라 하자. [eqn: ANGLE rm BAG][eqn: = theta]라 할 때, 삼각형 [eqn: rmABG]의 내부와 부채꼴 [eqn: rmADF]의 외부의 공통부분의 넓이를 [eqn: f LEFT ( theta RIGHT )], 부채꼴 [eqn: rmAFE]의 넓이를 [eqn: g LEFT ( theta RIGHT )]라 하자. [eqn: 40 TIMES lim _{theta -> 0+} {} {f LEFT ( theta RIGHT )} over {g LEFT ( theta RIGHT )}]의 값을 구하시오. [eqn: LEFT ( pile{it#it} RIGHT .]단, [eqn: 0< theta < {pi} over {6}][eqn: pile{it#it} RIGHT )]

[출처]	2020 모의_공공 평가원 고3 06월 28

그림과 같이 [eqn: overline{{rm{AB}} it }=1], [eqn: overline{{rm{BC}} it }=2]인 두 선분 [eqn: {rm{AB}} it], [eqn: {rm{BC}} it]에 대하여 선분 [eqn: {rm{BC}} it]의 중점을 [eqn: {rm{M}} it], 점 [eqn: {rm{M}} it]에서 선분 [eqn: {rm{AB}} it]에 내린 수선의 발을 [eqn: {rm{H}} it]라 하자. 중심이 [eqn: {rm{M}} it]이고 반지름의 길이가 [eqn: overline{{rm{MH}} it }]인 원이 선분 [eqn: {rm{AM}} it]과 만나는 점을 [eqn: {rm{D}} it], 선분 [eqn: {rm{HC}} it]가 선분 [eqn: {rm{DM}} it]과 만나는 점을 [eqn: {rm{E}} it]라 하자. [eqn: angle {rm{ABC}} it = theta]라 할 때, 삼각형 [eqn: {rm{CDE}} it]의 넓이를 [eqn: f( theta)], 삼각형 [eqn: {rm{MEH}} it]의 넓이를 [eqn: g( theta)]라 하자. [eqn: lim _{ theta ``rarrow`` 0+} {f( theta)-g( theta)} over { theta^{3}}=a]일 때, [eqn: 80 a]의 값을 구하시오. (단, [eqn: 0< theta<{ pi} over {2}])

[정답] [eqn: 15]

[해설]

직각삼각형 [eqn: rmBMH]에서 [eqn: overline{{rm{MB}} it }=1]

[eqn: sin theta][eqn: ={ overline{{rm{MH}} it }} over { overline{{rm{MB}} it }}]에서
[eqn: overline{{rm{MH}} it }= overline{{rm{MB}} it } times sin theta= sin theta]
삼각형 [eqn: {rm{DMC}} it]에서
[eqn: overline{{rm{MD}} it }= overline{{rm{MH}} it }= sin theta]
[eqn: overline{{rm{MC}} it }=1],
[eqn: angle {rm{DMC}} it = pi- angle {rm{DMB}} it]
[eqn: = pi- angle {rm{AMB}} it]
[eqn: = pi-{ pi- theta} over {2}]
[eqn: ={ pi} over {2}+{ theta} over {2}] 이므로

[eqn: triangle {rm{DMC}} it][eqn: = {1} over {2} TIMES {bar{rm MD it}} TIMES {bar{rm MC it}} TIMES `sin(rm ANGLE DMC)]
[eqn: ={1} over {2} times sin theta times 1 times sin left({ pi} over {2}+{ theta} over {2} right)]
[eqn: ={1} over {2} sin theta cos { theta} over {2}]

삼각형 [eqn: {rm{HMC}} it]에서

[eqn: {rm{MH}} it][eqn: = sin theta]
[eqn: {rm{MC}} it =1]

[eqn: {rm{HMC}} it = pi- angle {rm{HMB}} it]

[eqn: ~ = pi- left({ pi} over {2}- theta right)]

[eqn: ={ pi} over {2}+ theta] 이므로

[eqn: triangle`rmHMC= {1} over {2} TIMES {bar{rmMH}} TIMES {bar{rmMC}} TIMESsin LEFT ( ANGLE rmHMC RIGHT )]

[eqn: = {1} over {2} TIMESsintheta`times`1sin LEFT ( {pi} over {2} +theta RIGHT )]

[eqn: {1} over {2} sinthetacostheta]

이떄 [eqn: f LEFT ( theta RIGHT ) -g LEFT ( theta RIGHT )]

[eqn: =triangle`rmDMC-triangle`rmHMC]

[eqn: = {1} over {2} sinthetacos {theta} over {2} - {1} over {2} sinthetacostheta]

[eqn: = {sintheta LEFT ( cos {theta} over {2} -costheta RIGHT )} over {2}] 이므로

[eqn: lim _{ theta ``rarrow`` 0+} {f( theta)-g( theta)} over { theta^{3}}]

[eqn: = lim _{ theta ``rarrow`` 0+} { sin theta left( cos { theta} over {2}- cos theta right)} over {2 theta^{3}}]

[eqn: = lim _{ theta ``rarrow`` 0+} { sin theta left( cos { theta} over {2}- cos theta right) left( cos { theta} over {2}+ cos theta right)} over {2 theta^{3} left( cos { theta} over {2}+ cos theta right)}]

[eqn: = lim _{ theta ``rarrow`` 0+} { sin theta left( cos ^{2} { theta} over {2}- cos ^{2} theta right)} over {2 theta^{3} left( cos { theta} over {2}+ cos theta right)}]

[eqn: = lim _{ theta ``rarrow`` 0+} { sin theta left( sin ^{2} theta- sin ^{2} { theta} over {2} right)} over {2 theta^{3} left( cos { theta} over {2}+ cos theta right)}]

[eqn: = {1} over {2} lim _{theta `` rarrow ``0+} {} {sin theta } over {theta } TIMES LEFT { lim _{theta `` rarrow ``0+} {} LEFT ( {sin theta } over {theta } RIGHT ) ^{2} RIGHT .]

[eqn: left.-{1} over {4} lim _{ theta ``rarrow`` 0+} left({ sin { theta} over {2}} over {{ theta} over {2}} right)^{2} it right} times lim _{ theta ``rarrow`` 0+} {1} over { cos { theta} over {2}+ cos theta}]

[eqn: ={1} over {2} times 1 times left(1^{2}-{1} over {4} times 1^{2} right) times {1} over {1+1}]

[eqn: ={3} over {16}]

따라서 [eqn: a={3} over {16}]이므로

[eqn: 80 a=80 times {3} over {16}=15]

[출처]	2020 모의_공공 평가원 고3 09월 28

그림과 같이 길이가 [eqn: rm 2]인 선분 [eqn: {rm{AB}} it]를 지름으로 하는 반원이 있다. 선분 [eqn: {rm{AB}} it]의 중점을 [eqn: {rm{O}} it]라 할 때, 호 [eqn: {rm{AB}} it] 위에 두 점 [eqn: {rm{P}} it], [eqn: {rm{Q}} it]를 [eqn: angle {rm{POA}} it = theta], [eqn: angle {rm{QOB}} it =2 theta]가 되도록 잡는다. 두 선분 [eqn: {rm{PB}} it], [eqn: {rm{OQ}} it]의 교점을 [eqn: {rm{R}} it]라 하고, 점 [eqn: {rm{R}} it]에서 선분 [eqn: {rm{PQ}} it]에 내린 수선의 발을 [eqn: {rm{H}} it]라 하자. 삼각형 [eqn: {rm{POR}} it]의 넓이를 [eqn: f( theta)], 두 선분 [eqn: {rm{RQ}} it], [eqn: {rm{RB}} it]와 호 [eqn: {rm{QB}} it]로 둘러싸인 부분의 넓이를 [eqn: g( theta)]라 할 때,

[정답] [eqn: 23]

[해설]

중심각과 원주각의 성질에 의하여 [eqn: angle {rm{AOP}} it = theta]이므로

[eqn: angle {rm{ABP}} it ={ theta} over {2}]

삼각형 [eqn: {rm{OBR}} it]에서

[eqn: angle {rm{BRO}} it = pi- left(2 theta+{ theta} over {2} right)= pi-{5 theta} over {2}]이므로 사인법칙에 의하여

[eqn: {{rm{barOB}} it }} over { sin left( pi-{5 theta} over {2} right)}={rm{barOR} it } over { sin { theta} over {2}}]

[eqn: {1} over { sin {5 theta} over {2}}={ overline{{rm{OR}} it }} over { sin { theta} over {2}}]에서 [eqn: overline{{rm{OR}} it }={ sin { theta} over {2}} over { sin {5 theta} over {2}}]

(ⅰ) 삼각형 [eqn: {rm{POR}} it]에서 [eqn: angle {rm{POR}} it = pi-3 theta]이므로

[eqn: f( theta)][eqn: ={1} over {2} times overline{{rm{OP}} it } times overline{{rm{OR}} it } times sin ( pi-3 theta)]
[eqn: ={1} over {2} times 1 times { sin { theta} over {2}} over { sin {5 theta} over {2}} times sin 3 theta]
[eqn: ={ sin { theta} over {2} `sin 3 theta} over {2 sin {5 theta} over {2}}]

(ⅱ) [eqn: g( theta)]는 부채꼴 [eqn: {rm{QOB}} it]의 넓이에서 삼각형 [eqn: {rm{OBR}} it]의 넓이를 뺀 것이므로
[eqn: g( theta)={1} over {2} times 1^{2} times 2 theta][eqn: -{1} over {2} times overline{{rm{OB}} it } times overline{{rm{OR}} it } times sin 2 theta]
[eqn: g( theta)= theta][eqn: -{1} over {2} times 1 times { sin { theta} over {2}} over { sin {5 theta} over {2}} times sin 2 theta]
[eqn: g( theta)= theta-{ sin { theta} over {2} ` sin 2 theta} over {2 sin {5 theta} over {2}}]

(ⅲ) 이등변삼각형 [eqn: rm POQ]에서 점 [eqn: rm O]에서 선분 [eqn: {rm{PQ}} it]에 내린 수선의 발을 [eqn: {rm{H}} it `prime]이라 하면

[eqn: overline{{rm{OH}} it `prime }][eqn: = overline{{rm{OP}} it } times cos left({ pi-3 theta} over {2} right)]
[eqn: =1 times cos left({ pi} over {2}-{3 theta} over {2} right)]
[eqn: = sin {3 theta} over {2}]

두 삼각형 [eqn: {rm{OQH}} it `prime], [eqn: {rm{RQH}} it]가 서로 닮음이므로
[eqn: overline{{rm{OH}} it `prime }: overline{{rm{RH}} it }= overline{{rm{OQ}} it }: overline{{rm{RQ}} it }][eqn: =1:(1- overline{{rm{OR}} it })]
[eqn: overline{{rm{RH}} it }= overline{{rm{OH}} it `prime } times(1- overline{{rm{OR}} it })][eqn: = sin {3 theta} over {2} times left(1-{ sin { theta} over {2}} over { sin {5 theta} over {2}} right)]

(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에서

[eqn: f( theta)+g( theta)][eqn: = theta+{ sin { theta} over {2}} over {2 sin {5 theta} over {2}} times( sin 3 theta- sin 2 theta)]이고,

[eqn: lim _{ theta ``rarrow`` 0+} { sin { theta} over {2}} over { sin {5 theta} over {2}}= lim _{ theta ``rarrow`` 0+} {{ sin { theta} over {2}} over { theta}} over {{ sin {5 theta} over {2}} over { theta}}][eqn: ={{1} over {2}} over {{5} over {2}}={1} over {5}]이므로

[eqn: lim _{ theta ``rarrow`` 0+} {f( theta)+g( theta)} over { overline{{rm{RH}} it }}]

[eqn: = lim _{ theta ``rarrow`` 0+} { theta+{ sin { theta} over {2}} over {2 sin {5 theta} over {2}} times( sin 3 theta- sin 2 theta)} over { sin {3 theta} over {2} times left(1-{ sin { theta} over {2}} over { sin {5 theta} over {2}} right)}]

[eqn: = lim _{ theta ``rarrow`` 0+} {1+{ sin { theta} over {2}} over {2 sin {5 theta} over {2}} times left({ sin 3 theta} over { theta}-{ sin 2 theta} over { theta} right)} over {{ sin {3 theta} over {2}} over { theta} times left(1-{ sin { theta} over {2}} over { sin {5 theta} over {2}} right)}]

[eqn: ={1+{1} over {2} times {1} over {5} times(3-2)} over {{3} over {2} times left(1-{1} over {5} right)}]

[eqn: ={{11} over {10}} over {{6} over {5}}={11} over {12}]

따라서 [eqn: p+q=12+11=23]

[eqn: lim _{ theta ``rarrow`` 0+} {f( theta)+g( theta)} over { overline{{rm{RH}} it }}={q} over {p}]

이다. [eqn: p+q]의 값을 구하시오.

(단, [eqn: 0< theta<{ pi} over {3}]이고, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.)

[출처]	2021 모의_공공 사관학교 고3 07월 미적분 28

그림과 같이 길이가 [eqn: {4}{{from^2021^7월 사관학교^중}}]인 선분 [eqn: rmAB]의 중점 [eqn: rmO]에 대하여 선분 [eqn: rmOB]를 반지름으로 하는 사분원 [eqn: rmOBC]가 있다.

[정답] ④

[해설]

[eqn: triangle{rmOAP}]는 이등변삼각형이므로 [eqn: angle{rmOPA}=theta]이고 [eqn: angle{rmPOQ}= 2theta]이다.

[eqn: triangle{rmOAP}]에 한 점[eqn: rmO]에서 마주보는 변[eqn: rmCP]에 수선의 발을 점 [eqn: rmM]이라 두자.

[eqn: angle{rmCOQ}={pi}over{2}]이므로 [eqn: angle{rmCOP}={pi}over{2}-2theta]이다.

이등변삼각형의 꼭짓각은 밑변을 수직이등분하므로 [eqn: angle{rmMOP}={pi}over{4}-theta] ([eqn: angle{rmMOP}=angle{rmCOM}=angle{rmROS}][eqn: cdotscdots] ㉠)이고 [eqn: triangle{rmOPS}]의 한 외각인 [eqn: angle{rmPSM}={piover{4}]이다.

이때 [eqn: anglermCSP]는 [eqn: angle{rmPSM}]의 [eqn: 2]배이므로 [eqn: {pi}over{2}]이다.

[eqn: bar{rmAO}=2]이므로 [eqn: bar{rmRO}=2 tan`theta]

[eqn: bar{rmCO}]의 길이는 [eqn: bar{rmCO}-bar{rmRO}=2-2 tan `theta]

[eqn: triangle{rmAOR}]과 [eqn: triangle{rmCSR}]은

[eqn: angle{rmORA}=angle{rmSRC}][eqn: (because] 맞꼭짓각)

[eqn: angle{rmAOR}=angle{rmCSR}=90DEG]

이므로 [eqn: rmAA]닮음이다.

따라서 [eqn: angle{rmRAO}=angle{rmRCS}=theta]이므로 [eqn: bar{rmRS}=(2-2tan`theta)sintheta]

□[eqn: rmSOQR]의 마주보고 있는 두 각인 [eqn: angle{rmROQ}]와 [eqn: angle{rmRSQ]의 합이 [eqn: pi]이므로 □[eqn: rmSOQR]은 원에 내접하는 사각형이다. 따라서 [eqn: angle{rmROS}]와 [eqn: angle{rmRQS}]는 원주각으로 같고 [eqn: {pi}over{4}-theta] ([eqn: because] ㉠)이다.

[eqn: THEREFORE][eqn: S(theta)][eqn: ={1}over{2}cdot2^{2}cdot(1-tan`theta)^{2}cdot sin^{2}`thetacdot{1}over{tan left({pi}over{4}-thetaright)}]

[eqn: THEREFORE][eqn: lim _{ theta->0} {{S(theta)}over{theta^{2}} }][eqn: =lim _{ theta->0} { {2^{2}cdot(1-tan`theta)^{2}cdot sin^{2}`theta}over{2cdot{tan left({pi}over{4}-thetaright)}cdot theta^{2}}}]
[eqn: =2]

호 [eqn: rmBC]위를 움직이는 점 [eqn: rmP]에 대하여 선분 [eqn: rmOB]위의 점 [eqn: rmQ]가 [eqn: angle rmAPC = angle PCQ]를 만족시킨다. 선분 [eqn: rmAP]가 두 선분 [eqn: rmCO], [eqn: rmCQ]와 만나는 점을 각각 [eqn: rmR], [eqn: rmS]라 하자. [eqn: angle rmPAB = theta]일 때, 삼각형 [eqn: rmRQS]의 넓이를 [eqn: S(theta)]라 하자. [eqn: lim _{ theta ``->`` 0+} { S(theta) over theta^2 }]의 값은?
[eqn: pile{ `#` }right(]단, [eqn: 0< theta< pi over4 right)]

① [eqn: 1over4]	② [eqn: 1over2]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 4]

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고3 07월 미적분 28

그림과 같이 반지름의 길이가 [eqn: {5}{{from^2021^7^인천교육청고3^중}}]인 원에 내접하고, [eqn: {bar{rm AB}}][eqn: = {bar{rm AC it}}]인 삼각형 [eqn: rmABC]가 있다. [eqn: ANGLE rm BAC][eqn: = theta]라 하고, 점 [eqn: rmB]를 지나고 직선 [eqn: rmAB]에 수직인 직선이 원과 만나는 점 중 [eqn: rmB]가 아닌 점을 [eqn: rmD], 직선 [eqn: rmBD]와 직선 [eqn: rmAC]가 만나는 점을 [eqn: rmE]라 하자. 삼각형 [eqn: rmABC]의 넓이를 [eqn: f LEFT ( theta RIGHT )], 삼각형 [eqn: rmCDE]의 넓이를 [eqn: g LEFT ( theta RIGHT )]라 할 때, [eqn: lim _{theta ``->`` 0+} {} {g LEFT ( theta RIGHT )} over {theta ^{2} TIMES f LEFT ( theta RIGHT )}]의 값은?
[eqn: LEFT ( pile{it#it}]단, [eqn: 0< theta < {pi} over {2}][eqn: LEFT. pile{it#it} RIGHT )]

[정답] ②

[해설]

[eqn: ANGLE rm ABD][eqn: = {pi} over {2}]이므로 선분 [eqn: rmAD]는 원의 지름이다.

[eqn: ANGLE rm ECD][eqn: = {pi} over {2}], [eqn: ANGLE rm DAB][eqn: = ANGLE rm CAD][eqn: = {theta } over {2}]

[eqn: {bar{rm AB}}][eqn: =10 cos {theta } over {2}], [eqn: {bar{rm CD}}][eqn: = {bar{rm BD}}][eqn: =10 sin {theta } over {2}]

[eqn: ANGLE rm AEB][eqn: = {pi} over {2} - theta]이므로 [eqn: ANGLE rm CDE][eqn: = theta]

[eqn: {bar{rm CE}}][eqn: =10 sin {theta } over {2} ` tan theta]

따라서 [eqn: f LEFT ( theta RIGHT )][eqn: = {1} over {2} TIMES LEFT ( 10 cos {theta } over {2} RIGHT ) ^{2} TIMES sin theta],

[eqn: g LEFT ( theta RIGHT )][eqn: = {1} over {2} TIMES 10 sin { theta } over {2} TIMES 10 sin { theta } over {2} ` tan theta]

[eqn: lim _{theta ``->`` 0+} {} {g LEFT ( theta RIGHT )} over {theta ^{2} TIMES f LEFT ( theta RIGHT )}]

[eqn: = lim _{theta ``->`` 0+} {} {50 sin ^{2} {theta } over {2} ` tan theta } over {theta ^{2} TIMES 50 cos ^{2} { theta } over {2}` sin theta }]
[eqn: = lim _{theta ``->`` 0+} {} LEFT { {1} over {cos ^{2} {theta } over {2}} TIMES {sin ^{2} {theta } over {2} ` tan theta } over {theta ^{2} TIMES sin theta } RIGHT }]
[eqn: = lim _{ theta ``->`` 0+} {} LEFT { 1 TIMES {1} over {4} TIMES {sin ^{2} {theta } over {2}} over {LEFT ( { theta } over {2} RIGHT ) ^{2}} TIMES {tan theta } over { theta } TIMES { theta } over {sin theta } RIGHT }]

[eqn: = {1} over {4}]

① [eqn: {1} over {8}]	② [eqn: {1} over {4}]	③ [eqn: {3} over {8}]

④ [eqn: {1} over {2}]	⑤ [eqn: {5} over {8}]

[출처]	2021 모의_공공 평가원 고3 06월 미적분 28

그림과 같이 길이가 [eqn: 2]인 선분 [eqn: rmAB]를 지름으로 하는 반원의 호 [eqn: rmAB]위에 점 [eqn: rmP]가 있다. 선분 [eqn: rmAB]의 중점을 [eqn: rmO]라 할 때, 점 [eqn: rmB]를 지나고 선분 [eqn: rmAB]에 수직인 직선이 직선 [eqn: rmOP]와 만나는 점을 [eqn: rmQ]라 하고, [eqn: ANGLE rmOQB]의 이등분선이 직선 [eqn: rmAP]와 만나는 점을 [eqn: rmR]라 하자.

[정답] ①

[해설]

그림에서 [eqn: {bar{rmOA}} = {bar{rmOP}}][eqn: =](반지름)[eqn: =1]이므로 [eqn: TRIANGLE rmAOP]는 이등변삼각형이다.

즉, [eqn: ANGLE rmAPO= theta]

또, [eqn: ANGLE rm AOP=pi-2 theta]이므로 [eqn: ANGLE rm QOB=2 theta]

[eqn: TRIANGLE rmQOB]가 [eqn: angle rmB]가 직각인 직각삼각형이므로 [eqn: angle rm OQB = pi over 2 - 2 theta]

따라서 [eqn: angle rm PQQ = 1over 2 angle rm OQB = pi over 4 - theta]

[eqn: TRIANGLE rmQPR]에서 [eqn: ANGLE rmAPO= ANGLE rmQPR= theta] (맞꼭지각)이고, [eqn: angle rm PQQ = pi over 4 - theta]이므로 [eqn: angle rm QRP = 3 over 4 pi]

[eqn: TRIANGLE rmAOP]의 넓이 [eqn: f(theta )]는

[eqn: f( theta )][eqn: = 1over2 cdot rm bar AO cdot barOP cdot sin (angle rm AOP)]
[eqn: = {1} over {2} TIMES 1 TIMES 1 TIMES sin(pi-2 theta )]
[eqn: = {1} over {2} ` sin2 theta]	[eqn: cdotscdots] ㉠

[eqn: TRIANGLE rmQOB]에서 [eqn: rm bar OB = 1]이므로 [eqn: {{bar{rmOQ}}} = 1 over {cos2 theta }]이므로

[eqn: {bar{rm QP}}= bar {rm OQ} -{rm bar OP} = {1} over {cos2 theta } -1 = {1- cos 2theta} over{ cos 2theta}]

따라서 [eqn: TRIANGLE rm PQR]에서 사인법칙을 적용하면

[eqn: {{1- cos 2theta} over{ cos 2theta}} over {sin {3pi } over {4}} = {{bar{rm QR it}}} over {sin theta }],

[eqn: therefore][eqn: rm {bar{QR}}][eqn: {rm = root2 {sin theta } LEFT ( {1- cos 2theta} over{ cos 2theta}RIGHT )]

즉, [eqn: TRIANGLE rm PQR]의 넓이 [eqn: g LEFT ( theta RIGHT )]는

[eqn: g LEFT ( theta RIGHT )][eqn: = 1over2 cdot rm bar PQ cdot bar QR cdot sin (angle rm PQR)]
[eqn: = 1over 2 cdot left( {1- cos 2theta} over{ cos 2theta} right)]
[eqn: cdot root2 `{sin theta } LEFT ( {1- cos 2theta} over{ cos 2theta}RIGHT ) cdot sin left( pi over 4 - theta right)]
[eqn: ={ sqrt {2}}over2 left( {1- cos 2theta} over{ cos 2theta} right) ^{2} sin theta sin LEFT ( {pi } over {4} - theta RIGHT )]
[eqn: ={ sqrt {2}}over2 left( {1- cos 2theta} over{ cos 2theta} right) ^{2} sin theta left( sin {pi } over {4} `cos theta - cos pi over 4 `sin theta RIGHT )]
[eqn: = 1 over 2 left( {1- cos 2theta} over{ cos 2theta} right) ^{2} left( sin theta cos theta - sin^2 theta RIGHT )]	[eqn: cdotscdots] ㉡

[eqn: lim _{theta ``->`` 0+} { {g( theta )} over {theta ^{4} TIMES f( theta )}}]

[eqn: = lim _{theta ``->`` 0+} { left( {1- cos 2theta} over{ cos 2theta} right) ^{2} left( sin theta cos theta - sin^2 theta RIGHT )} over{ theta^4 sin 2theta]

[eqn: = lim _{theta ``->`` 0+} { left( {1- cos 2theta} over{ cos 2theta} right) ^{2} left( sin theta cos theta - sin^2 theta RIGHT )} over{ 2 theta^4 sin theta cos theta]

[eqn: = lim _{theta ``->`` 0+} { left( {1- cos 2theta} over{ cos 2theta} right) ^{2} }over{ 2 theta^4 } cdot {left( sin theta cos theta - sin^2 theta RIGHT )}over{ sin theta cos theta]

[eqn: = lim _{theta ``->`` 0+} { left( {1- cos 2theta} over{ cos 2theta} right) ^{2} }over{ 2 theta^4 } cdot {(1- tan theta)]

[eqn: = lim _{theta ``->`` 0+} { left( {1- cos 2theta} over{ cos 2theta} right) ^{2} }over{ 2 theta^4 } cdot lim _{theta ``->`` 0+} {(1- tan theta)]

[eqn: = 1over2 lim _{theta ``->`` 0+} {left({1over{cos 2theta}right)^2{LEFT ({1-cos 2theta}over{theta^2}right ) ^{2}} cdot 1]

[eqn: = 1over2 lim _{theta ``->`` 0+} {left({1over{cos 2theta}right)^2{LEFT ({sin^2 2theta}over{theta^2} times {1over{1+cos 2theta}right ) ^{2}}]

[eqn: = 1over2 times 1times left(2^2 times 1over{1+1} right)^2]

[eqn: =2]

[eqn: ANGLE rm OAP= theta]일 때, 삼각형 [eqn: rmOAP]의 넓이를 [eqn: f( theta )], 삼각형 [eqn: rmPQR]의 넓이를 [eqn: g( theta )]라 하자.

[eqn: lim _{theta ``->`` 0+} { {g( theta )} over {theta ^{4} TIMES f( theta )}}]의 값은? [eqn: pile{ it#it }right(]단, [eqn: 0< theta < {pi} over {4}][eqn: pile{ it#it} right)]

① [eqn: 2]	② [eqn: {5} over {2}]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: {7} over {2}]	⑤ [eqn: 4]

[출처]	2021 모의_공공 평가원 고3 예비 미적분 28

그림과 같이 길이가 [eqn: rm 2]인 선분 [eqn: {rm{AB}} it]를 지름으로 하는 반원의 호 위에 점 [eqn: {rm{P}} it]가 있고, 선분 [eqn: {rm{AB}} it] 위에 점 [eqn: {rm{Q}} it]가 있다. [eqn: angle {rm{PAB}} it = theta]이고 [eqn: angle {rm{APQ}} it ={ theta} over {3}]일 때, 삼각형 [eqn: {rm{PAQ}} it]의 넓이를 [eqn: S( theta)], 선분 [eqn: {rm{PB}} it]의 길이를 [eqn: l( theta)]라 하자. [eqn: lim _{ theta ``rarrow`` 0+} {S( theta)} over {l( theta)}]의 값은? (단, [eqn: 0< theta<{ pi} over {4}])

[정답] ③

[해설]

[eqn: rm barAP = 2 cos theta], [eqn: rm barAQ =][eqn: rm barAP][eqn: times { sin theta over3} over{ sin { 4 over3 theta}][eqn: = { 2 cos theta sin theta over3} over{ sin 4 over3 theta]

[eqn: S( theta)= 1 over2 rm barAP barAQ sin theta][eqn: = {2 cos theta `sin theta over3 ` sin theta} over{ sin 4 over3 theta]

[eqn: l( theta) = rm 2 sin theta]

[eqn: THEREFORE][eqn: lim_{ theta->0+}{ S( theta)} over{ l( theta)} =][eqn: lim_{ theta->0+} { sin theta over3} over{ sin 4 over3 theta][eqn: = 1 over4]

① [eqn: {1} over {12}]	② [eqn: {1} over {6}]	③ [eqn: {1} over {4}]

④ [eqn: {1} over {3}]	⑤ [eqn: {5} over {12}]

[출처]	2021 모의_공공 평가원 고3 11월 29

그림과 같이 길이가 [eqn: 2]인 선분 [eqn: rmAB]를 지름으로 하는 반원이 있다. 호 [eqn: rmAB] 위에 두 점 [eqn: rmP,~Q]를 [eqn: {rmANGLE PAB}=theta], [eqn: {rmANGLE QBA}=2theta]가 되도록 잡고, 두 선분 [eqn: rmAP,~BQ]의 교점을 [eqn: rmR]라 하자.

[정답] [eqn: 11]

[해설]

선분 [eqn: rmAB]의 중점을 [eqn: rmM]이라 하면

[eqn: ANGLE rm AMQ=2 TIMES ANGLE rm ABQ=2 TIMES 2theta=4theta]

이므로

(부채꼴 [eqn: rmAMQ]의 넓이)[eqn: = {1} over {2} TIMES 1 ^{2} TIMES 4theta=2theta],

(삼각형 [eqn: rmMBQ]의 넓이)[eqn: = {1} over {2} TIMES 1 ^{2} TIMES `sin` LEFT ( pi-4theta RIGHT ) = {1} over {2} `sin`4theta]

삼각형 [eqn: rm RAB]에서 [eqn: ANGLE rmARB=pi-3theta]이므로 사인법칙에 의하여

[eqn: {2} over {sin` LEFT ( pi-3theta RIGHT )} = {bar{rmBR}} over {sin`theta}],

즉

[eqn: bar{rmBR}= {2sin`theta} over {sin`3theta}]

이므로

(삼각형 [eqn: rm RAB]의 넓이)[eqn: = {1} over {2} TIMES {bar{rm AB}} TIMES {bar{rm BR}} TIMES ` sin`2theta]
[eqn: = {1} over {2} TIMES 2 TIMES {2sin` theta } over {sin`3 theta } TIMES `sin`2 theta]
[eqn: = {2sin` theta `sin`2 theta } over {sin`3 theta }]

그러므로

[eqn: f LEFT ( theta RIGHT ) =2 theta + {1} over {2}` sin`4 theta - {2sin` theta `sin`2 theta } over {sin`3 theta }]

이므로

[eqn: lim _{theta`->`0+} {`} {f LEFT ( theta RIGHT )} over {theta}][eqn: = lim _{theta ` rarrow `0+} {`} LEFT ( 2+2 TIMES {sin`4 theta } over {4 theta } - {4 TIMES {sin` theta } over {theta } TIMES {sin`2 theta } over {2 theta }} over {3 TIMES {sin`3theta} over {3theta}} RIGHT )]
[eqn: =2+2- {4} over {3} = {8} over {3}][eqn: CDOTS CDOTS] ㉠

정삼각형 [eqn: rmSTU]의 한 변의 길이를 [eqn: a]라 하면 삼각형 [eqn: rmTSB]에서 사인법칙에 의하여

[eqn: {a} over {sin`2theta} = {bar{rmBT}} over {sin` {pi} over {3}}],

즉

[eqn: bar{rmBT}=it {sqrt {3} a} over {2sin`2theta}]

두 삼각형 [eqn: rmRUT], [eqn: rmRAB]가 서로 닮음이므로

[eqn: bar{rmRT}`:`bar{rmRB}=bar{rmUT}`:`bar{rmAB}]

[eqn: {2sin`theta} over {sin`3theta} - {sqrt {3} a} over {2sin`2theta} `:` {2sin`theta} over {sin`3theta} =a`:`2]

[eqn: {2sin`theta} over {sin`3theta} a= {4sin`theta} over {sin`3theta} - {sqrt {3}} over {sin`2theta} a]

[eqn: LEFT ( {2sin`theta} over {sin`3theta} + {sqrt {3}} over {sin`2theta} RIGHT ) a= {4sin`theta} over {sin`3theta}]

[eqn: {2sin` theta `sin`2 theta + sqrt {3}` sin`3 theta } over {sin`2 theta `sin`3 theta } a= {4sin` theta } over {sin`3 theta }]

[eqn: a= {4sin` theta } over {sin`3 theta } TIMES {sin`2 theta `sin`3 theta } over {2sin` theta `sin`2 theta + sqrt {3} `sin`3 theta }]

이때

[eqn: g LEFT ( theta RIGHT ) = {sqrt {3}} over {4} a ^{2}]

이고

[eqn: lim _{theta ` rarrow `0+} {`} {a} over {theta}][eqn: = lim _{theta ` rarrow `0+} {`} LEFT ( {4sin` theta } over {sin`3 theta } TIMES {sin`2 theta `sin`3 theta } over {2sin` theta `sin`2 theta + sqrt {3}` sin`3 theta } TIMES {1} over {theta } RIGHT )]
[eqn: = lim _{theta ` rarrow `0+} {`} LEFT ( {4sin` theta } over {sin`3 theta } TIMES {{sin`2theta`sin`3theta} over {theta ^{2}}} over {{2sin`theta`sin`2theta+ sqrt {3} `sin`3theta} over {theta}} RIGHT )]
[eqn: = {4} over {3} TIMES {2 TIMES 3} over {0+3 sqrt {3}}]
[eqn: = {8} over {3 sqrt {3}}]

이므로

[eqn: lim _{theta`->`0+} {`} {g LEFT ( theta RIGHT )} over {theta ^{2}}][eqn: = {sqrt {3}} over {4} lim _{theta`->`0+} {`} LEFT ( {a} over {theta} RIGHT ) ^{2}]
[eqn: = {sqrt {3}} over {4} TIMES LEFT ( {8} over {3 sqrt {3}} RIGHT ) ^{2}]
[eqn: = {16 sqrt {3}} over {27}][eqn: CDOTS CDOTS] ㉡

따라서 ㉠, ㉡에서

[eqn: lim _{theta ` rarrow `0+} {`} {g LEFT ( theta RIGHT )} over {theta TIMES f LEFT ( theta RIGHT )}][eqn: = lim _{theta`->`0+} {`} {{g LEFT ( theta RIGHT )} over {theta ^{2}}} over {{f LEFT ( theta RIGHT )} over {theta}}]
[eqn: = {lim _{theta`->`0+} {`} {g LEFT ( theta RIGHT )} over {theta ^{2}}} over {lim _{theta`->`0+} {`} {f LEFT ( theta RIGHT )} over {theta}}]
[eqn: = {{16 sqrt {3}} over {27}} over {{8} over {3}}]
[eqn: = {2} over {9} sqrt {3}]

이므로

[eqn: p+q=9+2=11]

선분 [eqn: rmAB] 위의 점 [eqn: rmS], 선분 [eqn: rmBR] 위의 점 [eqn: rmT], 선분 [eqn: rmAR] 위의 점 [eqn: rmU]를 선분 [eqn: rmUT]가 선분 [eqn: rmAB]에 평행하고 삼각형 [eqn: rmSTU]가 정삼각형이 되도록 잡는다. 두 선분 [eqn: rmAR,~QR]와 호 [eqn: rmAQ]로 둘러싸인 부분의 넓이를 [eqn: f LEFT ( theta RIGHT )], 삼각형 [eqn: rmSTU]의 넓이를 [eqn: g LEFT ( theta RIGHT )]라 할 때, [eqn: lim _{theta`-> `0+} {` {g LEFT ( theta RIGHT )} over {theta TIMES f LEFT ( theta RIGHT )}} = {q} over {p} sqrt {3}]이다. [eqn: p+q]의 값을 구하시오.
(단, [eqn: 0<theta< {pi} over {6}]이고, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.)

[출처]	2022 모의_공공 평가원 고3 11월 미적분 28

그림과 같이 중심이 [eqn: {rm{O}} it]이고 길이가 [eqn: rm 2]인 선분 [eqn: {rm{AB}} it]를 지름으로 하는 반원 위에 [eqn: ANGLE rm AOC it = {pi } over {2}]인 점 [eqn: {rm{C}} it]가 있다. 호 [eqn: {rm{BC}} it] 위에 점 [eqn: {rm{P}} it]와 호 [eqn: {rm{CA}} it] 위에 점 [eqn: {rm{Q}} it]를 [eqn: {bar{rm PB it}} = {bar{rm QC it}}]가 되도록 잡고, 선분 [eqn: {rm{AP}} it] 위에 점 [eqn: {rm{R}} it]를 [eqn: ANGLE rm CQR it = {pi } over {2}]가 되도록 잡는다. 선분 [eqn: {rm{AP}} it]와 선분 [eqn: {rm{CO}} it]의 교점을 [eqn: {rm{S}} it]라 하자. [eqn: ANGLE rm PAB it = theta]일 때, 삼각형 [eqn: {rm{POB}} it]의 넓이를 [eqn: f LEFT ( theta RIGHT )], 사각형 [eqn: {rm{CQRS}} it]의 넓이를 [eqn: g LEFT ( theta RIGHT )]라 하자. [eqn: lim _{theta ``->`` 0+} {} {3f LEFT ( theta RIGHT )-2g LEFT ( theta RIGHT )} over {theta ^{2}}]의 값은? [eqn: LEFT ( pile{`#`}]단, [eqn: 0< theta < {pi } over {4}][eqn: pile{`#`} RIGHT ) ``]

[정답] ②

[해설]

[eqn: angle {rm{OAP}} it = angle {rm{OPA}} it = theta]이므로    [eqn: angle {rm{BOP}} it =2 theta]

[eqn: therefore] [eqn: f( theta)={1} over {2} sin 2 theta]

또한, [eqn: overline{{rm{OA}} it }=1]에서 [eqn: overline{{rm{OS}} it }= tan theta]이므로

[eqn: overline{{rm{CS}} it }=1- tan theta]

이때, [eqn: angle {rm{BOP}} it = angle {rm{COQ}} it =2 theta]이고 삼각형 [eqn: {rm{OCQ}} it]는 이등변삼각형이므로

[eqn: angle {rm{SCQ}} it ={ pi} over {2}- theta]

또한, [eqn: angle {rm{CSR}} it = theta+{ pi} over {2}]이므로    [eqn: angle {rm{QRS}} it ={ pi} over {2}]

따라서 점 [eqn: {rm{S}} it]에서 변 [eqn: {rm{CQ}} it]에 내린 수선의 발을 [eqn: {rm{H}} it]라 하면

[eqn: angle {rm{CSH}} it = theta]

이므로

[eqn: overline{{rm{SH}} it }= overline{{rm{RQ}} it }=(1- tan theta) cos theta]

[eqn: overline{{rm{CH}} it }=(1- tan theta) sin theta]

이고

[eqn: {rm{barCQ}} it ={rm{barBP}} it =2 sin theta]

[eqn: overline{{rm{RS}} it }][eqn: = overline{{rm{QH}} it }= overline{{rm{CQ}} it }- overline{{rm{CH}} it }]
[eqn: =2 sin theta-( sin theta- sin theta tan theta)]
[eqn: = sin theta+ sin theta tan theta]
[eqn: =sin`theta left(1+tan`theta right)]

[eqn: therefore] [eqn: g( theta)][eqn: ={1} over {2} times( overline{{rm{CQ}} it }+ overline{{rm{RS}} it }) times overline{{rm{QR}} it }]
[eqn: ={1} over {2} `sin`theta(3+ tan theta)][eqn: times(1- tan theta) cos theta]

[eqn: 3 f( theta)-2 g( theta)][eqn: ={3} over {2} sin 2 theta-sin`theta`cos`theta left(3 + tan theta right)left(1- tan theta right)]
[eqn: =3 sin theta cos theta- sin theta cos theta(3+ tan theta)(1- tan theta)]
[eqn: = sin theta cos theta tan theta( tan theta+2)]

[eqn: therefore] [eqn: lim _{ theta ``rarrow`` 0+} {3 f( theta)-2 g( theta)} over { theta^{2}}]
[eqn: = lim _{ theta ``rarrow`` 0+} { sin theta cos theta tan theta( tan theta+2)} over { theta^{2}}]
[eqn: = lim _{ theta ``rarrow`` 0+} left{ { sin theta} over { theta} times { tan theta} over { theta} times cos theta times( tan theta+2) it right}]
[eqn: =1 times 1 times 1 times 2=2]

① [eqn: rm 1]	② [eqn: rm 2]	③ [eqn: rm 3]

④ [eqn: rm 4]	⑤ [eqn: rm 5]

[출처]	2022 모의_공공 사관학교 고3 07월 미적분 29

그림과 같이 반지름의 길이가 [eqn: 5`]이고 중심각의 크기가 [eqn: pi over 2 `]인 부채꼴 [eqn: rmOAB`]에서 선분 [eqn: rmOB`]를 [eqn: 2`:`3`]으로 내분하는 점을 [eqn: rmC`]라 하자. 점 [eqn: rmP`]에서 호 [eqn: rmAB`]에 접하는 직선과 직선 [eqn: rmOB`]의 교점을 [eqn: rmQ`]라 하고, 점 [eqn: rmC`]에서 선분 [eqn: rmPB`]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmR], 점 [eqn: rmR`]에서 선분 [eqn: rmPQ`]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmS`]라 하자. [eqn: rm angle POB = theta`]일 때, 삼각형 [eqn: rmOCP`]의 넓이를 [eqn: f LEFT ( theta RIGHT )], 삼각형 [eqn: rmPRS`]의 넓이를 [eqn: g LEFT ( theta RIGHT )`]라 하자. [eqn: 80 times lim _{ theta`->`0+} { {g LEFT ( theta RIGHT ) } over { theta^2 times f LEFT ( theta RIGHT ) }}`]의 값을 구하시오. [eqn: LEFT ( pile{`#`}]단, [eqn: 0 <theta < pi over 2 RIGHT )]

[정답] [eqn: 49]

[해설]

[eqn: rmbarOC =2], [eqn: rmbarOP =5]이므로

[eqn: f left(theta right)= 1over2 times2times5 sin`theta=5sin`theta]	[eqn: cdotscdots] ㉠

삼각형 [eqn: rmOBP]는 이등변삼각형이므로

[eqn: rmbarBP =2times5sin`theta over2 =10sin`theta over2]

[eqn: angle rmOBP={pi-theta}over2]이므로 [eqn: angle rmBCR= theta over2]이고 [eqn: rmbarBR =3sin`theta over2]

[eqn: therefore][eqn: rmbarPR =barBP -barBR =7sin`theta over2]	[eqn: cdotscdots] ㉡

[eqn: angle rmOPQ = pi over2]이고 [eqn: rm angleOPB ={pi -theta}over2]이므로

[eqn: angle rmRPS= theta over2]	[eqn: cdotscdots] ㉢

[eqn: therefore][eqn: rmbarPS =barPR cos`theta over2 =7sin`theta over2 `cos`theta over2]	[eqn: cdotscdots] ㉣

㉡, ㉢, ㉣에서

[eqn: g left(theta right)][eqn: = 1over2 times7sin`theta over2 times7sin`theta over2 `cos`theta over2 times sin`theta over2]
[eqn: = 49over2 sin`^3 theta over2 cos`theta over2]	[eqn: cdotscdots] ㉤

㉠, ㉤에서

[eqn: 80times lim_{theta`->`0+}{g left(theta right)}over{theta^2 times f left(theta right)]

[eqn: =80times lim_{theta`->`0+}{49over2 sin`^3 theta over2 `cos`theta over2}over{theta^2 times5sin`theta]

[eqn: =8times49lim_{theta`->`0+}{sin`^3 theta over2 `cos`theta over2}over{theta^2 times sin`theta]

[eqn: =8times49 lim_{theta`->`0+}left({sin`theta over2}over{theta over2}right)^3 times {cos`theta over2}times 1over{left({sin`theta}overtheta right)}times 1over8]

[eqn: =8times49times 1over8 =49]

[출처]	2022 모의_공공 평가원 고3 09월 미적분 28

그림과 같이 반지름의 길이가 [eqn: rm 1]이고 중심각의 크기가 [eqn: { pi} over {2}]인 부채꼴 [eqn: {rm{OAB}} it]가 있다. 호 [eqn: {rm{AB}} it] 위의 점 [eqn: {rm{P}} it]에 대하여 [eqn: overline{{rm{PA}} it }= overline{{rm{PC}} it }= overline{{rm{PD}} it }]가 되도록 호 [eqn: {rm{PB}} it] 위에 점 [eqn: {rm{C}} it]와 선분 [eqn: {rm{OA}} it] 위에 점 [eqn: {rm{D}} it]를 잡는다. 점 [eqn: {rm{D}} it]를 지나고 선분 [eqn: {rm{OP}} it]와 평행한 직선이 선분 [eqn: {rm{PA}} it]와 만나는 점을 [eqn: {rm{E}} it]라 하자. [eqn: angle {rm{POA}} it = theta]일 때, 삼각형 [eqn: {rm{CDP}} it]의 넓이를 [eqn: f( theta)], 삼각형 [eqn: {rm{EDA}} it]의 넓이를 [eqn: g( theta)]라 하자. [eqn: lim _{ theta ``rarrow`` 0+} {g( theta)} over { theta^{2} times f( theta)}]의 값은? (단, [eqn: 0< theta<{ pi} over {4}])

[정답] ④

[해설]

[eqn: overline{{rm{AP}} it }= overline{{rm{PC}} it }]이므로 삼각형 [eqn: {rm{OPC}} it]에서

[eqn: angle {rm{COP}} it = angle {rm{POA}} it = theta]

또, 점 [eqn: {rm{O}} it]에서 선분 [eqn: {rm{AP}} it]에 내린 수선의

발을 [eqn: {rm{H}} it _{1}]이라 하면

[eqn: angle {rm{H}} it _{1} {rm{OA}} it ={ theta} over {2}]

이므로

[eqn: overline{{rm{AP}} it }][eqn: =2 overline{{rm{AH}} it _{1}}][eqn: =2 times overline{{rm{OA}} it } sin { theta} over {2}][eqn: =2 sin { theta} over {2}]	[eqn: cdots][eqn: cdots] ㉠

한편, 점 [eqn: {rm{P}} it]에서 선분 [eqn: {rm{DA}} it]에 내린 수선의 발을 [eqn: {rm{H}} it _{2}]라 하면

[eqn: angle {rm{APD}} it][eqn: =2 angle {rm{APH}} it _{2}]
[eqn: =2 times left{ pi- left( angle {rm{PH}} it _{2} {rm{A}} it + angle {rm{H}} it _{2} {rm{AP}} it right) it right}]
[eqn: =2 times left[ pi- left{ { pi} over {2}+ left({ pi} over {2}-{ theta} over {2} right) it right} right]]
[eqn: = theta]

또한

[eqn: angle {rm{APO}} it = angle {rm{OPC}} it ={ pi} over {2}-{ theta} over {2}]

이므로

[eqn: angle {rm{DPC}} it][eqn: = angle {rm{APO}} it + angle {rm{OPC}} it - angle {rm{APD}} it]
[eqn: = left({ pi} over {2}-{ theta} over {2} right)+ left({ pi} over {2}-{ theta} over {2} right)- theta]
[eqn: = pi-2 theta]	[eqn: cdots][eqn: cdots]㉡

㉠과 ㉡으로부터

[eqn: f( theta)][eqn: ={1} over {2} times overline{{rm{PD}} it } times overline{{rm{PC}} it } times sin ( pi-2 theta)]
[eqn: ={1} over {2} times left(2 sin { theta} over {2} right)^{2} times sin 2 theta]
[eqn: =2 times left( sin { theta} over {2} right)^{2} times sin 2 theta]

또, ㉠으로부터 삼각형 [eqn: {rm{APD}} it]에서

[eqn: overline{{rm{DA}} it }][eqn: =2 overline{{rm{AP}} it } cos left({ pi} over {2}-{ theta} over {2} right)]
[eqn: =2 times 2 sin { theta} over {2} times sin { theta} over {2}]
[eqn: =4 left( sin { theta} over {2} right)^{2}]

이때, 두 삼각형 [eqn: {rm{OAP}} it], [eqn: {rm{DAE}} it]는 닮음이고 [eqn: overline{{rm{OA}} it }=1], [eqn: overline{{rm{DA}} it }=4 left( sin { theta} over {2} right)^{2}]이므로

[eqn: g( theta)][eqn: = triangle {rm{DAE}} it]
[eqn: =4^{2} times left( sin { theta} over {2} right)^{4} times triangle {rm{OAP}} it]
[eqn: =16 times left( sin { theta} over {2} right)^{4} times {1} over {2} sin theta]
[eqn: =8 TIMES LEFT ( sin {theta } over {2} RIGHT ) ^{4} TIMES `sin theta]

따라서,

[eqn: lim _{ theta ``rarrow`` 0+} {g( theta)} over { theta^{2} times f( theta)}][eqn: = lim _{ theta ``rarrow`` 0+} {8 times left( sin { theta} over {2} right)^{4} times sin theta} over { theta^{2} times 2 times left( sin { theta} over {2} right)^{2} times sin 2 theta}][eqn: = lim _{ theta ``rarrow`` 0+} {4 times left( sin { theta} over {2} right)^{2} times sin theta} over { theta^{2} times sin 2 theta}]
[eqn: = lim _{theta `` rarrow ``0+} {} {4 TIMES LEFT ( {sin {theta } over {2}} over {{theta } over {2}} RIGHT ) ^{2} TIMES {sin theta } over {theta } TIMES {1} over {4}} over {{sin2 theta } over {2 theta } TIMES 2}]
[eqn: = {1} over {2}]

① [eqn: {1} over {8}]	② [eqn: {1} over {4}]	③ [eqn: {3} over {8}]

④ [eqn: {1} over {2}]	⑤ [eqn: {5} over {8}]

[출처]	2022 모의_공공 평가원 고3 06월 미적분 29

그림과 같이 반지름의 길이가 [eqn: rm 1]이고 중심각의 크기가 [eqn: { pi} over {2}]인 부채꼴 [eqn: {rm{OAB}} it]가 있다. 호 [eqn: {rm{AB}} it] 위의 점 [eqn: {rm{P}} it]에서 선분 [eqn: {rm{OA}} it]에 내린 수선의 발을 [eqn: {rm{H}} it]라 하고, [eqn: angle {rm{OAP}} it]를 이등분하는 직선과 세 선분 [eqn: {rm{HP}} it], [eqn: {rm{OP}} it], [eqn: {rm{OB}} it]의 교점을 각각 [eqn: {rm{Q}} it], [eqn: {rm{R}} it], [eqn: {rm{S}} it]라 하자. [eqn: angle {rm{APH}} it = theta]일 때, 삼각형 [eqn: {rm{AQH}} it]의 넓이를 [eqn: f( theta)], 삼각형 [eqn: {rm{PSR}} it]의 넓이를 [eqn: g( theta)]라 하자. [eqn: lim _{ theta ``rarrow`` 0+} { theta^{3} times g( theta)} over {f( theta)}=k]일 때, [eqn: 100 k]의 값을 구하시오. (단, [eqn: 0< theta<{ pi} over {4}])

[정답] [eqn: 50]

[해설]

직각삼각형 [eqn: {rm{AHP}} it]에서 [eqn: angle {rm{APH}} it = theta]이므로

[eqn: angle {rm{HAP}} it ={ pi} over {2}- theta]

한편, 삼각형 [eqn: {rm{OPA}} it]는

[eqn: {rm{OP}} it ={rm{OA}} it =1]

인 이등변삼각형이므로

[eqn: angle {rm{AOP}} it][eqn: = pi-2 times angle {rm{HAP}} it]
[eqn: = pi-2 times left({ pi} over {2}- theta right)]
[eqn: =2 theta]

그러므로

[eqn: overline{{rm{AH}} it }=1- overline{{rm{OH}} it }]

[eqn: =1-{rm{OP}} it cos 2 theta]
[eqn: =1- cos 2 theta][eqn: CDOTS CDOTS]㉠
또,
[eqn: angle {rm{HAQ}} it ={1} over {2} angle {rm{HAP}} it]
[eqn: ={1} over {2} left({ pi} over {2}- theta right)]
[eqn: ={ pi} over {4}-{ theta} over {2}]
이므로
[eqn: overline{{rm{HQ}} it }= overline{{rm{AH}} it } tan left({ pi} over {4}-{ theta} over {2} right)]
[eqn: =(1-cos2 theta )tan LEFT ( {pi } over {4} - {theta } over {2} RIGHT )][eqn: CDOTS CDOTS]㉡

㉠과 ㉡에서

[eqn: f( theta)={1} over {2} times overline{{rm{AH}} it } times overline{{rm{HQ}} it }]

[eqn: ~ ={1} over {2} times(1- cos 2 theta)^{2} times tan left({ pi} over {4}-{ theta} over {2} right)]

[eqn: ~ ={1} over {2} times { sin ^{4} 2 theta} over {(1+ cos 2 theta)^{2}} times tan left({ pi} over {4}-{ theta} over {2} right)]

그러므로

[eqn: lim _{theta ``->`` 0-} { {f LEFT ( theta RIGHT )} over {theta ^{4}}}]

[eqn: ={ 1} over { 2} TIMES16 lim _{ theta ``->`` 0+} { LEFT ( { sin 2theta} over {2theta } RIGHT )^4 } TIMES lim _{ theta ``->`` 0+} { { 1} over { LEFT ( 1+cos 2theta RIGHT )^2 } }]

[eqn: times lim _{ theta ``rarrow`` 0+} tan left({ pi} over {4}-{ theta} over {2} right)]

[eqn: ={1} over {2} times 16 times 1^{2} times {1} over {4} times 1]

[eqn: =2][eqn: CDOTS CDOTS]㉢

한편, 이등변삼각형 [eqn: {rm{OPA}} it]에서 점 [eqn: {rm{O}} it]에서

선분 [eqn: {rm{PA}} it]에 내린 수선의 발을 [eqn: {rm{H}} it `prime]이라

하면 ㉠에서 [eqn: angle {rm{H}} it `prime {rm{OP}} it = theta]이므로

[eqn: overline{{rm{AP}} it }=2 overline{{rm{PH}} it `prime }]

[eqn: =2 times overline{{rm{OP}} it } times sin theta]

[eqn: =2 sin theta]

삼각형 [eqn: {rm{AOP}} it]에서 각의 이등분선이 선분

[eqn: {rm{OP}} it]와 만나는 점이 [eqn: {rm{R}} it]이므로

[eqn: overline{{rm{AO}} it }: overline{{rm{AP}} it }= overline{{rm{OR}} it }: overline{{rm{RP}} it }]

[eqn: rm 1]: [eqn: 2 sin theta={rm{OR}} it : 1-{rm{OR}} it]

[eqn: 2 sin theta times overline{{rm{OR}} it }=1- overline{{rm{OR}} it }]

[eqn: overline{{rm{OR}} it }={1} over {1+2 sin theta}][eqn: CDOTS CDOTS]㉣

또,

[eqn: overline{{rm{OS}} it }][eqn: = overline{{rm{OA}} it } tan ( angle {rm{SAO}} it )]
[eqn: =1 times tan left({ pi} over {4}-{ theta} over {2} right)]
[eqn: = tan left({ pi} over {4}-{ theta} over {2} right) ~ cdots-(a)]

㉣과 ㉤에서

[eqn: g( theta)=][eqn: triangle {rm{OSP}} it - triangle {rm{OSR}} it]
[eqn: = {1} over {2} times overline{{rm{OS}} it } times overline{{rm{OP}} it } times sin ( angle {rm{POS}} it )]
[eqn: -{1} over {2} times overline{{rm{OS}} it } times overline{{rm{OR}} it } times sin ( angle {rm{POS}} it )]
[eqn: ={1} over {2} times overline{{rm{OS}} it } times sin ( angle {rm{POS}} it ) times( overline{{rm{OP}} it }- overline{{rm{OR}} it })]
[eqn: ={1} over {2} times tan left({ pi} over {4}-{ theta} over {2} right) times sin left({ pi} over {2}-2 theta right)]
[eqn: times left(1-{1} over {2 sin theta+1} right)]
[eqn: ={1} over {2} times tan left({ pi} over {4}-{ theta} over {2} right) times sin left({ pi} over {2}-2 theta right)]

[eqn: ~ times {2 sin theta} over {2 sin theta+1}]

그러므로

[eqn: lim _{ theta ``rarrow`` 0+} {g( theta)} over { theta}]

[eqn: ={1} over {2} times lim _{ theta ``rarrow`` 0+} tan left({ pi} over {4}-{ theta} over {2} right) times lim _{ theta ``rarrow`` 0+} sin left({ pi} over {2}-2 theta right)]

[eqn: times 2 lim _{ theta ``rarrow`` 0+} { sin theta} over { theta} times lim _{ theta ``rarrow`` 0+} {1} over {2 sin theta+1}]

[eqn: ={1} over {2} times 1 times 1 times 2 times 1 times 1=1][eqn: CDOTS CDOTS]㉥

따라서, ㉢과 ㉥을 이용하면

[eqn: lim _{ theta ``rarrow`` 0+} { theta^{3} times g( theta)} over {f( theta)}]
[eqn: = lim _{ theta ``rarrow`` 0+} {{g( theta)} over { theta}} over {{f( theta)} over { theta^{4}}}]
[eqn: = {1} over {2}]
이므로
[eqn: 100 k=100 times {1} over {2}=50]

[출처]	2022 모의_공공 교육청 고3 10월 미적분 29

그림과 같이 길이가 [eqn: rm 2]인 선분 [eqn: {rm{AB}} it]를 지름으로 하는 반원이 있다. 선분 [eqn: {rm{AB}} it]의 중점을 [eqn: {rm{O}} it]라 하고 호 [eqn: {rm{AB}} it] 위에 두 점 [eqn: {rm{P}} it], [eqn: {rm{Q}} it]를

[정답] [eqn: 20]

[해설]

[eqn: angle {rm{RBO}} it = angle {rm{BRQ}} it ={1} over {2} angle {rm{BOQ}} it = theta]이므로

[eqn: angle {rm{OST}} it =2 theta], [eqn: angle {rm{OTS}} it = pi-3 theta]

삼각형 [eqn: {rm{OBS}} it]에서 사인법칙에 의하여

[eqn: { overline{{rm{OS}} it }} over { sin theta}={1} over { sin ( pi-2 theta)}], [eqn: overline{{rm{OS}} it }={ sin theta} over { sin 2 theta}]

삼각형 [eqn: {rm{OBT}} it]에서 사인법칙에 의하여

[eqn: { overline{{rm{OT}} it }} over { sin theta}={1} over { sin ( pi-3 theta)}], [eqn: overline{{rm{OT}} it }={ sin theta} over { sin 3 theta}]

[eqn: angle {rm{ROA}} it =2 times angle {rm{RBA}} it =2 theta], [eqn: angle {rm{T OR}} it = pi-4 theta]

[eqn: f( theta)=(]부채꼴 [eqn: {rm{ORA}} it]의 넓이[eqn: )][eqn: +](삼각형 [eqn: rm OTR]의 넓이)

[eqn: ={1} over {2} times 1^{2} times 2 theta+{1} over {2} times 1 times overline{{rm{OT}} it } times sin ( pi-4 theta)]

[eqn: = theta+{ sin theta sin 4 theta} over {2 sin 3 theta}]

[eqn: lim _{ theta ``rarrow`` 0+} {f( theta)} over { theta}= lim _{ theta ``rarrow`` 0+} left(1+{4 times { sin theta} over { theta} times { sin 4 theta} over {4 theta}} over {6 times { sin 3 theta} over {3 theta}} right)]

[eqn: =1+{4 times 1 times 1} over {6 times 1}={5} over {3}]

[eqn: g( theta)=(]부채꼴 [eqn: {rm{OPQ}} it]의 넓이[eqn: )][eqn: -] (삼각형 [eqn: rm OST]의 넓이)

[eqn: ={1} over {2} times 1^{2} times theta-{1} over {2} times overline{{rm{OS}} it } times overline{{rm{OT}} it } times sin theta]
[eqn: ={ theta} over {2}-{ sin ^{3} theta} over {2 sin 2 theta sin 3 theta}]

[eqn: lim _{ theta ``rarrow`` 0+} {g( theta)} over { theta}= lim _{ theta ``rarrow`` 0+} left{ {1} over {2}-{ left({ sin theta} over { theta} right)^{3}} over {12 times { sin 2 theta} over {2 theta} times { sin 3 theta} over {3 theta}} it right}]

[eqn: ={1} over {2}-{1^{3}} over {12 times 1 times 1}={5} over {12}]
[eqn: lim _{ theta ``rarrow`` 0+} {g( theta)} over {f( theta)} = lim _{ theta ``rarrow`` 0+} {{g( theta)} over { theta}} over {{f( theta)} over { theta}}={1} over {4}]

따라서 [eqn: a={1} over {4}]이므로 [eqn: 80 a=80 times {1} over {4}=20]

[eqn: angle {rm{BOP}} it = theta], [eqn: ~ angle {rm{BOQ}} it =2 theta]

가 되도록 잡는다. 점 [eqn: {rm{Q}} it]를 지나고 선분 [eqn: {rm{AB}} it]에 평행한 직선이 호 [eqn: {rm{AB}} it]와 만나는 점 중 [eqn: {rm{Q}} it]가 아닌 점을 [eqn: {rm{R}} it]라 하고, 선분 [eqn: {rm{BR}} it]가 두 선분 [eqn: {rm{OP}} it], [eqn: {rm{OQ}} it]와 만나는 점을 각각 [eqn: {rm{S}} it], [eqn: {rm{T}} it]라 하자.

세 선분 [eqn: {rm{AO}} it], [eqn: {rm{OT}} it], [eqn: {rm{TR}} it]와 호 [eqn: {rm{RA}} it]로 둘러싸인 부분의 넓이를 [eqn: f( theta)]라 하고, 세 선분 [eqn: {rm{QT}} it], [eqn: {rm{TS}} it], [eqn: {rm{SP}} it]와 호 [eqn: {rm{PQ}} it]로 둘러싸인 부분의 넓이를 [eqn: g( theta)]라 하자. [eqn: lim _{ theta ``rarrow`` 0+} {g( theta)} over {f( theta)}=a]일 때, [eqn: 80 a]의 값을 구하시오. (단, [eqn: 0< theta<{ pi} over {4}])

[출처]	2022 모의_공공 교육청 고3 07월 미적분 29

그림과 같이 길이가 [eqn: rm 2]인 선분 [eqn: {rm{AB}} it]를 지름으로 하는 반원의 호 [eqn: {rm{AB}} it] 위에 점 [eqn: {rm{P}} it]가 있다. 호 [eqn: {rm{AP}} it] 위에 점 [eqn: {rm{Q}} it]를 호 [eqn: {rm{PB}} it]와 호 [eqn: {rm{PQ}} it]의 길이가 같도록 잡을 때, 두 선분 [eqn: {rm{AP}} it], [eqn: {rm{BQ}} it]가 만나는 점을 [eqn: {rm{R}} it]라 하고 점 [eqn: {rm{B}} it]를 지나고 선분 [eqn: {rm{AB}} it]에 수직인 직선이 직선 [eqn: {rm{AP}} it]와 만나는 점을 [eqn: {rm{S}} it]라 하자. [eqn: angle {rm{BAP}} it = theta]라 할 때, 두 선분 [eqn: {rm{PR}} it], [eqn: {rm{QR}} it]와 호 [eqn: {rm{PQ}} it]로 둘러싸인 부분의 넓이를 [eqn: f( theta)], 두 선분 [eqn: {rm{PS}} it], [eqn: {rm{BS}} it]와 호 [eqn: {rm{BP}} it]로 둘러싸인 부분의 넓이를 [eqn: g( theta)] 라 하자. [eqn: lim _{theta `` rarrow ``0+} {} {f( theta )+g( theta )} over {theta ^{3}}]의 값을 구하시오. (단, [eqn: 0< theta<{ pi} over {4}])

[정답] [eqn: 4]

[해설]

호 [eqn: {rm{PB}} it]와 호 [eqn: {rm{PQ}} it]의 길이가 서로 같으므로 원주각의 성질에 의하여 [eqn: angle {rm{PAB}} it = angle {rm{QBP}} it = theta]

[eqn: angle {rm{ABS}} it = angle {rm{APB}} it ={ pi} over {2}]이고 [eqn: angle {rm{PBA}} it ={ pi} over {2}- theta]이므로 [eqn: angle {rm{SBP}} it = theta]

두 삼각형 [eqn: {rm{SPB}} it], [eqn: {rm{RPB}} it]는 서로 합동이므로 두 삼각형 [eqn: {rm{SPB}} it], [eqn: {rm{RPB}} it]의 넓이가 서로 같다.

선분 [eqn: {rm{PQ}} it]와 호 [eqn: {rm{PQ}} it]로 둘러싸인 부분의 넓이와 선분 [eqn: {rm{PB}} it]와 호 [eqn: {rm{PB}} it]로 둘러싸인 부분의 넓이가 서로 같다.

그러므로 [eqn: f( theta)+g( theta)]는 삼각형 [eqn: {rm{QBP}} it]의 넓이와 같다.

[eqn: overline{{rm{PB}} it }= overline{{rm{PQ}} it }=2 sin theta]

[eqn: f( theta)+g( theta)={1} over {2} times overline{{rm{PB}} it } times overline{{rm{PQ}} it } times sin ( pi-2 theta)]

[eqn: ={1} over {2} times(2 sin theta)^{2} times sin 2 theta]

[eqn: =2 sin ^{2} theta sin 2 theta]

[eqn: lim _{ theta ``rarrow`` 0+} {f( theta)+g( theta)} over { theta^{3}}]

[eqn: = lim _{ theta ``rarrow`` 0+} {2 sin ^{2} theta sin 2 theta} over { theta^{3}}]

[eqn: = lim _{ theta ``rarrow`` 0+} left(2 times { sin ^{2} theta} over { theta^{2}} times { sin 2 theta} over { theta} right)]

[eqn: =2 times lim _{ theta ``rarrow`` 0+} left({ sin theta} over { theta} right)^{2} times lim _{ theta ``rarrow`` 0+} left({ sin 2 theta} over {2 theta} times 2 right)]

[eqn: =2 times 1^{2} times 2=4]

06 미적	05 삼각함수의 미분
02 극한의 해석 및 활용
07 활용5 (두 개 이상의 원 또는 부채꼴의 관계)

[출처]	2006 모의_공공 평가원 고3 09월 미분과 적분 29

그림과 같이 중심각의 크기가 [eqn: theta]이고 반지름의 길이가 [eqn: r]인 부채꼴 [eqn: {rm{OAB}} it]가 있다. 부채꼴의 호 [eqn: {rm{AB}} it]의 길이를 [eqn: l_{1}], 삼각형 [eqn: {rm{OAB}} it]에 내접하는 원의 둘레의 길이를 [eqn: l_{2}]라 할 때, [eqn: lim _{ theta ``rarrow`` 0} {l_{2}} over {l_{1}}]의 값은?

[정답] ③

[해설]

오른쪽 그림에서

[eqn: angle {rm{AOH}} it ={ theta} over {2}]이므로

[eqn: overline{{rm{AH}} it }=r sin { theta} over {2}]

[eqn: therefore~ overline{{rm{AP}} it }=r sin { theta} over {2}]

[eqn: overline{{rm{OP}} it }=r-r sin { theta} over {2}]

따라서, 원 [eqn: {rm{C}} it]의 반지름의 길이는

[eqn: overline{{rm{CP}} it }][eqn: = overline{{rm{OP}} it } cdot tan { theta} over {2}]
[eqn: = left(r-r sin { theta} over {2} right) tan { theta} over {2}]
[eqn: therefore~ lim _{ theta ``rarrow`` 0} {l_{2}} over {l_{1}}= lim _{ theta ``rarrow`` 0} {2 pi left(r-r sin { theta} over {2} right) tan { theta} over {2}} over {r theta}]

[eqn: = lim _{ theta ``rarrow`` 0} {2 pi left(1- sin { theta} over {2} right) tan { theta} over {2}} over { theta}]

[eqn: = lim _{ theta ``rarrow`` 0} 2 pi left(1- sin { theta} over {2} right) { tan { theta} over {2}} over {{ theta} over {2}} cdot {1} over {2}]

[eqn: = pi]

① [eqn: { pi} over {4}]	② [eqn: { pi} over {2}]	③ [eqn: pi]

④ [eqn: {3} over {2} pi]	⑤ [eqn: 2 pi]

[출처]	2008 모의_공공 평가원 고3 11월 미분과 적분 30

반지름의 길이가 [eqn: rm 1]인 원 [eqn: {rm{O}} it] 위에 점 [eqn: {rm{A}} it]가 있다. 그림과 같이 양수 [eqn: theta]에 대하여 원 [eqn: {rm{O}} it] 위의 두 점 [eqn: {rm{B}} it], [eqn: {rm{C}} it]를 [eqn: ANGLE rm BAC it = theta]이고 [eqn: overline{{rm{AB}} it }= overline{{rm{AC}} it }]가 되도록 잡는다. 삼각형 [eqn: {rm{ABC}} it]의 내접원의 반지름의 길이를 [eqn: r( theta)]라 할 때, [eqn: lim _{theta `` rarrow `` pi -} {} {r( theta )} over {( pi - theta ) ^{2}} = {q} over {p}]이다. [eqn: p^{2}+q^{2}]의 값을 구하시오. (단, [eqn: p], [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.)

[정답] [eqn: 17]

[해설]

삼각형 [eqn: rmABC]에서 사인법칙에 의해

[eqn: {\ bar BC} over sintheta = 2cdot1]

[eqn: therefore][eqn: rm ` bar{BC} =2`sin`` theta]

따라서 선분 [eqn: rmBC`]의 중점을 [eqn: rm M`]이라 하면 [eqn: rm ` bar{BM} =sin`` theta `]이다.

또, 내접원의 중심을 [eqn: rmD`]라고 하면 위 그림의 직각삼각형 [eqn: rmBMD`]에서

[eqn: tan`` LEFT ( {pi } over {4} - {theta } over {4} RIGHT ) = {r( theta )} over {sin`` theta }]

[eqn: therefore][eqn: r( theta )=sin`` theta TIMES tan`` LEFT ( {pi } over {4} - {theta } over {4} RIGHT )]

이때, [eqn: pi - theta =t`]로 놓으면 [eqn: theta rarrow pi -`]일 때 [eqn: t rarrow ``0+`]이고 [eqn: sin`` theta =sin``( pi -t)=sin``t], [eqn: tan`` LEFT ( {pi } over {4} - {theta } over {4} RIGHT ) =tan`` {t} over {4} `]이다.

[eqn: therefore] (주어진 식)[eqn: = lim _{t rarrow ``0+} {} {sin``t TIMES tan`` {t} over {4}} over {t ^{2}}]

[eqn: = {1} over {4} lim _{t rarrow ``0+} {{sin``t} over {t}} TIMES lim _{t rarrow ``0+} {} {tan`` {t} over {4}} over {{t} over {4}}]

[eqn: = 1over 4 × 1× 1 = 1over4]

[eqn: p^2 +q^2 = 16+1 = 17]

[출처]	2010 모의_공공 평가원 고3 09월 미분과 적분 30

그림과 같이 반지름의 길이가 [eqn: rm 2]이고 중심각의 크기가 [eqn: { pi} over {2}]인 부채꼴 [eqn: {rm{OAB}} it]가 있다. 호 [eqn: {rm{AB}} it] 위의 점 [eqn: {rm{T}} it]에서 선분 [eqn: {rm{OA}} it]와 선분 [eqn: {rm{OB}} it]에 내린 수선의 발을 각각 [eqn: {rm{P}} it], [eqn: {rm{Q}} it]라 하고 [eqn: ANGLE ` rm {T}{O}P} = theta]라 하자. 점 [eqn: {rm{P}} it]와 점 [eqn: {rm{Q}} it]를 지름의 양끝으로 하고 점 [eqn: {rm{T}} it]를 지나는 반원을 [eqn: C]라 할 때, 반원 [eqn: C]의 호 [eqn: {rm{TP}} it], 선분 [eqn: {rm{PA}} it], 부채꼴 [eqn: {rm{OAT}} it]의 호 [eqn: {rm{AT}} it]로 둘러싸인 부분의 넓이를 [eqn: f( theta)], 삼각형 [eqn: {rm{OPQ}} it]의 넓이를 [eqn: g( theta)]라 하자. [eqn: lim _{theta `` rarrow ``0+} {} {theta +f( theta )} over {g( theta )} =a]일 때, [eqn: 100 a]의 값을 구하시오. (단, [eqn: 0< theta<{ pi} over {2}])

[정답] [eqn: rm 50]

[해설]

점 [eqn: rm T]의 좌표를 [eqn: rm T(2 cos theta,`` 2 sin theta)]라 하고, 직사각형 [eqn: rm O P T Q]에서 두 대각선 [eqn: rm O T], [eqn: rm P Q]의 교점을 [eqn: rm M]이라 하자.

[eqn: f( theta)=(]부채꼴 [eqn: rm O A T]의 넓이[eqn: )] - (삼각형 [eqn: rm O P M]의 넓이 [eqn: )-(]부채꼴 [eqn: rm M P T]의 넓이 )

[eqn: ={1} over {2} times 2^{2} times theta-{1} over {2} times 2 cos theta times 1 times sin theta-{1} over {2} times 1^{2} times 2 theta]

[eqn: = theta- cos theta sin theta]

[eqn: g( theta)={1} over {2} times 2 cos theta times 2 sin theta=2 cos theta sin theta]

[eqn: THEREFORE ~a= lim _{theta `` rarrow ``0+} {} {theta +f( theta )} over {g( theta )} = lim _{theta `` rarrow ``0+} {} {2 theta -cos theta sin theta } over {2cos theta sin theta }]

[eqn: = lim _{theta `` rarrow ``0+} {} LEFT ( {theta } over {cos theta sin theta } - {1} over {2} RIGHT ) =1- {1} over {2} = {1} over {2}]

[eqn: therefore~100 a=50]

[출처]	2011 모의_공공 교육청 고3 03월 27

그림과 같이 길이가 [eqn: rm 2]인 선분 [eqn: {rm{AB}} it]를 지름으로 하는 반원이 있다. 선분 [eqn: {rm{AB}} it]의 중점 [eqn: {rm{O}} it]와 반원 위를 움직이는 점 [eqn: {rm{C}} it]에 대하여 부채꼴 [eqn: {rm{OBC}} it]에 내접하는 원을 [eqn: {{O}} it _{1}], 현 [eqn: {rm{BC}} it]와 호 [eqn: {rm{BC}} it]로 둘러싸인 부분에 내접하는 원 중 반지름의 길이가 가장 큰 원을 [eqn: {{O}} it _{2}]라 하자. [eqn: angle {rm{ABC}} it = theta]라 하고 두 원 [eqn: {{O}} it _{1}], [eqn: {{O}} it _{2}]의 반지름의 길이를 각각 [eqn: f( theta)], [eqn: g( theta)]라 할 때,

[정답] [eqn: 17]

[해설]

점 [eqn: {rm{O}} it _{1}]에서 선분 [eqn: {rm{AB}} it]에 내린 수선의 발을 [eqn: {rm{F}} it], 직선 [eqn: {rm{O}} it _{1} {rm{O}} it _{2}]와 현 [eqn: {rm{BC}} it], 호 [eqn: {rm{BC}} it]의 교점을 각각 [eqn: {rm{D}} it], [eqn: {rm{E}} it]라 하자.

[eqn: overline{{rm{O}} it _{1} {rm{F}} it }= overline{{rm{O}} it _{1} {rm{E}} it }=f( theta)], [eqn: angle {rm{OO}} it _{1} {rm{F}} it = theta]

[eqn: overline{{rm{OE}} it }= overline{{rm{OO}} it _{1}}+ overline{{rm{O}} it _{1} {rm{E}} it }={f( theta)} over { cos theta}+f( theta)=1]

[eqn: f( theta)={ cos theta} over {1+ cos theta}]

[eqn: overline{{rm{OD}} it }= sin theta], [eqn: overline{{rm{ED}} it }=1- sin theta]이므로

[eqn: g( theta)={1- sin theta} over {2}]

[eqn: lim _{ theta ``rarrow`` { pi} over {2}-} {g( theta)} over { left{ f( theta) it right} ^{2}}][eqn: = lim _{ theta ``rarrow`` { pi} over {2}-} {{1-sin`theta}over2}over{ left({ cos theta} over {1+ cos theta} right)^{2}}]
[eqn: = lim _{ theta ``rarrow`` { pi} over {2}-} {(1- sin theta)(1+ cos theta)^{2}} over {2 cos ^2 theta}]

[eqn: { pi} over {2}- theta=t]라 하면, [eqn: theta={ pi} over {2}-t]이고

[eqn: sin theta= sin left({ pi} over {2}-t right)= cos t], [eqn: cos theta= cos left({ pi} over {2}-t right)= sin t]

[eqn: theta ``rarrow`` { pi} over {2}-]일때 [eqn: t ``rarrow``0+]이다.

(주어진 식)[eqn: = lim _{t ``rarrow``0+} {(1- cos t)(1+ sin t)^{2}} over {2 sin ^{2} t}]
[eqn: = lim _{t`` -> ``0+} {} {(1-cost)(1+sint) ^{2}} over {2 LEFT ( 1-cos ^{2} t RIGHT )}]
[eqn: = lim _{t ``rarrow``0+} {(1+ sin t)^{2}} over {2(1+ cos t)}]
[eqn: ={1} over {4}={q} over {p}]

따라서 [eqn: p=4], [eqn: q=1]이므로 [eqn: p^{2}+q^{2}=17]이다.

[eqn: lim _{ theta ``rarrow`` { pi} over {2}-} {g( theta)} over { left{ f( theta) it right} ^{2}}={q} over {p}]

이다. [eqn: p^{2}+q^{2}]의 값을 구하시오. (단, [eqn: p], [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.)

[출처]	2011 모의_공공 평가원 고3 06월 27

중심이 [eqn: {rm{O}} it]이고, 두 점 [eqn: {rm{A}} it], [eqn: {rm{B}} it]를 지름의 양 끝으로 하며 반지름의 길이가 [eqn: rm 1]인 원 [eqn: C`]가 있다. 그림과 같이 원 [eqn: C] 위의 점 [eqn: {rm{P}} it]에 대하여 점 [eqn: {rm{O}} it]를 지나고 직선 [eqn: {rm{AP}} it]와 평행한 직선이 선분 [eqn: {rm{PB}} it]와 만나는 점을 [eqn: {rm{Q}} it], 호 [eqn: {rm{PB}} it]와 만나는 점을 [eqn: {rm{R}} it]라 하자.

[정답] [eqn: 17]

[해설]

[eqn: rm ANGLE QOB= theta]이므로 (동위각) [eqn: rm bar{OR} = bar{OB} cos theta =cos theta]

[eqn: rm bar{QR} =1- bar{OQ} =1-cos theta]에서

[eqn: {S( theta )} over {theta ^{4}} = {pi LEFT ( {1-cos theta } over {2} RIGHT ) ^{2}} over {theta ^{4}}]

[eqn: {1-cos theta } over {2} =sin ^{2} {theta } over {2}]이므로

[eqn: lim _{theta rarrow 0+} {{S( theta )} over {theta ^{4}} = lim _{theta rarrow 0+} {{pi `sin ^{4} {theta } over {2}} over {theta ^{4}}}}][eqn: = lim _{theta -> 0+} {pi LEFT ( {sin {theta } over {2}} over {theta } RIGHT )} ^{4} = {1} over {16} pi]

[eqn: p+q=17]

[eqn: angle {rm{PAB}} it = theta ~ left(0< theta<{ pi} over {2} right)]라 하고, 점 [eqn: {rm{Q}} it]와 점 [eqn: {rm{R}} it]를 지름의 양 끝으로 하는 원의 넓이를 [eqn: S( theta)]라 할 때, [eqn: lim _{theta `` rarrow ``0+} {} {S( theta )} over {theta ^{4}} = {q} over {p} pi]이다. [eqn: p+q]의 값을 구하시오.

(단, [eqn: overline{{rm{QR}} it }<1]이고, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.)

[출처]	2011 모의_공공 교육청 고2 11월 19

그림과 같이 반지름의 길이가 [eqn: rm 1]이고 중심각의 크기가 [eqn: { pi} over {2}]인 부채꼴 [eqn: {rm{OAB}} it]가 있다. 호 [eqn: {rm{AB}} it] 위의 점 [eqn: {rm{P}} it]에서 선분 [eqn: {rm{OB}} it]에 내린 수선의 발을 [eqn: {rm{Q}} it]라 하고 [eqn: angle {rm{POA}} it = theta]라 하자.

[정답] ②

[해설]

부채꼴 [eqn: {rm{OAP}} it]의 넓이 [eqn: f( theta)={1} over {2} cdot 1^{2} cdot theta={1} over {2} theta]

삼각형 [eqn: {rm{OPQ}} it]에 내접하는 원의 반지름의 길이를 [eqn: r]라 하면

[eqn: {1} over {2} times( sin theta+ cos theta+1) times r={1} over {2} times sin theta times cos theta]

[eqn: r={ sin theta cos theta} over { sin theta+ cos theta+1}]이므로

삼각형 [eqn: {rm{OPQ}} it]에 내접하는 원의 넓이

[eqn: g( theta)={ sin ^{2} theta cos ^{2} theta} over {( sin theta+ cos theta+1)^{2}} pi]이다.

따라서

[eqn: lim _{ theta ``rarrow``0+} {g( theta)} over { theta cdot f( theta)}][eqn: = lim _{ theta ``rarrow``0+} {2 pi sin ^{2} theta cos ^{2} theta} over { theta^{2}( sin theta+ cos theta+1)^{2}}]
[eqn: ={ pi} over {2}]

부채꼴 [eqn: {rm{OAP}} it]의 넓이를 [eqn: f( theta)], 삼각형 [eqn: {rm{OPQ}} it]에 내접하는 원의 넓이를 [eqn: g( theta)]라 할 때, [eqn: lim _{ theta ``rarrow``0+} {g( theta)} over { theta cdot f( theta)}]의 값은? [eqn: pile{`#`}right(]단, [eqn: left.0< theta<{ pi} over {2} right)]

① [eqn: { pi} over {4}]	② [eqn: { pi} over {2}]	③ [eqn: {3} over {4} pi]

④ [eqn: pi]	⑤ [eqn: {5} over {4} pi]

[출처]	2012 모의_공공 평가원 고3 06월 29

그림과 같이 길이가 [eqn: rm 2]인 선분 [eqn: {rm{AB}} it]를 지름으로 하는 반원 위에 두 점 [eqn: {rm{P}} it], [eqn: {rm{Q}} it]를 [eqn: angle {rm{ABP}} it = angle {rm{BAQ}} it = theta left(0< theta<{ pi} over {4} right)]가 되도록 잡는다. 두 선분 [eqn: {rm{AQ}} it], [eqn: {rm{BP}} it]와 호 [eqn: {rm{PQ}} it]에 내접하는 원의 반지름의 길이를 [eqn: r( theta)]라 할 때, [eqn: lim _{ theta ``rarrow`` { pi} over {4}-} {r( theta)} over {{ pi} over {4}- theta}=p sqrt{2}+q]이다. [eqn: p^{2}+q^{2}]의 값을 구하시오. (단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 유리수이다.)

[정답] [eqn: 8]

[해설]

다음과 같이 선분 [eqn: {rm{AB}} it]의 중점을 [eqn: {rm{M}} it], 두 선분 [eqn: {rm{AQ}} it], [eqn: {rm{BP}} it]의 교점을 [eqn: {rm{S}} it]라 하자.

또, 내접하는 원의 중심을 [eqn: {rm{O}} it], 이 원과 반원의 교점을 [eqn: {rm{C}} it]라 하고, 이 원과 선분 [eqn: {rm{AQ}} it]의 접점을 [eqn: {rm{R}} it]라 하자.

위의 그림에서 맞꼭지각의 성질에 의해

[eqn: angle {rm{ASM}} it = angle {rm{OSR}} it]

이고, [eqn: angle {rm{AMS}} it = angle {rm{ORS}} it =90 DEG]이므로 [eqn: angle {rm{SOR}} it = angle {rm{SAM}} it = theta]이다.

이 때, [eqn: overline{{rm{CO}} it }+ overline{{rm{OS}} it }+ overline{{rm{SM}} it }= overline{{rm{CM}} it }= overline{{rm{AM}} it }=1]이므로

[eqn: r( theta)+r( theta) times {1} over { cos theta}+ tan theta=1]

[eqn: left(1+{1} over { cos theta} right) r( theta)=1- tan theta]

[eqn: therefore~r( theta)][eqn: ={1-{ sin theta} over { cos theta}} over {1+{1} over { cos theta}}={ cos theta- sin theta} over {1+ cos theta}]
[eqn: ={- sqrt{2} ` sin left( theta-{ pi} over {4} right)} over {1+ cos theta}={ sqrt{2} `sin left({ pi} over {4}- theta right)} over {1+ cos theta}]

한편, [eqn: { pi} over {4}- theta=t]라 하면 [eqn: theta ``rarrow`` { pi} over {4}-]일 때 [eqn: t ``rarrow``0+]이므로

[eqn: therefore~ lim _{ theta ``rarrow`` { pi} over {4}-} {r( theta)} over {{ pi} over {4}- theta}]

[eqn: = lim _{ theta ``rarrow`` { pi} over {4}-} { sqrt{2}` sin left({ pi} over {4}- theta right)} over {(1+ cos theta) left({ pi} over {4}- theta right)}]

[eqn: = lim _{ theta ``rarrow`` { pi} over {4}-} { sqrt{2}} over {(1+ cos theta)} times lim _{ theta ``rarrow`` { pi} over {4}-} { sin left({ pi} over {4}- theta right)} over {{ pi} over {4}- theta}]

[eqn: = lim _{ theta ``rarrow`` { pi} over {4}-} { sqrt{2}} over {(1+ cos theta)} times lim _{t ``rarrow``0+} { sin t} over {t}]

[eqn: ={ sqrt{2}} over {1+{ sqrt{2}} over {2}} times 1={2 sqrt{2}} over {2+ sqrt{2}}]

[eqn: = sqrt{2}(2- sqrt{2})=2 sqrt{2}-2]

[eqn: therefore~p=2], [eqn: q=-2]

[eqn: therefore~p^{2}+q^{2}=8]

[출처]	2012 모의_공공 교육청 고2 11월 27

그림과 같이 중심이 [eqn: {rm{O}} it]이고 길이가 [eqn: rm 2]인 선분 [eqn: {rm{AB}} it]를 지름으로 하는 반원 위의 점 [eqn: {rm{P}} it]에 대하여 삼각형 [eqn: {rm{AOP}} it]에 내접하는 원을 [eqn: {rm{O}} it _{1}], 부채꼴 [eqn: {rm{OBP}} it]에 내접하는 원을 [eqn: {rm{O}} it _{2}]라 하자.

[정답] [eqn: 4]

[해설]

그림과 같이 원 [eqn: {rm{O}} it _{1}]과 직선 [eqn: {rm{AP}} it]와의 접점을 점 [eqn: {rm{Q}} it], 원 [eqn: {rm{O}} it _{2}]와 직선 [eqn: {rm{AB}} it]와의 접점을 점 [eqn: {rm{R}} it]라 하고, 원 [eqn: {rm{O}} it _{1}]의 반지름을 [eqn: r_{1}], 원 [eqn: {rm{O}} it _{2}]의 반지름을 [eqn: r_{2}]라 하자.

삼각형 [eqn: {rm{QAO}} it]에서 [eqn: overline{{rm{AQ}} it }= cos theta], [eqn: angle {rm{QAO}} it _{1}={ theta} over {2}]이므로 [eqn: r_{1}= cos theta tan { theta} over {2}]이다.

[eqn: therefore~f( theta)= pi cos ^{2} theta tan ^{2} { theta} over {2}]

부채꼴 [eqn: {rm{OBP}} it]에서 [eqn: angle {rm{O}} it _{2} {rm{OR}} it = theta]이므로

[eqn: overline{{rm{OO}} it _{2}}={r_{2}} over { sin theta}]이다.

[eqn: {r_{2}} over { sin theta}+r_{2}=1]이므로 [eqn: r_{2}={ sin theta} over {1+ sin theta}]이다.

[eqn: therefore~g( theta)={ pi sin ^{2} theta} over {(1+ sin theta)^{2}}]

[eqn: lim _{theta `` rarrow ``0+} {} {g( theta )} over {f( theta )} = lim _{theta `` rarrow ``+0} {} {pi `sin ^{2} theta `} over {pi `cos ^{2} theta `tan ^{2} {theta } over {2} (1+sin ^{2} theta `)}]

[eqn: = lim _{theta `` rarrow ``0+} {} {sin ^{2} theta } over {theta ^{2}} CDOT {{theta ^{2}} over {4}} over {tan ^{2} {theta } over {2}} · {4} over {cos ^{2} theta ``(1+sin theta ) ^{2}} =4]

[eqn: angle {rm{PAB}} it = theta left(0< theta<{ pi} over {4} right)]일 때, 원 [eqn: {rm{O}} it _{1}]의 넓이를 [eqn: f( theta)], 원 [eqn: {rm{O}} it _{2}]의 넓이를 [eqn: g( theta)]라 하자. 이때, [eqn: lim _{ theta ``rarrow``+0} {g( theta)} over {f( theta)}]의 값을 구하시오.

[출처]	2012 모의_공공 교육청 고3 03월 20

그림과 같이 길이가 [eqn: rm 2]인 선분 [eqn: {rm{AB}} it]룰 지름으로 하고 중심이 [eqn: {rm{O}} it]인 반원이 있다. 호 [eqn: {rm{AB}} it] 위를 움직이는 점 [eqn: {rm{P}} it]에 대하여 [eqn: angle {rm{POB}} it = theta]일 때, 삼각형 [eqn: {rm{PAO}} it]에 내접하는 원의 넓이를 [eqn: f( theta)]라 하자. [eqn: lim _{theta `` rarrow ``0+} {} {f( theta )} over {theta ^{2}}]의 값은? (단, [eqn: 0< theta< pi]이다.)

[정답] ④

[해설]

삼각형 [eqn: rm PAO]에 내접하는 원의 중심을 [eqn: {rm{Q}} it], 반지름의 길이를 [eqn: r]라 하자.

[eqn: triangle {rm{AOP}} it = triangle {rm{AOQ}} it + triangle {rm{OPQ}} it + triangle {rm{PAQ}} it]이므로

[eqn: {1} over {2} cdot overline{{rm{AO}} it } cdot overline{{rm{OP}} it } cdot sin ( pi- theta)={r} over {2} cdot overline{{rm{AO}} it }+{r} over {2} cdot overline{{rm{OP}} it }+{r} over {2} cdot overline{{rm{PA}} it }]

[eqn: therefore~ sin theta=r(2+ overline{{rm{PA}} it })]	[eqn: cdots cdots] ㉠

직각삼각형 [eqn: {rm{ABP}} it]에서

[eqn: overline{{rm{PA}} it }= overline{{rm{AB}} it } ` cos { theta} over {2}=2 cos { theta} over {2}]	[eqn: cdots cdots] ㉡이므로

㉠, ㉡에 의하여 [eqn: r={ sin theta} over {2+2 cos { theta} over {2}}]이다.

따라서 [eqn: f( theta)= pi r^{2}={ pi sin ^{2} theta} over { left(2+2 cos { theta} over {2} right)^{2}}]이므로

[eqn: lim _{ theta ``rarrow``0+} {f( theta)} over { theta^{2}}][eqn: = lim _{ theta ``rarrow``0+} { sin ^{2} theta} over { theta^{2}} cdot { pi} over { left(2+2 cos { theta} over {2} right)^{2}}]
[eqn: = lim _{ theta ``rarrow``0+} { sin ^{2} theta} over { theta^{2}} cdot lim _{ theta ``rarrow``0+} { pi} over { left(2+2 cos { theta} over {2} right)^{2}}]
[eqn: =1^{2} cdot { pi} over {16}={ pi} over {16}]

[다른 풀이]

삼각형 [eqn: {rm{PAO}} it]에 내접하는 원의 중심을 [eqn: {rm{Q}} it]라 하고 원 [eqn: {rm{Q}} it]와 변 [eqn: {rm{AP}} it]의 접점을 [eqn: {rm{R}} it]라 하면 [eqn: overline{{rm{OR}} it } BOT overline{{rm{AP}} it }], [eqn: overline{{rm{QR}} it } BOT overline{{rm{AP}} it }]이다.

삼각형 [eqn: {rm{AOR}} it]에서 [eqn: angle {rm{RAO}} it ={ theta} over {2}]이므로

[eqn: overline{{rm{AR}} it }= overline{{rm{OA}} it }` cos { theta} over {2}= cos { theta} over {2}]

삼각형 [eqn: {rm{AQR}} it]에서 [eqn: angle {rm{RAQ}} it ={ theta} over {4}]이므로

[eqn: overline{{rm{QR}} it }= overline{{rm{AR}} it } ` tan { theta} over {4}= cos { theta} over {2} ` tan { theta} over {4}]

따라서 [eqn: f( theta)= pi overline{{rm{QR}} it }`^{2}= pi cos ^{2} { pi} over {2} ` tan ^{2} { theta} over {4}]이다.

[eqn: therefore~ lim _{ theta ``rarrow``0+} {f( theta)} over { theta^{2}}][eqn: = lim _{ theta ``rarrow``0+} { pi cos ^{2} { theta} over {2} `tan ^{2} { theta} over {4}} over { theta^{2}}]
[eqn: = lim _{ theta ``rarrow``0+} { pi cos ^{2} { theta} over {2} ` tan ^{2} { theta} over {4}} over { left({ theta} over {4} right)^{2} cdot 16}]
[eqn: ={ pi} over {16} lim _{ theta ``rarrow``0+} { tan ^{2} { theta} over {4}} over { left({ theta} over {4} right)^{2}} lim _{ theta ``rarrow``0+} `cos ^{2} { theta} over {2}]
[eqn: ={ pi} over {16} cdot 1^{2} cdot 1^{2}={ pi} over {16}]

① [eqn: { pi} over {2}]	② [eqn: { pi} over {4}]	③ [eqn: { pi} over {8}]

④ [eqn: { pi} over {16}]	⑤ [eqn: { pi} over {32}]

[출처]	2013 모의_공공 교육청 고3 07월 21

그림과 같이 길이가 [eqn: rm 2]인 선분 [eqn: {rm{AB}} it]를 지름으로 하고 중심이 점 [eqn: {rm{O}} it]인 원 [eqn: C_{1}]이 있다. 원 [eqn: C_{1}] 위의 점 [eqn: {rm{P}} it]에 대하여 [eqn: angle {rm{PAB}} it = theta] 라 하고, 선분 [eqn: {rm{OP}} it]에 접하고 중심이 점 [eqn: {rm{B}} it]인 원 [eqn: C_{2}]를 그린다. 원 [eqn: C_{2}]와 선분 [eqn: {rm{BP}} it]의 교점을 점 [eqn: rm Q it]라 할 때, [eqn: lim _{theta `` rarrow ``0+} {} {rm barPQ it} over {theta ^{3}}]의 값은? [eqn: left( right.]단, [eqn: left.0< theta<{ pi} over {4} right)]

[정답] ③

[해설]

원 [eqn: C_{2}]와 선분 [eqn: {rm{OP}} it]의 접점을 점 [eqn: {rm{R}} it]라 하자.

[eqn: overline{{rm{BP}} it }=2 sin theta]

[eqn: angle {rm{ROB}} it =2 theta] 이므로, [eqn: overline{{rm{BR}} it }= sin 2 theta= overline{{rm{BQ}} it }]

[eqn: rm overline{PQ}=overline{PB}-overline{BQ}=2sintheta-sin2theta]
[eqn: =2 sin theta-2 sin theta cos theta=2 sin theta(1- cos theta)]
[eqn: lim _{theta `` rarrow ``0+} {} {{bar{rm PQ it}}} over {theta ^{3}} = lim _{theta `` rarrow ``0+} {} {2sin theta (1-cos theta )} over {theta ^{3}}]
[eqn: = lim _{theta `` rarrow ``0+} {} 2 {sin theta } over {theta } CDOT {1-cos theta } over {theta ^{2}}]
[eqn: =2 cdot 1 cdot {1} over {2}=1]

① [eqn: {1} over {2}]	② [eqn: {3} over {4}]	③ [eqn: rm 1]

④ [eqn: {5} over {4}]	⑤ [eqn: {3} over {2}]

[출처]	2013 모의_공공 평가원 고3 06월 21

그림과 같이 반지름의 길이가 각각 [eqn: rm 1]인 두 원 [eqn: O], [eqn: O`` prime]이 외접하고 있다. 원 [eqn: {{O}} it] 위의 점 [eqn: {rm{A}} it]에서 원 [eqn: {{O}} it `prime]에 그은 두 접선의 접점을 각각 [eqn: {rm{P}} it], [eqn: {rm{Q}} it]라 하자. [eqn: angle {rm{AOO}} it `prime = theta]라 할 때, [eqn: lim _{theta `` rarrow ``0+} {} {bar {rm PQ it}} over {theta }]의 값은? (단, [eqn: 0< theta<{ pi} over {2}])

[정답] ③

[해설]

삼각형 [eqn: {rm{AOO}} it `prime]에서

[eqn: overline{{rm{AO}} it }=1], [eqn: { overline{{rm{OO}} it `prime }}=2]

[eqn: overline{{rm{AO}} it `prime }][eqn: = sqrt{1^{2}+2^{2}-2 cdot 1 cdot 2 cdot cos theta}]
[eqn: = sqrt{5-4 cos theta}]

직각삼각형 [eqn: {rm{PAO}} it `prime]에서

[eqn: overline{{rm{AP}} it }][eqn: = sqrt{5-4 cos theta-1}]
[eqn: = sqrt{4(1- cos theta)}]
[eqn: = sqrt{4 cdot 2 sin ^{2} { theta} over {2}}]
[eqn: =2 sqrt{2} sin { theta} over {2} ~ left( because 0< theta<{ pi} over {2} right)]

[eqn: overline{{rm{AO}} it `prime }]은 [eqn: overline{{rm{PQ}} it }]를 수직이등분하므로

[eqn: overline{{rm{AO}} it `prime }], [eqn: overline{{rm{PQ}} it }]의 교점을 [eqn: {rm{M}} it]이라 하면

[eqn: overline{{rm{PM}} it } times overline{{rm{AO}} it `prime }= overline{{rm{AP}} it } times overline{{rm{PO}} it `prime }]

[eqn: overline{{rm{PM}} it }={2 sqrt{2} sin { theta} over {2}} over { sqrt{5-4 cos theta}}]

[eqn: therefore~ overline{{rm{PQ}} it }=2 overline{{rm{PM}} it }={4 sqrt{2} sin { theta} over {2}} over { sqrt{5-4 cos theta}}]

[eqn: THEREFORE ~ lim _{theta `` rarrow ``0+} {} {{bar{rm PQ it}}} over {theta }]

[eqn: = lim _{theta `` rarrow ``0+} {} LEFT ( {4 sqrt {2}} over {sqrt {5-4cos theta }} TIMES {sin {theta } over {2}} over {theta } RIGHT )]

[eqn: ={4 sqrt{2}} over {1} times {1} over {2}]

[eqn: =2 sqrt{2}]

① [eqn: rm 2]	② [eqn: sqrt{6}]	③ [eqn: 2 sqrt{2}]

④ [eqn: sqrt{10}]	⑤ [eqn: 2 sqrt{3}]

[출처]	2014 모의_공공 교육청 고3 04월 19

그림과 같이 중심이 [eqn: {rm{O}} it]이고 길이가 [eqn: rm 2]인 선분 [eqn: {rm{AB}} it]를 지름으로 하는 반원이 있다. 호 [eqn: {rm{AB}} it] 위를 움직이는 점 [eqn: {rm{P}} it]에 대하여 [eqn: angle {rm{AOP}} it = theta left(0< theta<{ pi} over {2} right)]일 때, 세 점 [eqn: {rm{A}} it], [eqn: {rm{O}} it], [eqn: {rm{P}} it]를 지나는 원의 넓이를 [eqn: f( theta)], 세 점 [eqn: {rm{B}} it], [eqn: {rm{O}} it], [eqn: {rm{P}} it]를 지나는 원의 넓이를 [eqn: g( theta)]라 하자. [eqn: lim _{ theta ``rarrow`` { pi} over {2}-} {g( theta)-f( theta)} over {{ pi} over {2}- theta}]의 값은?

[정답] ①

[해설]

[eqn: triangle {rm{ABP}} it]에서 [eqn: angle {rm{ABP}} it ={ theta} over {2}]이고 [eqn: overline{{rm{AB}} it }=2]이므로

[eqn: overline{{rm{AP}} it }=2 sin { theta} over {2}], [eqn: overline{{rm{BP}} it }=2 cos { theta} over {2}]

[eqn: triangle {rm{AOP}} it]의 외접원의 반지름의 길이를 [eqn: R_{1}],

[eqn: triangle {rm{BOP}} it]의 외접원의 반지름의 길이를 [eqn: R_{2}]라 하면

사인법칙에 의하여

[eqn: R_{1}={1} over {2 cos { theta} over {2}}]이고 [eqn: f( theta)= pi {1} over {4 cos ^{2} { theta} over {2}}]

[eqn: R_{2}={1} over {2 sin { theta} over {2}}]이고 [eqn: g( theta)= pi {1} over {4 sin ^{2} { theta} over {2}}]

[eqn: lim _{theta `` rarrow `` {pi } over {2} -} {} {g( theta )-f( theta )} over {{pi } over {2} - theta }]
[eqn: = lim _{theta `` rarrow `` {pi } over {2} -} {} {{pi } over {4sin ^{2} {theta } over {2}} - {pi } over {4cos ^{2} {theta } over {2}}} over {{pi } over {2} - theta }]
[eqn: = lim _{theta `` rarrow `` {pi } over {2} -} {} {pi LEFT ( cos ^{2} {theta } over {2} -sin ^{2} {theta } over {2} RIGHT )} over {LEFT ( {pi } over {2} - theta RIGHT ) 4sin ^{2} {theta } over {2} cos ^{2} {theta } over {2}}]
[eqn: = lim _{theta `` rarrow `` {pi } over {2} -} {} {pi `cos theta } over {LEFT ( {pi } over {2} - theta RIGHT ) sin ^{2} theta }]

[eqn: { pi} over {2}- theta=t]라 하면 [eqn: theta `` rarrow `` {pi } over {2} -]일 때 [eqn: t`` rarrow ``0+]

따라서 [eqn: lim _{theta `` rarrow `` {pi } over {2} -} {} {pi `cos theta } over {LEFT ( {pi } over {2} - theta RIGHT ) sin ^{2} theta } = lim _{t`` rarrow ``0+} {} {pi `sint} over {t`cos ^{2} t} = pi]

① [eqn: pi]	② [eqn: {2 pi} over {3}]	③ [eqn: { pi} over {2}]

④ [eqn: { pi} over {3}]	⑤ [eqn: { pi} over {4}]

[출처]	2015 모의_공공 평가원 고3 06월 29

그림과 같이 길이가 [eqn: rm 1]인 선분 [eqn: {rm{AB}} it]를 지름으로 하는 반원 위에 점 [eqn: {rm{C}} it]를 잡고 [eqn: angle {rm{BAC}} it = theta]라 하자. 호 [eqn: {rm{BC}} it]와 두 선분 [eqn: {rm{AB}} it], [eqn: {rm{AC}} it]에 동시에 접하는 원의 반지름의 길이를 [eqn: f( theta)]라 할 때,

[정답] [eqn: 25]

[해설]

호 [eqn: rm B C]와 두 선분 [eqn: rm A B], [eqn: rm A C]에 동시에 접하 는 원의 중심을 [eqn: rm D], 점 [eqn: rm D]에서 직선 [eqn: rm A B]에 내린 수선의 발을 [eqn: rm H], 선분 [eqn: rm A B]의 중점을 [eqn: rm O]라 하자.

[eqn: rm angle B A C= theta]이므로 [eqn: rm angle H A D={ theta} over {2}]

[eqn: rm therefore~ overline{A H}={f( theta)} over { tan { theta} over {2}}]

한편, 직각삼각형 [eqn: rm D O H]에서

[eqn: rm overline{O H}= sqrt{ left{ {1} over {2}-f( theta) it right} ^{2}- left{ f( theta) it right} ^{2}}]

이므로

[eqn: {1} over {2}+ sqrt{ left{ {1} over {2}-f( theta) it right} ^{2}- left{ f( theta) it right} ^{2}}={f( theta)} over { tan { theta} over {2}}]

[eqn: sqrt{ left{ {1} over {2}-f( theta) it right} ^{2}- left{ f( theta) it right} ^{2}}={f( theta)} over { tan { theta} over {2}}-{1} over {2}]

양변을 제곱하면

[eqn: {1} over {4}-f( theta)][eqn: + left{ f( theta) it right} ^{2}- left{ f( theta) it right} ^{2}]
[eqn: = left{ {f( theta)} over { tan { theta} over {2}} it right} ^{2}- left{ {f( theta)} over { tan { theta} over {2}} it right} +{1} over {4}]
[eqn: -f( theta) = left{ {f( theta)} over { tan { theta} over {2}} it right} ^{2}- left{ {f( theta)} over { tan { theta} over {2}} it right}]

의 양변에 [eqn: tan ^{2} { theta} over {2}]을 곱하여 정리하면

[eqn: 0< theta<{ pi} over {4}]에서 [eqn: f( theta)>0]이므로

[eqn: - tan ^{2} { theta} over {2}=f( theta)- tan { theta} over {2}]

[eqn: therefore~f( theta)= tan { theta} over {2}- tan ^{2} { theta} over {2}]

[eqn: therefore~ ~ alpha][eqn: = lim _{theta `` rarrow ``0+} {} {tan {theta } over {2} -f( theta )} over {theta ^{2}}]
[eqn: = lim _{theta `` rarrow ``0+} {} {tan ^{2} {theta } over {2}} over {theta ^{2}}]
[eqn: = lim _{theta `` rarrow ``0+} {} {tan ^{2} {theta } over {2}} over {theta ^{2}} TIMES {1} over {4}]
[eqn: ={4} over {4}]
[eqn: therefore~ ~ 100 alpha =25]

[eqn: lim _{theta `` rarrow ``0+} {} {tan {theta } over {2} -f( theta )} over {theta ^{2}} = alpha]

이다. [eqn: 100 alpha]의 값을 구하시오. (단, [eqn: 0< theta<{ pi} over {4}])

[출처]	2015 모의_공공 평가원 고3 09월 28

그림과 같이 원에 내접하고 한 변의 길이가 [eqn: 2 sqrt3]인 정삼각형 [eqn: rm ABC]가 있다. 점 [eqn: rm B]를 포함하지 않는 호 [eqn: rm AC]위의 점 [eqn: rm P]에 대하여 [eqn: rm ∠PBC= theta]라 하고, 선분 [eqn: rm PC]를 한 변으로 하는 정삼각형에 내접하는 원의 넓이를 [eqn: S` LEFT (theta RIGHT )`]라 하자.

[정답] [eqn: bold80]

[해설]

[eqn: rm ∠BPC=∠BAC= pi over 3]이고, [eqn: rm bar BC = 2 sqrt3]이므로

그림과 같이 삼각형 [eqn: rm PBC]의 꼭짓점 [eqn: rmC]에서 선분 [eqn: rm BP]에 내린 수선의 발을 [eqn: rm H]라 하면 직각삼각형 [eqn: rm HBC]에서

[eqn: rm bar CH = bar BC sin theta = 2 sqrt3 sin theta]

직각삼각형 [eqn: rmHCP]에서

[eqn: rm bar PC = bar{rm CH} over { sin pi over 3 } = { 2 sqrt3 `sin theta } over { sqrt3 over 2 } = 4 sin theta]

정삼각형의 내심과 무게중심은 서로 같으므로 선분 [eqn: rm PC]를 한 변으로 하는 정삼각형의 내접원의 반지름의 길이를 [eqn: r]라 하면

[eqn: r][eqn: = 1 over 3 times sqrt3 over 2 times bar{rm PC}]
[eqn: = 1 over 3 times sqrt3 over 2 times 4 sin theta]
[eqn: = { 2sqrt3 } over 3 `sin theta]

이다.

[eqn: S( theta) = pi r^2 = pi times left( { 2 sqrt3 } over 3 `sin theta right) ^2 = 4pi over 3 `sin ^2 theta]

[eqn: lim_theta->0+ {S(theta)} over theta^2][eqn: = lim_theta->0+ { 4pi over 3 `sin ^2 theta } over theta^2]
[eqn: = 4pi over 3 lim_theta->0+ { sin^2 theta } over theta^2]
[eqn: = 4pi over 3 left( lim_theta->0+ {sin theta} over theta right) ^2]
[eqn: = 4pi over 3 times 1^2][eqn: = 4pi over 3]

따라서 [eqn: a = 4 over 3]이므로 [eqn: 60a = 30 times 4 over 3 = 80]

[eqn: lim _{theta `->` 0+} {} {S` LEFT ( theta RIGHT )} over {theta ^{2}} =a pi `]일 때, [eqn: 60a]의 값을 구하시오.

[출처]	2016 모의_공공 평가원 고3 09월 20

그림과 같이 한 변의 길이가 [eqn: 1]인 정사각형 [eqn: rmABCD]가 있다. 변 [eqn: rmCD]위의 점 [eqn: rmE]에 대하여 선분 [eqn: rmDE]를 지름으로 하는 원과 직선 [eqn: rmBE]가 만나는 점 중 [eqn: rmE]가 아닌 점을 [eqn: rmF]라 하자. [eqn: ANGLE rmEBC= theta]라 할 때, 점 [eqn: rmE]를 포함하지 않는 호 [eqn: rmDF]를 이등분하는 점과 선분 [eqn: rmDF]의 중점을 지름의 양 끝으로 하는 원의 반지름의 길이를 [eqn: r( theta )]라 하자. [eqn: lim _{theta -> {pi } over {4} -} {{r( theta )} over {{pi } over {4} - theta }}]의 값은? [eqn: pile{`#`}right(]단, [eqn: 0< theta < {pi } over {4} right)]

[정답] ④

[해설]

[eqn: ANGLE rm BEC= ANGLE DEF= {pi } over {2} - theta]이므로 직각삼각형 [eqn: rmDEF]에서 [eqn: rm ANGLE EDF= theta]이다.

[eqn: rm{barEC}=tan` theta]이므로

[eqn: rm{barDE}=1-tan` theta]

이고, 선분 [eqn: rmDE]의 중점을 [eqn: rmM]이라 하면

[eqn: rm{barDM}= {1-tan` theta } over {2}]

직선 [eqn: rmDF]가 작은 원과 접하는 점을 [eqn: rmN]이라 하면 직각삼각형 [eqn: rmDMN]에서 [eqn: rm{barMN}={barDM} TIMES sin` theta = {1-tan` theta } over {2} TIMES sin` theta]
이므로 [eqn: { rm bar{DM} = bar{MN} }+2r( theta )]에서

[eqn: r( theta )][eqn: = {1} over {2} left(rm{barDM}-{barMN}right)]
[eqn: = {1} over {2} TIMES left( {1-tan` theta } over {2} - {1-tan` theta } over {2} TIMES sin` theta right)]
[eqn: = {(1-tan` theta )(1-sin` theta )} over {4}]

한편, [eqn: lim _{theta -> {pi } over {4} -} {{1-tan` theta } over {{pi } over {4} - theta }}]에서 [eqn: {pi } over {4} - theta =t]로 놓으면 [eqn: theta ``` -> ``` {pi } over {4} -]일 때, [eqn: t``` -> ``0+]이므로

[eqn: lim _{theta -> {pi } over {4} -} {{1-tan` theta } over {{pi } over {4} - theta }}][eqn: = lim _{t-> 0+} {{1-tan`left( {pi } over {4} -t`right)} over {t}}]
[eqn: = lim _{t-> 0+} {{1- {1-tan`t} over {1+tan`t}} over {t}}]
[eqn: = lim _{t-> 0+} {{2`tan`t} over {t(1+tan`t)}}]
[eqn: = lim _{t-> 0+} {{tan`t} over {t}} TIMES lim _{t-> 0+} {{2} over {1+tan`t}}]
[eqn: =1 TIMES 2][eqn: =2]

따라서

[eqn: lim _{theta -> {pi } over {4}} {{r( theta )} over {{pi } over {4} - theta }}][eqn: = lim _{theta -> {pi } over {4} -} {{1-tan` theta } over {{pi } over {4} - theta }}][eqn: TIMES lim _{theta -> {pi } over {4} -} {{1-sin` theta } over {4}}]
[eqn: =2 TIMES {1- {sqrt {2}} over {2}} over {4}]
[eqn: = {1} over {4} (2- sqrt {2} )]

① [eqn: {1} over {7} LEFT (2- sqrt {2} RIGHT )]	② [eqn: {1} over {6} (2- sqrt {2} )]

③ [eqn: {1} over {5} LEFT (2- sqrt {2} RIGHT )]	④ [eqn: {1} over {4} (2- sqrt {2} )]

⑤ [eqn: {1} over {3} (2- sqrt {2} )]

[출처]	2016 모의_공공 사관학교 고3 07월 29

그림과 같이 반지름의 길이가 [eqn: 1`]이고 중심각의 크기가 [eqn: {pi} over {3} `]인 부채꼴 [eqn: rmOAB`]가 있다. 호 [eqn: rm AB] 위의 점 [eqn: rmP`]를 지나고 선분 [eqn: rmOB`]와 평행한 직선이 선분 [eqn: rm OA`]와 만나는 점을 [eqn: rmQ`]라 하고 [eqn: rmangleAOP=theta`]라 하자. 점 [eqn: rmA`]를 지름의 한 끝점으로 하고 지름이 선분 [eqn: rmAQ] 위에 있으며 선분 [eqn: rm PQ`]에 접하는 반원의 반지름의 길이를 [eqn: r LEFT ( theta RIGHT ) `]라 할 때, [eqn: lim _{theta ` -> `0+} {{r LEFT ( theta RIGHT )} over {theta }} =a+b sqrt {3} `]이다. [eqn: a ^{2} +b ^{2} `]의 값을 구하시오.
(단, [eqn: 0< theta < {pi } over {3} `]이고, [eqn: a], [eqn: b`]는 유리수이다.)

[정답] [eqn: bold5]

[해설]

작은 원의 중심을 [eqn: rmO` prime], [eqn: rmP]에서 [eqn: rmOA]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmH]라고 하면

[eqn: rm O` prime A=itr( theta )], [eqn: {rmO` prime Q}= {2} over {sqrt {3}} r( theta )]

[eqn: {rmPH}=sin theta], [eqn: {rmQH}= {1} over {sqrt {3}} sin theta], [eqn: {rmOQ}=cos theta - {1} over {sqrt {3}} sin theta]

[eqn: {rmOA}=cos theta - {1} over {sqrt {3}} sin theta + {2} over {sqrt {3}} r( theta )+r( theta )=1]

[eqn: r( theta )= {sqrt {3} (1-cos theta )+sin theta } over {2+ sqrt {3}}]

[eqn: lim _{theta ` -> `0+} {} {r( theta )} over {theta }][eqn: = lim _{theta ` -> `0+} {} {1} over {2+ sqrt {3}} LEFT { sqrt {3} {1-cos theta } over {theta } + {sin theta } over {theta } RIGHT }]
[eqn: = {1} over {2+ sqrt {3}} =2- sqrt {3} `]

[eqn: THEREFORE `a=2`,``b=-1][eqn: THEREFORE `a ^{2} +b ^{2} =5]

[출처]	2016 모의_공공 교육청 고3 03월 21

그림과 같이 중심이 원점 [eqn: {rm{O}} it]이고 반지름의 길이가 [eqn: rm 1]인 원 [eqn: C]가 있다. 원 [eqn: C]가 [eqn: x]축의 양의 방향과 만나는 점을 [eqn: {rm{A}} it], 원 [eqn: C] 위에 있고 제 [eqn: rm 1]사분면에 있는 점 [eqn: {rm{P}} it]에서 [eqn: x]축에 내린 수선의 발을 [eqn: {rm{H}} it], [eqn: angle {rm{POA}} it = theta]라 하자. 삼각형 [eqn: {rm{APH}} it]에 내접하는 원의 반지름의 길이를 [eqn: r( theta)]라 할 때, [eqn: lim _{ theta ``rarrow`` 0+} {r( theta)} over { theta^{2}}]의 값은?

[정답] ④

[해설]

삼각형 [eqn: rm OAP]가 이등변삼각형이므로 [eqn: rm angle OAP = angle OPA = pi over2 - theta over2]이고 삼각형 [eqn: rm APH]에서

[eqn: rm angleAPH + angle PAH = pi over2]이므로 [eqn: rm angle APH = theta over2]이다.

내접원의 중심을 [eqn: \Q]라 하고, 내접원과 선분 [eqn: rm `PH]의 교점을 [eqn: rm`T]라 하면 [eqn: rm ` ANGLE `QPT`=`theta over4]이다.

[eqn: rm bar PH =`sin theta]이므로 삼각형 [eqn: rm QPT]에서

[eqn: tan theta over4 = rm{bar QT}over{bar PT} = it {r(theta)}over{sin theta - r(theta)}]

[eqn: left(1 + tan theta over4 right) r(theta) = sin theta ` tan thetaover4]

이므로

[eqn: r(theta) = {sin theta ` tan thetaover4`}over{1 + tan theta over4}]

따라서

[eqn: lim _{ theta->0+} { } {r(theta)`} over {theta ^{2}}][eqn: = lim _{ theta->0+} {sin theta ` tan thetaover4`}over{ theta^2 left(1 + tan theta over4 right)}]
[eqn: =`lim _{ theta->0+}left{ {sin theta } over theta times { tan thetaover4`}over{ theta over4 } times 1 over4 times 1 over {left( {1 + tan theta over4 right)}}` right}]
[eqn: = `1 times 1 times 1 over4 times 1 = 1 over4]

[다른 풀이]

내접원의 반지름의 길이를 [eqn: r(theta)]라 하면

[eqn: triangle \APH][eqn: = `1 over2` times]([eqn: triangle \APH]의 둘레의 길이)[eqn: times r (theta)]

[eqn: triangle \APH][eqn: = 1 over2 r(theta) LEFT ( bar\PH + bar AH + bar AP RIGHT )]
[eqn: rm= 1 over2 times bar AH times bar PH]

따라서

[eqn: {sin theta + (1-cos theta) + 2sin theta over2 }over 2 times r(theta)]

[eqn: ` = 1 over2 `sin `theta times (1- cos theta)]

[eqn: 1 over2LEFT (2sin theta over2` cos theta over2 + 2 sin^2 theta over2 + 2 sin theta over2 RIGHT )r(theta)`]

[eqn: = 1 over2 times 2 sin theta over2 `cos theta over2 (1-cos theta)]

따라서 [eqn: left({ cos theta over2 + sin theta over2 +1} right)`r(theta)`= {(1-cos theta ) cos theta over2}]

[eqn: r(theta)`= {(1-cos theta ) cos theta over2}over{1+ cos theta over2 + sin theta over2}]이므로

[eqn: lim _{ theta->0+} { } {r(theta)`} over {theta ^{2}}]

[eqn: = lim _{ theta->0+} {(1-cos theta ) cos theta over2}over{ theta^2 LEFT ( 1+ cos theta over2 + sin theta over2 RIGHT )}]
[eqn: = lim _{ theta->0+} left{ {cos {theta } over {2}} over {1+cos {theta } over {2} +sin {theta } over {2}} TIMES {sin ^{2} theta } over theta^2 times 1 over {1+cos theta }right}]

[eqn: = 1 over {1+1+0} times 1^2 times 1 over {1+1}][eqn: = 1 over4]

① [eqn: {1} over {10}]	② [eqn: {1} over {8}]	③ [eqn: {1} over {6}]

④ [eqn: {1} over {4}]	⑤ [eqn: {1} over {2}]

[출처]	2016 모의_공공 교육청 고2 11월 29

그림과 같이 길이가 [eqn: rm 2]인 선분 [eqn: {rm{AB}} it]를 지름으로 하고 중심이 [eqn: {rm{O}} it]인 반원 위의 점 [eqn: {rm{P}} it]에서 선분 [eqn: {rm{AB}} it]에 내린 수선의 발을 [eqn: {rm{Q}} it]라 하자. [eqn: angle {rm{PAB}} it = theta]라 할 때, 선분 [eqn: {rm{AP}} it]와 호 [eqn: {rm{AP}} it]에 동시에 접하는 가장 큰 원의 넓이를 [eqn: S( theta)], 삼각형 [eqn: {rm{POQ}} it]의 내접원의 넓이를 [eqn: T( theta)]라 하자.
[eqn: lim _{ theta ``rarrow`` 0+} { theta^{2} times T( theta)} over {S left({ pi} over {2}- theta right)}]의 값을 구하시오. [eqn: LEFT ( pile{ it# it} RIGHT .]단, [eqn: 0< theta<{ pi} over {4}][eqn: LEFT . pile{ it# it} RIGHT )]

[정답] [eqn: 16]

[해설]

선분 [eqn: {rm{AP}} it]와 호 [eqn: {rm{AP}} it]에 동시에 접하는 가장 큰 원이 선분 [eqn: {rm{AP}} it]와 접하는 점을 [eqn: {rm{C}} it], 호 [eqn: {rm{AP}} it]와 접하는 점을 [eqn: {rm{D}} it]라 하자.

[eqn: overline{{rm{CO}} it }= sin theta], [eqn: overline{{rm{CD}} it }=1- overline{{rm{CO}} it }=1- sin theta]이므로 선분 [eqn: {rm{AP}} it]와 호 [eqn: {rm{AP}} it]에 동시에 접하는 가장 큰 원의 반지름의 길이는 [eqn: {1- sin theta} over {2}]

[eqn: therefore~S( theta)={ pi} over {4}(1- sin theta)^{2}]

삼각형 [eqn: {rm{POQ}} it]의 내접원의 중심을 [eqn: {rm{O}} it `prime], 점 [eqn: {rm{O}} it `prime]에서 선분 [eqn: {rm{OQ}} it]에 내린 수선의 발을 [eqn: {rm{H}} it]라 하면

[eqn: angle {rm{POQ}} it =2 theta], [eqn: angle {rm{O}} it `prime {rm{OH}} it = theta]

삼각형 [eqn: {rm{POQ}} it]의 내접원의 반지름의 길이를 [eqn: r]라 하면 [eqn: overline{{rm{OH}} it }={r} over { tan theta}], [eqn: overline{{rm{HQ}} it }=r]

[eqn: overline{{rm{OQ}} it }= overline{{rm{OH}} it }+ overline{{rm{HQ}} it }={r} over { tan theta}+r= cos 2 theta]

[eqn: r={ cos 2 theta tan theta} over {1+ tan theta}]

[eqn: therefore~T( theta)= pi left({ cos 2 theta tan theta} over {1+ tan theta} right)^{2}]

[eqn: S left({ pi} over {2}- theta right)={ pi} over {4} left{ 1- sin left({ pi} over {2}- theta right) it right} ^{2}={ pi} over {4}(1- cos theta)^{2}]

[eqn: lim _{ theta ``rarrow`` 0+} { theta^{2} times T( theta)} over {S left({ pi} over {2}- theta right)}= lim _{ theta ``rarrow`` 0+} { theta^{2} times { pi cos ^{2} 2 theta tan ^{2} theta} over {(1+ tan theta)^{2}}} over {{ pi} over {4}(1- cos theta)^{2}}]

[eqn: = lim _{ theta ``rarrow`` 0+} {4 theta^{2} cos ^{2} 2 theta tan ^{2} theta} over {(1+ tan theta)^{2}(1- cos theta)^{2}}]

[eqn: = lim _{ theta ``rarrow`` 0+} {4 theta^{2} cos ^{2} 2 theta tan ^{2} theta(1+ cos theta)^{2}} over {(1+ tan theta)^{2} sin ^{4} theta}]

[eqn: = lim _{ theta ``rarrow`` 0+} left{ {4 cos ^{2} 2 theta(1+ cos theta)^{2}} over {(1+ tan theta)^{2}} times { theta^{4}} over { sin ^{4} theta} times { tan ^{2} theta} over { theta^{2}} it right}]

[eqn: =16]

[출처]	2016 모의_공공 교육청 고3 04월 29

그림과 같이 길이가 [eqn: rm 2]인 선분 [eqn: {rm{AB}} it]를 지름으로 하는 반원이 있다. 호 [eqn: {rm{AB}} it] 위의 한 점 [eqn: {rm{P}} it]에 대하여 [eqn: angle {rm{PAB}} it = theta]라 하자. 선분 [eqn: {rm{PB}} it]의 중점 [eqn: {rm{M}} it]에서 선분 [eqn: {rm{PB}} it]에 접하고 호 [eqn: {rm{PB}} it]에 접하는 원의 넓이를 [eqn: S( theta)], 선분 [eqn: {rm{AP}} it] 위에 [eqn: overline{{rm{AQ}} it }= overline{{rm{BQ}} it }]가 되도록 점 [eqn: {rm{Q}} it]를 잡고 삼각형 [eqn: {rm{ABQ}} it]에 내접하는 원의 넓이를 [eqn: T( theta)]라 하자.

[정답] [eqn: 4]

[해설]

그림과 같이 선분 [eqn: {rm{AB}} it]의 중점을 [eqn: {rm{O}} it],

선분 [eqn: {rm{PB}} it]와 호 [eqn: {rm{PB}} it]에 접하는 원의 반지름의 길이를 [eqn: r_{1}],

삼각형 [eqn: {rm{ABQ}} it]에 내접하는 원의 중심을 [eqn: {rm{C}} it],

반지름의 길이를 [eqn: r_{2}]라 하자.

[eqn: angle {rm{MOB}} it = theta]이고 [eqn: overline{{rm{OB}} it }=1]이므로 [eqn: overline{{rm{OM}} it }= cos theta]

[eqn: therefore~r_{1}={1- cos theta} over {2}], [eqn: S( theta)= pi left({1- cos theta} over {2} right)^{2}]

삼각형 [eqn: {rm{CAO}} it]는 [eqn: angle {rm{AOC}} it =90 DEG]인 직각삼각형이고

[eqn: angle {rm{CAO}} it ={ theta} over {2}], [eqn: overline{{rm{OA}} it }=1]

[eqn: therefore~r_{2}= tan { theta} over {2}], [eqn: T LEFT ( theta RIGHT )= pi {rm tan } it ^{2} {theta } over {2}]

[eqn: lim _{ theta ``rarrow`` 0+} { theta^{2} times T( theta)} over {S( theta)}= lim _{ theta ``rarrow`` 0+} { theta^{2} times pi tan ^{2} { theta} over {2}} over { pi left({1- cos theta} over {2} right)^{2}}]

[eqn: = lim _{ theta ``rarrow`` 0+} {4 theta^{2} times tan ^{2} { theta} over {2}} over {(1- cos theta)^{2}}]

[eqn: = lim _{ theta ``rarrow`` 0+} left{ 4 times { theta^{4}} over { sin ^{4} theta} times {1} over {4} times { tan ^{2} { theta} over {2}} over { left({ theta} over {2} right)^{2}} times(1+ cos theta)^{2} it right}]

[eqn: =4 times {1} over {4} times 4=4]

[eqn: lim _{ theta ``rarrow`` 0+} { theta^{2} times T( theta)} over {S( theta)}]의 값을 구하시오. [eqn: LEFT ( pile{ it# it} RIGHT .]단, [eqn: 0< theta<{ pi} over {4}][eqn: LEFT . pile{ it# it} RIGHT )]

[출처]	2017 모의_공공 교육청 고3 04월 21

그림과 같이 길이가 [eqn: 1`]인 선분 [eqn: rm AB`]를 지름으로 하는 반원이 있다. 호 [eqn: rmAB] 위의 점 [eqn: rm P`]에 대하여 [eqn: {bar{rm BP it}} = {bar{rm BC it}} `]가 되도록 선분 [eqn: rm AB] 위의 점 [eqn: rm C`]를 잡고, [eqn: {bar{rm AC it}} = {bar{rm AD it}} `]가 되도록 선분 [eqn: rm AP] 위의 점 [eqn: rm D`]를 잡는다.
[eqn: ANGLE rm PAB it = theta `]에 대하여 선분 [eqn: rm CD`]를 반지름으로 하고 중심각의 크기가 [eqn: ANGLE rm PCD`]인 부채꼴의 넓이를 [eqn: S` LEFT ( theta RIGHT )], 선분 [eqn: rm CP`]를 반지름으로 하고 중심각의 크기가 [eqn: ANGLE rm PCD`]인 부채꼴의 넓이를 [eqn: T` LEFT ( theta RIGHT ) `]라 할 때, [eqn: lim _{theta ` -> `0+} {{T` LEFT ( theta RIGHT ) -S` LEFT ( theta RIGHT )} over {theta ^{`2}}} `]의 값은?
(단, [eqn: 0< theta < {pi } over {2} `]이고 [eqn: ANGLE rm PCD`]는 예각이다.)

[정답] ②

[해설]

[eqn: rm{barAB}=1]이고 [eqn: rm ANGLE APB= {pi} over {2}]이므로

[eqn: rm {bar{BP}} =sin theta = rm {bar{BC}}], [eqn: rm {bar{AC}} =1-sin theta]

삼각형 [eqn: rm ACD]에서 [eqn: rm ANGLE ACD= {pi } over {2} - {theta} over {2}]이고

삼각형 [eqn: rm BPC]에서 [eqn: rm ANGLE BCP= {pi } over {4} + {theta } over {2}]이므로

[eqn: rm ANGLE PCD= {pi } over {4}]

점 [eqn: rm A]에서 [eqn: rm {bar{CD}}]에 내린 수선의 발을 [eqn: rm H]라 하면

[eqn: rm {bar{CD}} =2 {bar{CH}} =2 {bar{AC}} sin {theta } over {2} =2 LEFT ( 1-sin theta RIGHT ) sin {theta } over {2}]

[eqn: therefore][eqn: S` LEFT ( theta RIGHT )][eqn: = {1} over {2} TIMES 4 LEFT ( 1-sin theta RIGHT ) ^{2} sin ^{2} {theta } over {2} TIMES {pi } over {4}]
[eqn: = {pi } over {2} TIMES LEFT ( 1-sin theta RIGHT ) ^{2} sin ^{2} {theta } over {2}]

점 [eqn: rm B]에서 [eqn: rm {bar{CP}}]에 내린 수선의 발을 [eqn: rm I]라 하면

[eqn: rm {bar{CP}} =2 {bar{CI}} =2 {bar{BC}} cos LEFT ( {pi } over {4} + {theta } over {2} RIGHT ) =2sin theta cos LEFT ( {pi } over {4} + {theta } over {2} RIGHT )]

[eqn: THEREFORE][eqn: T` LEFT ( theta RIGHT )][eqn: = {1} over {2} TIMES 4sin ^{2} theta cos ^{2} LEFT ( {pi } over {4} + {theta } over {2} RIGHT ) TIMES {pi } over {4}]
[eqn: = {pi } over {2} `sin ^{2} theta cos ^{2} LEFT ( {pi } over {4} + {theta } over {2} RIGHT )]

[eqn: lim _{theta ` -> `0+} {{T` LEFT ( theta RIGHT ) -S` LEFT ( theta RIGHT )} over {theta ^{2}}}]

[eqn: = lim _{theta ` -> `0+} {{pi } over {2} LEFT { {sin ^{2} theta cos ^{2} LEFT ( {pi } over {4} + {theta } over {2} RIGHT ) - LEFT ( 1-sin theta RIGHT ) ^{2} sin ^{2} {theta } over {2}} over {theta ^{2}} RIGHT }}]

[eqn: = lim _{theta ` -> `0+} {{pi } over {2} LEFT { {sin ^{2} theta cos ^{2} LEFT ( {pi } over {4} + {theta } over {2} RIGHT )} over {theta ^{2}} - {LEFT ( 1-sin theta RIGHT ) ^{2} sin ^{2} {theta } over {2}} over {4 TIMES {theta ^{2}} over {4}} RIGHT }}]

[eqn: = {pi } over {2} LEFT ( 1 TIMES {1} over {2} - {1} over {4} TIMES 1 RIGHT ) = {pi } over {8}]

① [eqn: {pi} over {16}]	② [eqn: {pi} over {8}]	③ [eqn: {3} over {16} pi]

④ [eqn: {pi } over {4}]	⑤ [eqn: {5} over {16} pi]

[출처]	2017 모의_공공 교육청 고2 11월 21

그림과 같이 길이가 [eqn: 2`]인 선분 [eqn: rm AB`]를 지름으로 하고 중심이 [eqn: rm O`]인 반원이 있다. 호 [eqn: rmAB] 위의 점 [eqn: rm P`]에 대하여 [eqn: rm ANGLE PAB= theta `]라 하고, 점 [eqn: rm O`]를 지나고 선분 [eqn: rm AP`]에 수직인 직선이 호 [eqn: rm AP`]와 만나는 점을 [eqn: rm Q], 선분 [eqn: rm AP`]와 만나는 점을 [eqn: rm R`]라 하자. 삼각형 [eqn: rm PQR`]에 내접하는 원의 반지름을 [eqn: f LEFT ( theta RIGHT ) `]라 할 때, [eqn: lim _{theta ` -> ` {pi } over {2} -} {{f( theta )} over {LEFT ( {pi } over {2} - theta RIGHT ) ^{2}}} `]의 값은? (단, [eqn: LEFT. 0< theta < {pi } over {2} `])

[정답] ①

[해설]

삼각형 [eqn: rm ORA]에서 [eqn: rmANGLE OAR= theta]이므로

[eqn: {bar{rm OR it}} =sin theta], [eqn: {bar{rmQR}} =1-sin theta]이고

[eqn: {bar{rm PR it}} = {bar{rm AR it}} =cos theta]

삼각형 [eqn: rmOPQ]에서 [eqn: rmANGLE POQ = {pi } over {2} - theta]
[eqn: {bar{rmOP}} = {bar{rmOQ}} =1]이므로 [eqn: rmANGLE OQP = ANGLEOPQ]이고

[eqn: ANGLE rm OQP= {1} over {2} LEFT { pi - LEFT ( {pi } over {2} - theta RIGHT ) RIGHT } = {pi } over {4} + {theta } over {2}]

삼각형 [eqn: rm QRP]의 내접원의 중심을 [eqn: rmC]라 하고
점 [eqn: rmC]에서 선분 [eqn: rm QR]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmH]라 하면
삼각형 [eqn: rmQHC]에서 [eqn: tan LEFT ( {pi } over {8} + {theta } over {4} RIGHT ) = {f( theta )} over {{bar{rm QH it}}}]이므로

[eqn: {bar{rm QR it}} = {bar{rm QH it}} + {bar{rm HR it}} = {f( theta )} over {tan LEFT ( {pi } over {8} + {theta } over {4} RIGHT )} +f( theta )=1-sin theta]

[eqn: THEREFORE ````][eqn: f( theta )= {LEFT ( 1-sin theta RIGHT ) times tan LEFT ( {pi } over {8} + {theta } over {4} RIGHT )} over {1+tan LEFT ( {pi } over {8} + {theta } over {4} RIGHT )}]

[eqn: {pi } over {2} -theta =t]라 하면 [eqn: theta ``->`` {pi } over {2} -]일 때, [eqn: t ``->`` 0+]이므로

[eqn: lim _{theta ``->`` {pi } over {2} -} {{f( theta )} over {LEFT ( {pi } over {2} - theta RIGHT ) ^{2}}}]

[eqn: = lim _{theta ``->`` {pi } over {2} -} { {1} over {LEFT ( {pi } over {2} - theta RIGHT ) ^{2}} TIMES {LEFT ( 1-sin theta RIGHT ) TIMES tan LEFT ( {pi } over {8} + {theta } over {4} RIGHT )} over {1+tan LEFT ( {pi } over {8} + {theta } over {4} RIGHT )}]

[eqn: = lim _{t ``->`` 0+} {{1} over {t ^{2}} TIMES {LEFT ( 1-cos t RIGHT ) TIMES tan LEFT ( {pi } over {4} - {t} over {4} RIGHT )} over {1+tan LEFT ( {pi } over {4} -{t} over {4} RIGHT )}]

[eqn: = lim _{t ``->`` 0+} {{ {sin ^{2} t} over {t ^{2}} TIMES {tan LEFT ( {pi } over {4} - {t} over {4} RIGHT )} over {1+tan LEFT ( {pi } over {4} - {t} over {4} RIGHT )} TIMES {1} over {1+cos t} }][eqn: = {1} over {4}]

① [eqn: 1 over 4]	② [eqn: 1 over 2]	③ [eqn: 3 over 4]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 5 over 4]

[출처]	2018 모의_공공 교육청 고3 10월 16
[출처]	2019 모의_공공 교육청 고3 10월 16

그림과 같이 길이가 [eqn: 2]인 선분 [eqn: rmAB]를 지름으로 하는 원 [eqn: C _{1}]과 점 [eqn: rm B]를 중심으로 하고 원 [eqn: C _{1}] 위의 점 [eqn: rmP]를 지나는 원 [eqn: C _{2}]가 있다. 원 [eqn: C _{1}]의 중심 [eqn: rmO]에서 원 [eqn: C _{2}]에 그은 두 접선의 접점을 각각 [eqn: rmQ], [eqn: rmR]라 하자. [eqn: rm ANGLE PAB= theta]일 때, 사각형 [eqn: rmORBQ]의 넓이를 [eqn: S LEFT ( theta RIGHT )]라 하자. [eqn: lim _{theta ``->`` 0+} {{S LEFT ( theta RIGHT )} over {theta }}]의 값은?
[eqn: pile{ `#` }right(]단, [eqn: 0<theta< {pi } over {6} right)]

[정답] ①

[해설]

[eqn: bar{rmAB}=2]이므로 직각삼각형 [eqn: rmABP]에서 [eqn: {bar{rm BP it}} =2sin theta]

두 선분 [eqn: rm BP], [eqn: rm BQ]는 모두 원 [eqn: C _{2}]의 반지름이므로

[eqn: {bar{rm BP it}} = {bar{rm BQ it}} =2sin theta]

[eqn: {bar{rm OB it}} =1]이므로 피타고라스 정리에 의해

직각삼각형 [eqn: rmOBQ]에서 [eqn: {bar{rm OQ it}} = sqrt {1-4sin ^{2} theta }]

즉, [eqn: S LEFT ( theta RIGHT ) =2sin theta sqrt {1-4sin ^{2} theta }]

따라서 구하는 극한값은

[eqn: lim _{theta ``->`` 0+} {{S LEFT ( theta RIGHT )} over {theta}}][eqn: = lim _{theta ``->`` 0+} {{2sin theta sqrt {1-4sin ^{2} theta }} over {theta }}][eqn: =2]

① [eqn: 2]	② [eqn: sqrt {3}]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: {sqrt {3}} over {2}]	⑤ [eqn: {1} over {2}]

[출처]	2018 모의_공공 사관학교 고3 07월 19

그림과 같이 선분 [eqn: {rm{BC}} it]를 빗변으로 하고, [eqn: overline{{rm{BC}} it }=8]인 직각삼각형 [eqn: {rm{ABC}} it]가 있다. 점 [eqn: {rm{B}} it]를 중심으로 하고 반지름의 길이가 [eqn: overline{{rm{AB}} it }]인 원이 선분 [eqn: {rm{BC}} it]와 만나는 점을 [eqn: {rm{D}} it], 점 [eqn: {rm{C}} it]를 중심으로 하고 반지름의 길이가 [eqn: overline{{rm{AC}} it }]인 원이 선분 [eqn: {rm{BC}} it]와 만나는 점을 [eqn: {rm{E}} it]라 하자. [eqn: angle {rm{ACB}} it = theta]라 할 때, 삼각형 [eqn: {rm{AED}} it]의 넓이를 [eqn: S( theta)]라 하자. [eqn: lim _{ theta ``rarrow`` 0+} {S( theta)} over { theta^{2}}]의 값은?

[정답] ⑤

[해설]

직각삼각형의 삼각비에서

[eqn: overline{{rm{AB}} it }= overline{{rm{BD}} it }=8 sin theta], [eqn: overline{{rm{AC}} it }= overline{{rm{CE}} it }=8 cos theta]

[eqn: overline{{rm{ED}} it }= overline{{rm{BD}} it }+ overline{{rm{CE}} it }-8=8( sin theta+ cos theta-1)]

그리고 삼각형의 높이는 [eqn: h=8 sin theta cos theta]이다.

따라서 [eqn: S( theta)={1} over {2} times overline{{rm{ED}} it } times h=32 sin theta cos theta( sin theta+ cos theta-1)]

[eqn: {S( theta)} over { theta^{2}}=32 times { sin theta} over { theta} times cos theta times left({ sin theta} over { theta}+{ cos theta-1} over { theta} right)]

여기서 [eqn: lim _{theta `` rarrow ``0} {} {sin theta } over {theta } =1], [eqn: lim _{ theta ``rarrow`` 0} { cos theta-1} over { theta}=0], [eqn: lim _{ theta ``rarrow`` 0} cos theta=1]이므로

[eqn: lim _{ theta ``rarrow`` 0} {S( theta)} over { theta^{2}}=32]

① [eqn: rm 16]	② [eqn: rm 20]	③ [eqn: rm 24]

④ [eqn: rm 28]	⑤ [eqn: rm 32]

[출처]	2019 모의_공공 평가원 고3 09월 20

그림과 같이 반지름의 길이가 [eqn: 1]이고 중심각의 크기가 [eqn: { pi}over{2}]인 부채꼴 [eqn: {rmOAB}]가 있다. 호 [eqn: {rmAB}] 위의 점 [eqn: {rmP}]에서 선분 [eqn: {rmOA}]에 내린 수선의 발을 [eqn: {rmH}], 점 [eqn: {rmP}]에서 호 [eqn: {rmAB}]에 접하는 직선과 직선 [eqn: {rmOA}]의 교점을 [eqn: {rmQ}]라 하자. 점 [eqn: {rmQ}]를 중심으로 하고 반지름의 길이가 삼각형 [eqn: {rmOHP}]의 넓이를 [eqn: f( theta)], 부채꼴 [eqn: {rmQRA}]의 넓이를 [eqn: g( theta)]라 하자. [eqn: lim_{ theta `->` 0 +}`{ sqrt {g( theta)}}over{ theta ×f( theta)}]의 값은?
(단, [eqn: 0 < theta < { pi}over{2}])

[정답] ④

[해설]

[eqn: rm bar OH = cos theta], [eqn: rm bar { PH} = sin theta]이므로 [eqn: f(theta) = 1 over2 sin theta cos theta = 1 over4 sin 2 theta]

[eqn: angle rmOPQ = pi over2]이므로 [eqn: rm bar{ OQ } = 1 over{cos theta }]이고, [eqn: rm {bar{AQ}} = {1} over {cos theta } -1= {1-cos theta } over {cos theta }]이다.

이때 [eqn: angle rm AQR = pi over2 - theta]이므로

[eqn: g( theta )= {1} over {2} LEFT ({1-cos theta } over {cos theta } right) left( pi over2 - theta right)]이다.

[eqn: {sqrt {g( theta } )} over {theta TIMES f( theta )} = {4} over {cos theta } sqrt {{1} over {2} LEFT ( {pi } over {2} - theta RIGHT )} {1-cos theta } over {theta `sin2 theta }]

[eqn: = {4} over {cos theta } sqrt {{1} over {2} LEFT ( {pi } over {2} - theta RIGHT )} {1-cos theta } over theta^2 theta over {sin2 theta }]

그러므로  [eqn: lim _{theta rarrow 0+} {}{sqrt {g( theta } )} over {theta TIMES f( theta )} = rootpi over2]

① [eqn: { sqrt pi}over{5}]	② [eqn: { sqrt pi}over{4}]	③ [eqn: { sqrt pi}over{3}]

④ [eqn: { sqrt pi}over{2}]	⑤ [eqn: sqrt pi]

삼도극 다 모아봄(빠른 정답)
프로젝트	2022.12.30

[정답] ④

[정답] ②

[정답] ⑤

[정답] [eqn: rm 250]

[정답] [eqn: 65]

[정답] [eqn: rm 20]

[정답] [eqn: 16]

[정답] [eqn: bold { 16 }]

[정답] [eqn: 100]

[정답] [eqn: 6]

[정답] [eqn: 14]

[정답] ③

[정답] ①

[정답] [eqn: bold{ 9]

[정답] ④

[정답] ③

[정답] ④

[정답] [eqn: 50]

[정답] ④

[정답] ③

[정답] [eqn: 18]

[정답] ①

[정답] ②

[정답] [eqn: 20]

[정답] ④

[정답] ②

[정답] [eqn: 65]

[정답] ③

[정답] ②

[정답] ④

[정답] [eqn: 15]

[정답] [eqn: 36]

[정답] [eqn: 32]

[정답] [eqn: 41]

[정답] [eqn: 200]

[정답] ③

[정답] ②

[정답] ④

[정답] ④

[정답] [eqn: 15]

[정답] [eqn: 18]

[정답] [eqn: 25]

[정답] ①

[정답] ①

[정답] ①

[정답] ⑤

[정답] ①

[정답] [eqn: bold9]

[정답] [eqn: bold{20]

[정답] ①

[정답] ②

[정답] ②

[정답] ⑤

[정답] ②

[정답] ②

[정답] [eqn: bold { 40 }]

[정답] ④

[정답] [eqn: 8]

[정답] [eqn: 120]

[정답] [eqn: 60]

[정답] [eqn: 15]

[정답] [eqn: 23]

[정답] ④

[정답] ②

[정답] ①

[정답] ③

[정답] [eqn: 11]

[정답] ②

[정답] [eqn: 49]

[정답] ④

[정답] [eqn: 50]

[정답] [eqn: 20]

[정답] [eqn: 4]

[정답] ③

[정답] [eqn: 17]

[정답] [eqn: rm 50]

[정답] [eqn: 17]

[정답] [eqn: 17]

[정답] ②

[정답] [eqn: 8]

[정답] [eqn: 4]

[정답] ④

[정답] ③

[정답] ③

[정답] ①

[정답] [eqn: 25]

[정답] [eqn: bold80]

[정답] ④

[정답] [eqn: bold5]

[정답] ④

[정답] [eqn: 16]

[정답] [eqn: 4]

[정답] ②

[정답] ①

[정답] ①

[정답] ⑤

[정답] ④

삼도극 다 모아봄(해설)
프로젝트	2022.12.30